5ème FRACTIONS N3 A) QU`EST- CE QU`UNE FRACTION ? : B

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5ème
FRACTIONS
N3
A) QU’EST- CE QU’UNE FRACTION ? :
1) Une proportion :
3
, c’est 3 parties d’une unité coupée en 5 parties égales.
5
2) Une opération :
3
, c’est aussi le nombre par lequel je multiplie 5 pour obtenir 3, c'est-à-dire le nombre manquant dans le
5
calcul 5 × … = 3
3
est donc aussi le résultat de la division de 3 par 5.
5
B) DIVISER PAR UN NOMBRE DECIMAL :
On ne change pas le résultat d’une division en multipliant ou divisant le dividende et le diviseur par un
même nombre différent de 0.
Exemples :
×2
40,5 : 4,5 =
40,5
4,5
=
1 0 4 1, 6
9 9 2
4 9 6
- 4 9 6
0
81
=9
9
×2
10,416 : 1,24 =
10,416×100 1 041,6
=
= 8,4
1,24×100
124
C) COMPARAISON :
1) Règle :
Pour comparer 2 fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur.
On compare alors leur numérateur.
×2
Exemples : Comparons
2 5
et
3 6
2
3
=
4 5
<
6 6
×2
2) Remarque :
Dans certains cas, il est plus simple de comparer la fraction avec le chiffre 1.
20
Par exemple,
< 1 car le numérateur est inférieur au dénominateur.
21
8
> 1 car le numérateur est supérieur au dénominateur.
5
20
8
On en déduit alors que
<
21
5
1 2 4
8, 4
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D) ADDITION ET SOUSTRACTION :
1) Règle :
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur.
On additionne (ou soustrait) alors les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
2) Exemples :
2 1
+
3 6
2×2 1
+
=
3×2 6
4 1
= +
6 6
4+1 5
=
=
6
6
1
3
5 1
= 1 3
5×3 1
=
1×3 3
15 1 14
- =
=
3 3 3
5-
1 2 1
+ 2 3 12
1×6 2×4 1
+
=
2×6 3×4 12
6
8
1 13
=
+
=
12 12 12 12
3) Problème :
Jacques est très dépensier : chaque mois, il dépense la totalité de son argent de poche.
Il en dépense 1/4 en sucreries, 1/3 en vêtements et le reste en jeux vidéo.
Quelle fraction de son argent de poche est consacrée aux jeux vidéo ?
Il a déjà dépensé
1×4 1×3
4
3
1 1
+ =
+
=
+
3×4 4×3
12 12
3 4
12
7
5
Il lui reste donc
=
12
12
12
=
7
12
E) MULTIPLICATION :
1) Règle :
Pour multiplier des fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
2) Exemples :
4 2
×
5 3
4×2 8
=
=
5×3 15
8
7×
9
7 8 56
= × =
1 9 9
1 2 7
× ×
3 5 4
1×2×7 14
=
=
3×5×4 60
3) Problème :
Ma mère m’a donné 1/3 d’une plaque de chocolat. J’en ai mangé les 3/5.
a) Quelle fraction de la plaque entière ai-je mangé ?
:3
1 3 3
× =
3 5 15
=
1
5
:3
J’ai donc mangé
1
de la plaque entière.
5
b) Sachant que la plaque pèse 200g, combien de grammes de chocolat ai-je mangé ?
1 200
200× =
= 40g.
5
5
J’ai mangé 40 g de chocolat.
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5ème
NOMBRES RELATIFS ET REPERAGE
N6
A) NOMBRES RELATIFS :
1) Définition:
Un nombre relatif est composé :
¾ d’un signe ( « + » ou « - » )
¾ d’une partie numérique
2) Exemple et utilisation:
« Cet hiver, il fait très froid : la nuit, la température descend à -10°C , et le jour, il fait à peine +2°C. »
- 10 est un nombre négatif
+2 est un nombre positif
Les nombres négatifs sont les nombres inférieurs à 0.
