Chapitre 1 : Oprations sur les nombres relatifs

Chapitre 1 : Opérations sur les nombres relatifs
I quelques rappels
Un nombre relatif est constitué d’un signe + ou – et d’un nombre appelé distance à zéro.
Exemples :
(+5) est un nombre relatif :
• son signe est +, on dit que c’est un nombre positif
• sa distance à zéro est 5
(- 17) est un nombre relatif :
• son signe est -, on dit que c’est un nombre négatif
• sa distance à zéro est 17
Les nombres négatifs sont les nombres relatifs inférieurs à zéro, ils sont précédés du signe –.
Les nombres positifs sont les nombres relatifs supérieurs à zéro, ils sont précédés du signe +.
Remarque : 0 est à la fois positif et négatif.
1)
Somme de deux nombres relatifs
1er cas : les deux nombres sont de même signe
(+ 3) + ( + 5 ) = ( + 8 )
Somme des deux distances à zéro 3 + 5 = 8
Même signe
(- 3) + ( - 5 ) = ( - 8 )
Somme des deux distances à zéro 3 + 5 = 8
Même signe
2ème cas : les deux nombres sont de signes contraires
(+ 3) + ( - 5 ) = ( - 2 )
Différence des deux distances à zéro : la plus
grande moins la plus petite, 5 – 3 = 2
Signe du nombre qui a la
Plus grande distance à zéro
5 > 3 donc c’est le signe de ( - 5)
(- 3) + ( + 5 ) = ( + 2 )
Différence des deux distances à zéro : la plus
grande moins la plus petite, 5 – 3 = 2
Signe du nombre qui a la
Plus grande distance à zéro
5 > 3 donc c’est le signe de ( + 5)
2) Soustraction de deux nombres relatifs
Rappel définition : deux nombres relatifs opposés sont deux nombres qui ont la même distance à zéro
mais pas le même signe.
Exemple : (+9) et (-9) sont deux nombres opposés. On dit aussi que (+9) est l’opposé de (-9).
Autre définition : deux nombres relatifs opposés sont deux nombres dont la somme est égale à zéro.
Exemple : ( + 9) + ( - 9 ) = 0
Règle :
Pour soustraire un nombre, on ajoute son opposé
Exemples :
( + 4 ) – ( - 7) = ( + 4 ) + (+ 7 )
On ajoute l’opposé de (-7) c'est-à-dire (+7)
La soustraction devient addition
( - 5 ) – ( + 2) = ( - 5 ) + (- 2 )
On ajoute l’opposé de (+2) c'est-à-dire (-2)
La soustraction devient addition
3) Ecriture simplifiée des sommes algébriques
Une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions.
• On peut supprimer les parenthèses autour des nombres positifs : ( + 2 ) s’écrit 2
• On peut supprimer les parenthèses autour d’un nombre négatif s’il est le premier nombre du
calcul : ainsi ( - 3 ) + ( + 8 ) s’écrit - 3 + 8
L’idée pour simplifier l’écriture est donc d’avoir une suite d’additions et de soustractions avec des
nombres uniquement positifs (éventuellement le premier nombre du calcul peut être négatif).
Pour appliquer cette idée, on peut utiliser les deux propriétés suivantes :
• Soustraire, c’est ajouter l’opposé.
• Ajouter, c’est soustraire l’opposé.
Exemples :
( + 2 ) – ( - 5 ) = ( + 2 ) + ( + 5) on peut alors écrire le calcul sans parenthèses : 2 + 5
( + 3 ) + ( - 8 ) = ( + 3 ) – ( + 8 ) qui s’écrit alors 3 – 8
On peut généraliser et schématiser de cette manière :
(
(
(
(
)
)
)
)
+
+
-
( + ….)
( - ….)
( + ….)
( - ….)
devient
devient
devient
devient
+
+
II. Produit de nombres relatifs
Pour multiplier deux nombres relatifs :
• On détermine le signe
Si les deux nombres sont de même signe alors le produit est positif.
Si les deux nombres sont de signes différents alors le produit est négatif.
• On multiplie les distances à zéro.
Exemples :
(-5) × ( - 3 ) = ( + 15 )
car (-3) et (-5) sont de même signe et que 3 × 5 = 15
( + 1,7 ) × ( - 3) = ( - 5,1 ) car ( + 1,7) et ( - 3) sont de signes différents et que 1,7 × 3 = 5,1
Produit de plusieurs nombres relatifs :
Si un produit de nombres relatifs contient :
• Un nombre pair de facteurs négatifs alors ce produit est positif et a pour distance à zéro le
produit des distances à zéro des nombres.
• Un nombre impair de facteurs négatifs alors ce produit est négatif et a pour distance à zéro le
produit des distances à zéro des nombres.
Exemples :
( - 3 ) × ( - 2) × ( +5 ) × ( - 3 ) × ( - 4) = ( + 360)
Car il y a un nombre pair de facteurs négatifs et que 3×2×5×3×4 = 360
( - 1 ) × ( - 3 ) × ( + 1) × ( + 2 ) × ( - 3) × ( + 4) = ( - 72)
Car il y a un nombre impair de facteurs négatifs et que 1×3×1×2×3×4 = 72
Remarque : dans une suite de multiplications, on peut supprimer les parenthèses des nombres positifs
et éventuellement du nombre négatif s’il est le premier nombre du calcul, sinon tous les nombres
négatifs doivent garder leurs parenthèses.
III. Quotient de deux nombres relatifs
Pour diviser deux nombres relatifs le diviseur n’étant pas nul :
• On détermine le signe en appliquant la règle des signes de la multiplication.
• On divise leur distance à zéro.
Exemples :
(+7)
= ( + 3,5)
(+2)
car (+7) et (+2) sont de même signe et que 7 ÷ 2 = 3,5
(+1,3)
= ( - 0,52)
(-2,5)
car ( +1,3) et (-2,5) sont de signes différents et que 1,3 ÷ 2,5 = 0,52
IV Méthode pour effectuer un enchaînement d’opérations.
1) Repérer l’expression qui se trouve dans les parenthèses les plus intérieurs.
2) Calculer les nombres au carré ou au cube.
3) Effectuer les multiplications et les divisions.
4) Effectuer les additions et les soustractions les plus à gauche.
5) Recommencer les étapes jusqu’à obtenir un résultat.
Exemple :
Calculer l’expression suivante :
A = - 4 + ( 5 × 6² - (- 3 + 5 × 2)) × 2
A = - 4 + ( 5 × 6² - ( - 3 + 10 )) × 2
A = - 4 + ( 5 × 6² - 7) × 2
A = - 4 + ( 5 × 36 - 7) × 2
A = - 4 + ( 180 – 7) × 2
A = - 4 + 173 × 2
A = - 4 + 346
A = 342