Les nombres positifs sont les nombres supérieurs à 0.
3) Droite graduée :
Une droite graduée est une droite munie :
¾ d’une origine dont l’abscisse est 0,
¾ d’un sens positif,
¾ d’une graduation.
L’abscisse de A est +2. On note A(+2)
L’abscisse de B est -3. On note B(-3)
4) Remarque :
Le signe « + » est facultatif pour les nombres positifs : le nombre +2 peut s’écrire simplement 2.
(+5) et (-5) ont la même partie numérique mais des signes contraires : ils sont opposés.
B) RANGER LES NOMBRES RELATIFS DANS L’ORDRE CROISSANT :
Pour ranger des nombres relatifs dans l’ordre croissant, il suffit de les écrire dans le même ordre que celui
de leur position sur la droite graduée de la gauche vers la droite.
Ex : Rangeons -1,5 ; 0,5 ; 2 ; -5 dans l’ordre croissant.
donc -5 < -1,5 < 0,5 < 2
C) REPERE DU PLAN
1) Définition et vocabulaire:
2 droites graduées de même origine O forment un repère du plan.
O est appelé origine du repère.
Chaque point du plan est alors repéré par 2 nombres appelés coordonnées du point.
Le premier nombre est l’abscisse du point : c’est la coordonnée lue sur la droite graduée horizontale.
Le deuxième nombre est son ordonnée : c’est la coordonnée lue sur la droite graduée verticale.
2) Exemples:
Les coordonnées de A sont (+2 ; +1)
+2 est l’abscisse de A et +1 est son ordonnée.
De la même manière, on a :
B(-1 ; +2)
C(0,5 ; -1)
D(-2 ; -1,5)
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5ème
ENCHAINEMENTS D’OPERATIONS
N9
A) AVEC DES PARENTHESES :
1) Règle :
Dans une suite d’opérations, les calculs entre parenthèses sont prioritaires.
2) Exemple :
[ 2×(5 + 3) ] + [4 – (2+1) ]
=
[2 × 8 ]+[ 4 – 3 ]
=
16
+
1
=
17
3) Remarque : Quand il n’y a pas de signe entre un nombre et une parenthèse, alors c’est obligatoirement × .
4( 5 + 6) =
4×(5+6)
=
4×11
=
44
B) SANS PARENTHESE :
1) Quand il n’y a que des sommes ou des produits.
On peut changer librement la place des nombres et commencer par le calcul que l’on veut.
Exemple :
5,5 + 4 + 0,5 + 6 + 3,1 + 10 + 0,9
=
5,5 + 0,5 + 4 + 6 + 3,1 + 0,9 + 10
=
6
+ 10
+ 4
+ 10
=
16 + 14 = 30
2) Quand il y a plusieurs opérations différentes.
On calcule toujours de la gauche vers la droite en commençant par les multiplications et les divisions.
Exemples :
4 + 2×6 – 8 + 4×5: 2
=
4 + 12 – 8 + 10
=
16 – 8 + 10
=
8 + 10 = 18
3) Nommer un calcul :
Pour nommer une expression, il faut d’abord regarder la dernière opération à effectuer.
Exemple :
2×4 + (5-3)
C’est la SOMME de « 2×4 » et de « 5-3 »
C’est donc la SOMME du produit de 2 par 4 et de la différence de 5 et de 3.
C) AVEC UNE BARRE DE FRACTION :
1) Règle :
Une barre de fraction dans un calcul signifie que l’on divise tout ce qui est au numérateur par tout ce qui
est au dénominateur. Il ne faut donc pas oublier de rajouter des parenthèses.
2) Exemple :
25-1
4+
2×4
=
4 + (25 – 1) : ( 2 × 4)
=
4 + 24 : 8
=
4+ 3 =7
D) DEVELOPPER ET FACTORISER :
1) Règle :
k×( a + b) = k×a + k×b
k×( a – b) = k×a – k×b
2) Exemples :
Développer, c’est transformer un produit en somme ou différence.
8×99 = 8×(100 – 1) = 8×100 – 8×1 = 800 – 8 = 792
Factoriser, c’est transformer une somme ou différence en produit.
7×4,5 + 7×5,5 = 7×(4,5 + 5,5) = 7×10 = 70
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5ème
ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS DE NOMBRES RELATIFS
N10
A) SOMME DE 2 NOMBRES RELATIFS :
1) Somme de 2 nombres de même signe:
¾ Le signe de cette somme est ce signe commun.
¾ La partie numérique de cette somme est la somme des parties numériques.
Ex : (+3) + (+5) = (+8) car (+3) et (+5) sont 2 nombres positifs, et la partie numérique est 3 + 5
( -4) + (-6) = (-10) car (-4) et (-6) sont 2 nombres négatifs, et la partie numérique est 4 + 6
2) Somme de 2 nombres de signes différents:
¾ Le signe de cette somme est celui du nombre qui a la plus grande partie numérique.
¾ La partie numérique de cette somme est la différence entre les 2 parties numériques.
Ex : (+5) + (-12) = -7 car (-12) a la partie numérique la plus grande et 12-5 = 7
(+7,5) + (-4) = (+3,5) car (+7,5) a la partie numérique la plus grande et 7,5-4 = 3,5
B) DIFFERENCE DE 2 NOMBRES RELATIFS :
1) Règle:
Soustraire un nombre, c’est additionner son opposé.
2) Exemples:
(+5) – (+10) = (+5) + (-10) = -5
(-4 ) – (-3) = (-4) + (+3) = -1
(-8) – (+4) = (-8) + (-4) = -12
3) Distance entre 2 points sur une droite graduée :
Pour calculer la distance séparant 2 points sur une droite graduée, il suffit de calculer la différence entre la
plus grande abscisse et la plus petite abscisse.
AB = (+21) – (-33) = (+21) + (+33) = 54 unités
C) ENCHAINEMENT DE CALCULS :
1) Première méthode :
Calculer de gauche à droite après avoir transformé toutes les soustractions.
4–5+6–7+8
= 4 + (-5) + 6 + (-7) + 8
= (-1) + 6 + (-7) + 8
=
5 + (-7) + 8
=
(-2)
+8
=
6
2) Deuxième méthode :
Rassembler les nombres positifs et les négatifs après avoir transformé toutes les soustractions.
4–5+6–7+8
= 4 + (-5) + 6 + (-7) + 8
= 4 + 6 + 8 + (-5) + (-7)
=
18 + (-12)
=
6
3) Remarque :
On peut faire mentalement les transformations des soustractions et gagner du temps.
4–5+6–7+8
= 18 – 12
=
6
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5ème
TABLEAU DE PROPORTIONNALITE
N13
A) TABLEAU DE PROPORTIONNALITE
1) Définition :
Un tableau de proportionnalité est un tableau représentant une situation de proportionnalité. Cela signifie
que tous les nombres de la 2ème ligne du tableau s’obtiennent à partir des nombres de la 1ère ligne grâce à
une multiplication ou une division par un même nombre (différent de 0) . Ce nombre est un coefficient de
proportionnalité.
Exemples :
Ce tableau est proportionnel car
3×1,5=4,5
2×1,5=3
5×1,5=7,5
6×1,5=9
8×1,5=12
1,5 est un coefficient de proportionnalité
Ce tableau n’est pas proportionnel car
3×3=9
6×3=18
MAIS 2×3 ≠ 5
Il n’y a pas de coefficient de proportionnalité.
2) Calculer un coefficient de proportionnalité :
Pour calculer un coefficient de proportionnalité, on peut utiliser une « opération à trou » ou équation (voir
BAO N20).
Par exemple, il suffit de traduire par un calcul la phrase suivante :
« Par combien doit-on multiplier 8 pour obtenir 9,6 ? »
8 × x = 9,6 où x est le nombre que l’on cherche.
On trouve x grâce à la division 9,6 : 8
x vaut donc 1,2 (on vérifie facilement que 8×1,2 = 9,6).
Le coefficient de proportionnalité est donc 1,2.
3) Compléter un tableau de proportionnalité :
On veut compléter le tableau suivant :
a) « La méthode du 1 »
On rajoute 1 dans le tableau et on cherche des multiplications ou des
divisions se rapportant à 1.
b) Grâce au coefficient de proportionnalité.
On cherche un coefficient et on l’utilise.
3×x = 7,2
donc x = 7,2 : 3 = 2,4
Le coefficient de proportionnalité est 2,4.
7×2,4 = 16,8
B) EXEMPLE : L’ECHELLE :
L’échelle est utilisée dans les plans, les cartes, les maquettes...etc.... Elle exprimer le rapport entre les
longueurs représentées et les longueurs réelles. Par exemple, sur un plan, l’échelle 1/10 000 signifie que
1cm sur le plan représente 10 000 cm en réalité.
si on mesure 1,7cm, quelle est alors la longueur réelle ?
Il s’agit en fait d’une situation de proportionnalité :
Il suffit de calculer 1,7 × 10 000 = 17 000 cm = 170 m
1,7 cm sur le plan représente 170m en réalité.
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5ème
STATISTIQUES, FREQUENCE ET GRAPHIQUES
N17
A) FREQUENCE :
1) Classer une population en série statistique :
On interroge une classe de 25 élèves. On pose la question suivante : « Quelle est votre matière préférée ? ».
On regroupe les réponses dans un tableau :
Matière
Mathématiques
Français
Histoire géographie
Effectifs
10
7
8
2) Fréquence:
La fréquence est la proportion que représente une réponse parmi toutes les réponses données.
Par exemple, la fréquence de la réponse « Mathématiques » est de 10 réponses sur les 25 réponses données.
10
Autrement dit, c’est la fraction , que l’on peut calculer 10 : 25 = 0,4.
25
Effectif
On peut retenir la formule
Fréquence =
Effectif total
3) Fréquence en pourcentage :
La fréquence en pourcentage est le pourcentage d’une réponse parmi toutes les réponses données.
10
× 100 = 0,4 × 100 = 40%
Par exemple, la fréquence en % de la réponse « Mathématiques » est de
25
Effectif
×100 = Fréquence×100
On peut retenir la formule
Fréquence en % =
Effectif total
On résume le tout dans le tableau suivant :
Matière
Mathématiques
Effectifs
10
Fréquence
10/25 = 0,4
Fréquence en %
40%
Français
7
7/25 = 0,28
28%
Remarque : la somme totale de toutes les fréquences doit être égale à 1 et la
somme de tous les pourcentages à 100%
Histoire géographie
8
8/25 = 0,32
32%
Diagramme en barre (Effectifs en fonction de la
matière préférée)
12
B) REPRESENTATION GRAPHIQUE :
10
2) Diagramme en bande :
8
Effectif
1) Diagramme en barre :
Représentons par un diagramme en barre la série statistique
précédente.
6
4
2
0
Mathematiques
La taille des bandes dépend proportionnellement de l’effectif.
Ainsi, si une bande de 20 cm représente les 25 personnes,
alors pour 1 personne, il faut une bande de 20: 25 = 0,8cm .
La réponse « Mathématiques » correspond à une bande de 10×0,8 = 8cm
La réponse « Français » correspond à une bande de 7×0,8 = 5,6cm
La réponse « Histoire Géographie » correspond à une bande de 8×0,8 = 6,4cm
3) Diagramme semi-circulaire :
La mesure de chaque angle formant les « parts de disque» dépend
proportionnellement de l’effectif.
Ainsi, les 25 personnes sont représentées par le demi disque entier, c'està-dire par un angle de 180°
1 personne est donc représentée par un angle de 180 : 25 = 7,2°
La réponse « Mathématiques » correspond à un angle de 7,2×10 =72°
La réponse « Français » correspond à un angle de 7,2×7 =50,4°
La réponse « Mathématiques » correspond à un angle de 7,2×8 =57,6°
Français
Matière
Hist-Géo,
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5ème
CALCUL LITTERAL ET EQUATION
N20
A) EXPRESSION LITTERALE :
1) Définition :
Une expression littérale est un calcul comportant une lettre appelée variable. Cette lettre peut généralement être
remplacée par n’importe quel nombre.
2) Exemple :
Exprimons en fonction de x l’aire A du polygone ABCDEG.
Il se décompose en 3 rectangles dont les aires se calculent grâce à la formule
Longueur×largeur.
L’aire de ABCH vaut 5×2 = 10cm²
L’aire de CEDF vaut 2×x
L’aire de HCFG vaut 5×x
L’aire totale est donc A =10 + 2×x + 5×x
3) Calculer pour une valeur donnée :
Il s’agit de remplacer la lettre d’une expression par une valeur et de la calculer.
En reprenant l’exemple ci-dessus, calculons l’expression A pour x=3cm .
A =10 + 2×x + 5×x
A = 10 + 2×3 + 5×3
A = 10 + 6 + 15 = 31cm².
B) REDUIRE UNE EXPRESSION :
Réduire une expression, c’est effectuer les calculs autorisés afin de rendre plus simple l’expression.
1) Réduire un produit :
E = 4×3×x×5×y
(dans un produit, l’ordre des facteurs peut être changé)
E = 4×3×5×x×y
(on multiplie les nombres ensemble et les lettres ensemble)
E = 60×x×y
E = 60xy
(on peut supprimer le symbole × entre 2 lettres ou 1 nombre et une lettre)
2) Réduire une somme :
E = 3x + 4 + 2x – 3 – x +6
(on calcule séparément les termes en x et les nombres)
E = 3x + 4 + 2x – 3 – 1x +6
(remarque : on peut remplacer 1x par x)
3x + 2x – 1x = 4x ⎫
⎬
4 – 3 + 6 = 7⎭ donc E = 4x + 7
3) Développer un produit :
C’est utiliser les formules de développement (voir BAO N9) avec des lettres.
E = 5 ( 2x + 3)
F = 6(8 – 3x)
(on peut supprimer le symbole × entre un nombre et une
E = 5×2x + 5×3
F = 6×8 – 6×3x
parenthèse)
E = 10x + 15
F = 48 – 18x
4) Exemple : un calcul magique.
PROGRAMME DE CALCUL
• Choisis un nombre au hasard
• Ajoute lui 1
• Multiplie le résultat par 2
• Retire le double du nombre choisi
• MAGIQUE :On obtient toujours 2.
EXEMPLE :
12
12 + 1 = 13
13×2 = 26
26 – 2×12 = 26 – 24 = 2
EXPLICATION :
J’appelle x mon nombre choisi
x+1
(x + 1)× 2 = x×2 + 1×2 = 2x + 2
2x + 2 - 2x = 2
Le résultat est toujours 2.
C) EQUATION :
1) Définition simplifiée :
Une équation est une « opération à trou » dans laquelle le nombre inconnu est remplacé par une lettre.
2) Exemples :
x + 4 = 10
5×a = 20
Pour trouver le nombre x, il faut faire la soustraction 10 – 4 = 6.
Vérification:
6 + 4 = 10, donc x = 6 est la solution de l’équation
Pour trouver le nombre a, il faut faire la division 20 : 5 = 4
Vérification :
5×4 = 20, donc a = 4 est la solution de l’équation.
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5ème
CONVERSIONS
N33
A) UNITES DE LONGUEUR, MASSE ET CAPACITE :
Dans une conversion de longueur, de masse ou de capacité, on multiplie ou on divise par 10 le nombre à convertir à chaque fois
que l’on change d’unité.
Ex : 5,23 m = 5,23×10 dm = 52,3 dm
41,2 cm = 14,25 : 10 dm = 4,12 dm
1425 dm = 1425 : 10 : 10 : 10 hm = 1,425 hm
Remarques :
Il existe d’autres unités de masse : la tonne (t) qui vaut 1000 kg et le quintal (q) qui vaut 100 kg.
B) UNITES D’AIRE :
Dans une conversion d’aire, on multiplie ou on divise par 100 le nombre à convertir à chaque fois que l’on change d’unité.
Ex : 1,2 m² = 1,2×100 dm² = 120 dm²
235 m² = 235 : 100 dam² = 2,35 dam²
18,1 dm² = 18,1 ×100 × 100 mm²= 181 000 mm²
Remarques :
Il existe d’autres unités d’aire: l’are (a) qui vaut 100 m² et l’hectare (ha) qui vaut 100 ares c'est-à-dire 10000 m².
C) UNITES DE VOLUME :
Dans une conversion d’aire, on multiplie ou on divise par 1000 le nombre à convertir à chaque fois que l’on change d’unité.
Ex : 12,8 m3 = 12,8×1000 dm3 = 12 800 dm3
4,28 dam3 = 4,28 : 1000 : 1000 km3 = 0,00000428 km3
Remarques :
On peut convertir des unités de volume en capacité et réciproquement en sachant que 1 L = 1dm3
Ex : 1m3 = 1000 dm3 = 1000 L
Convertissons 23,4 cm3 en cL
23,4 cm3 = 23,4 : 1000 dm3 = 0,0234 dm3 = 0,0234 L = 0,0234 ×10 ×10 cL = 2,34 cL
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5ème
CONSTRUCTION DE TRIANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
G5
A) SOMME DES ANGLES D’UN TRIANGLE :
1) Propriété :
La somme des 3 angles d’un triangle est toujours égale à 180°
2) Exemple :
A
ABC est un triangle tel que a
ABC=40° et a
ACB=30°.
Calculer a
BAC.
B
40,00°
30,00°
C
La somme des 3 angles d’un triangle est toujours égale à 180°
Ici a
ABC=40° et a
ACB=30°
donc 40° + 30° + a
BAC = 180°
+a
BAC = 180°
donc
70 °
donc
a
BAC = 180° - 70° = 110°
B) INEGALITE TRIANGULAIRE :
1) Propriété :
⎧AB<AC + CB
Dans un triangle ABC, on a toujours ⎨AC<AB + BC
⎩BC<BA + AC
2) Exemple :
Peut-on tracer un triangle ABC tel que AB=5cm , AC = 3cm et BC=9cm ?
NON car 5<3+9 , 3<5+9 mais 9>5+3 ! donc les inégalités triangulaires ne sont pas toutes vérifiées.
3) Remarques :
En cas d’égalité, les points A,B et C sont alignés.
Par exemple, si AB=4cm, AC=3cm et BC=7cm.
On a 4<3+7 , 3<4+7 mais 7 = 4 + 3 donc les inégalités triangulaires ne sont pas toutes vérifiées,et comme
on a une égalité, les points A,B et C sont alignés.
C) CENTRE DU CERCLE CIRCONSCRIT
1) Propriétés :
Les 3 médiatrices d’un triangle se coupent en un même point appelé centre du cercle circonscrit du
triangle.
2) Exemples :
A
A
C
B
O
B
C
O
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5ème
LE PARALLELOGRAMME
G6
A) DEFINITION ET PROPRIETES :
1) Définition:
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
.
2) Propriétés:
¾ Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il a un centre de symétrie.
¾ Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
¾ Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leurs milieux.
¾ Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure.
B) COMMENT DEMONTRER Q’UN QUADRILATERE EST UN PARALLELOGRAMME :
1) Théorème 1:
¾ Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles 2 à 2, alors c’est un parallélogramme.
2) Théorème 2:
¾ Si un quadrilatère a ses diagonales se coupant en leurs milieux, alors c’est un parallélogramme.
C) COMMENT CONSTRUIRE UN PARALLELOGRAMME :
Généralement, on passe par la construction d’un triangle.
Par exemple, on veut tracer un parallélogramme ABCD tel que AB=4cm, AD=3cm et BD=6cm.
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5ème
LES PARALLELOGRAMMES PARTICULIERS
A) LE RECTANGLE:
1) Définition:
Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
2) Propriétés:
Un rectangle est un parallélogramme particulier.
Dans un rectangle :
¾ Les diagonales se coupent en leurs milieux.
¾ Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
¾ Les diagonales ont la même longueur.
3) Théorèmes : Comment montrer qu’une figure est un rectangle ?
Si un quadrilatère a 3 angles droits, alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a 1 angle droit, alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur, alors c’est un rectangle.
B) LE LOSANGE :
1) Définition:
Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés égaux.
2) Propriétés:
Un losange est un parallélogramme particulier.
Dans un losange :
¾ Les diagonales de coupent en leurs milieux.
¾ Les côtés opposés sont parallèles.
¾ Les angles opposés sont égaux.
¾ Les diagonales sont perpendiculaires.
¾ Les diagonales sont axes de symétries.
3) Théorèmes : Comment montrer qu’une figure est un losange ?
Si un quadrilatère a 4 côtés égaux, alors c’est un losange.
Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs égaux, alors c’est un losange.
Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
C) LE CARRE :
1) Définition :
Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés égaux.
C’est à la fois un rectangle et un losange.
2) Propriétés :
Un carré est un parallélogramme particulier.
Il a toutes les propriétés du rectangle et du losange.
3) Théorème : Comment montrer qu’une figure est un carré ?
Pour montrer qu’une figure est un carré, il suffit de montrer que c’est un rectangle ET un losange.
G7
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5ème
SYMETRIE CENTRALE
G10
A) SYMETRIQUE D’UNE FIGURE :
Quand une figure s’obtient à partir d’une autre par un demi-tour autour d’un point, on dit qu’elles sont
symétriques par rapport à ce point.
B) LA SYMETRIE CENTRALE :
1) Définition :
Le point B est le symétrique du point A par rapport à O signifie que O est
le milieu de [AB].
On dit aussi que B est l’image de A par la symétrie de centre O
Ou
A a pour image B par la symétrie de centre O
A
O
2) Construction.
3) Propriétés :
Par une symétrie centrale :
L’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle.
L’image d’un segment est un segment de la même longueur.
L’image d’un angle est un angle de même mesure.
L’image d’un cercle est un cercle de même rayon.
C) CENTRE DE SYMETRIE D’ UNE FIGURE :
1) Définition :
On dit qu’une figure a un centre de symétrie O si l’image de cette
figure par la symétrie de centre O se superpose à la figure de départ.
2) Cas particuliers :
Le rectangle, le losange et le carré ont un centre de symétrie : c’est l’intersection de leurs diagonales.
On en déduit :
Propriété :
- Les diagonales du rectangle, losange et carré se coupent en leur milieu.
- Les côtés opposés du rectangle, losange et carré sont parallèles et égaux deux à deux.
B
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5ème
PRISME DROIT ET CYLINDRE
G14
A) PRISME DROIT
1) Définition :
Un prisme droit est un solide constitué de 2 polygones identiques superposables appelés bases, et de faces
latérales rectangulaires.
2) Vue en perspective :
3) Patron :
3) Hauteur d’un prisme :
Une hauteur d’un prisme droit est une arête qui est perpendiculaire aux 2 bases.
B) CYLINDRE :
1) Définition :
Un cylindre est un solide généré par
un rectangle que l’on fait tourner
autour d’un de ses côtés.
2) Vue en perspective :
3) Patron :
3) Surface latérale :
La surface latérale d’un cylindre est un rectangle dont la longueur d’un côte est égale au périmètre du
disque de base.
C) VOLUME ET AIRE LATERALE :
1) Aire latérale:
L’aire latérale d’un prisme est la somme des aires des faces latérales.
L’aire latérale d’un cylindre est l’aire de la surface latérale.
2) Volume :
La formule est la même pour le prisme et le cylindre :
Volume = Aire de la base × Hauteur
3) Exemple :
Aire du disque de base: A = π×R×R
A = π × 3× 3 = 9×π
donc le volume du cylindre est : V = A × H
V = 9×π×5 ≈ 141,4 cm3
Périmètre du disque de base : P = 2×π×R
P = 2×π×3 = 6×π
donc la longueur du rectangle vaut 6×π et l’aire latérale est :
Alatérale = 6×π ×5 ≈ 94,25 cm²
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5ème
AIRE DU TRIANGLE, DU PARALLELOGRAMME ET DU DISQUE
A) DROITES REMARQUABLES
1) du triangle :
a) Les hauteurs :
Les 3 droites passant chacune par un sommet d’un
triangle et perpendiculaire à son côté opposé sont
appelées les hauteurs du triangle.
b) Les médianes :
Les 3 droites passant chacune par un sommet d’un triangle
et passant par le milieu de son côté opposé sont appelées
les médianes du triangle.
2) du parallélogramme :
Une hauteur d’un parallélogramme est une droite
passant par un sommet du parallélogramme et
perpendiculaire au côté opposé.
B) AIRE DU PARALLELOGRAMME :
1) Formule :
Aire = Hauteur × Coté associé
2) Exemple :
AABCD
= h1 × DC = 5×3 = 15cm²
C) AIRE DU TRIANGLE :
1) Formule :
Aire = (Hauteur×Coté associé) : 2
2) Exemple :
AABC = (CH2 × AB) : 2 = (5,9 × 8,3) :2
= 24,485 cm²
3) Propriété :
Chaque médiane d’un triangle le partage en 2 triangles de même aire.
AACI = AABI = (3×3,5) : 2 = 5,25cm²
D) AIRE DU DISQUE :
1) Formule :
Aire = π × R × R où R est le rayon du disque.
2) Exemples :
A = π × 3 × 3 = π × 9 ≈ 28,27 cm²
G18
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5ème
DROITES ET ANGLES
A) ANGLES ADJACENTS ET ANGLES OPPOSES PAR LE SOMMET:
1) Angles adjacents:
Deux angles ayant le même sommet et se situant de part et d’autre d’un
côté commun sont adjacents.
2) Angles opposés par le sommet:
Deux angles ayant le même sommet et dont les côtés sont dans le
prolongement l’un de l’autre sont opposés par le sommet.
3) Théorème :
Si 2 angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.
B) ANGLES COMPLEMENTAIRES ET SUPPLEMENTAIRES :
1) Angles complémentaires:
Deux angles dont la somme vaut 90° sont complémentaires.
a
xOy et a
yOz sont par exemple complémentaires.
2) Angles supplémentaires:
Deux angles dont la somme vaut 180° sont supplémentaires.
a
vOu et a
uOt sont par exemple supplémentaires.
C) DROITES ET ANGLES :
1) Angles alternes internes :
Deux droites coupées par une sécante déterminent des paires
d’angles alternes internes : ils sont situés entre les 2 droites, ils
ont des sommets différents et sont de chaque côté de la sécante.
Par exemple, a
xAB et a
ABt sont alternes internes.
De même, a
yAB et a
zBA sont alternes internes.
2) Angles correspondants :
Deux droites coupées par une sécante déterminent des paires
d’angles correspondants : ils sont situés pour l’un entre les 2
droites, et pour l’autre non ; ils ont des sommets différents et
sont du même côté de la sécante.
Par exemple, a
xAu et a
zBu sont correspondants.
3) Théorèmes :
Si 2 droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes
internes (ou correspondants) égaux, alors ces 2 droites sont parallèles.
Si 2 droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles
déterminent des angles alternes internes (ou correspondants) égaux.
G19