Déjà un peu plus loin1… n est un nombre entier naturel non nul. i

Classe de 1ère S1
Corrigé du devoir du 3 avril
avril 2014.
Tp2 page 136.
Déjà un peu plus loin1…
voici l'algorithme écrit en langage naturel ...
Déclaration de variables.
n est un nombre entier naturel non nul.
i est un nombre entier naturel //pour représenter les nombres impairs successifs
k est un nombre // pour compter le nombre d'entiers impairs soustraits
Initialisation.
Demander n.
i reçoit 1.
k reçoit 0
Traitement.
Tant que n⩾0 faire :
afficher n.
k prend la valeur k +1 // k augmente de 1, il compte le nombre de passages dans la boucle
n reçoit n−i // n diminue du nombre impair i
i reçoit i+2 // nombre impair suivant
finTantQue.
k reçoit le calcul k −1 // la dernière soustraction pour laquelle n−i est négatif ne doit pas être comptée
Sortie.
Afficher « le nombre d'impairs soustraits est : », k.
Sous AlgoBox :
Je vous invite à transcrire vous-même cet algorithme.
Vous pouvez ouvrir le fichier corrigé en suivant ce lien « fichier AlgoBox »
1. Appliqué aux nombres 9, 16, 25, 36, 49 et 100 l'algorithme renvoie respectivement pour k
la suite : 3, 4, 5, 6, 7 et 10 qui sont les racines entières de la liste de carrés parfaits.
Deux extraits :
***Algorithme lancé***
Entrer n : 25
25, 24, 21, 16, 9, 0,
Le nombre d'entiers impairs soustraits pour n = 25 est
k = 5
***Algorithme terminé***
***Algorithme lancé***
Entrer n : 49
49, 48, 45, 40, 33, 24, 13, 0,
Le nombre d'entiers impairs soustraits pour n = 49 est k
= 7
***Algorithme terminé***
Conjecture... Si n est un carré parfait n= p 2 alors le nombre d'entiers impairs soustraits est
exactement p.
2. Appliqué aux nombres 10, 18, 27, 39, 50 et 104 l'algorithme renvoie respectivement pour k
la suite : 3, 4, 5, 6, 7 et 10 qui sont les parties entières de la racine carrée des nombres
initiaux. Autrement dit le plus grand entier dont le carré est inférieur au nombre entier n
choisi.
C'est ma conjecture … Pour un nombre n donné alors le nombre d'entiers impairs soustraits est
exactement le plus grand entier dont le carré (entier) est inférieur au nombre n.
Exemple si n = 96 le plus grand carré entier inférieur à 96 est 81, carré de 9 ainsi pour n=96 le
nombre d'entiers impairs soustraits est 9 (je vérifie avec AlgoBox)
3. a. les calculs de sommes donnent respectivement 4, 9, 16, 25 …
1
...et un peu plus technique : voir l'algorithme de Kenny en fin de devoir(page 4)
S. Baudet
page 1 sur 4.
corrigé dm 2 avril
Classe de 1ère S1
Corrigé du devoir du 3 avril
avril 2014.
b . Je reconnais la suite des carrés des entiers naturels. La somme des p premiers entiers
naturels impairs est égale au carré de p .
1+3+5+ …+ ( 2 p−1 ) = p
⏟
2
p_premiers_impairs_consécutifs
c. la suite des nombres impairs est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
Alors je sais que la somme de p termes consécutifs d'une suite arihmétique (cf leçon) est
égale au produit du nombre de termes (ici p) par la demi somme des extrêmes .
Le premier terme est 1, le dernier est u p soit u p=u1 + ( p−1 ) ×r soit u p=1+ ( p−1 ) ×2
c'est à dire u p=2 p−1 . Je peux donc écrire :
1+3+5+ …+ ( 2 p−1 ) = p×
1+ ( 2 p−1 )
2p
= p×
= p× p= p2
2
2
d. Soit n un entier naturel et p=E ( √ n ) (partie entière de n).
alors par définition p est entier et p⩽√ n< p+ 1 et puisque la fonction carrée est
2
2
strictement croissante sur ℝ+ on a : p ⩽n< ( p+1 ) ainsi la différence n− p2 qui peut
aussi s'écrire n−( 1+3+5+ …+ ( 2 p−1 ) ) est encore positive alors que la différence
2
n−( p+1 ) égale à n−( 1+3+5+ …+ ( 2 p+ 1 ) ) est elle strictement négative.
En conclusion si j’ôte successivement à n les p premiers nombres impairs consécutifs le
résultat est encore positif (ou nul ) mais la différence avec le p+1 ième suivant rendra le
résultat strictement négatif. La conjecture (2°) est démontrée.
Exercice 90 page 96.
D'après la leçon sur le second degré les coefficient des termes en x 2 des fonctions f , g et h sont
respectivement positif, positif et négatif alors je sais que leurs tableaux sont :
x
−∞
−
b
=0
2a
+∞
f
1
x
−∞
−
b
=−1
2a
+∞
g
0
x
−∞
−
b
=2
2a
3
+∞
h
S. Baudet
page 2 sur 4.
corrigé dm 2 avril
Classe de 1ère S1
Corrigé du devoir du 3 avril
avril 2014.
a. Il est clair que f ( 1 )= g ( 1 )=h ( 1 ) =2 , le point A ( 1; 2 ) est commun aux trois courbes.
b. Pour les trois courbes la tangente en A à pour équation : y=u' ( 1 ) ( x−1 ) +u ( 1 ) où u est l'une des
fonctions f, g ou h. Comme u ( 1 )=2 dans les trois cas, pour que les trois tangentes soient
confondues il suffit que leur coefficient directeur soient égaux
Or f ' ( x ) =2 x , g' ( x ) =x +1 et h' ( x )=−2 x+ 4 et donc f ' ( 1 )= g' ( 1 )=h' ( 1 ) =2 .
Les trois courbes admettent en A ( 1; 2 ) la même tangente T ( d'équation y=2 ( x−1 ) + 2=2 x ).
Pour étudier la position d'une courbe représentative d'une fonction u par rapport à sa tangente je
dois étudier le signe de la différence u ( x )− y ou y représente l'équation de la tangente.
Dans les trois cas :
2
2
f (x )− y=x −2 x+1=( x−1 )
Ce polynôme est évidement toujours
positif . La courbe de f est donc
toujours au dessus de T.
g ( x )− y=
1 2
1
x − x+
2
2
j'observe :
1 2
1
2
g ( x )− y= ( x −2 x+1 ) = ( x−1 )
2
2
2
h ( x )− y=−x +2x−1
ici h ( x )− y=−( x−1)2
est évidement toujours négatif donc
Ch est sous la tangente.
Le même raisonnement que cicontre à gauche permet d'affirmer
que C g est au dessus de T.
Représentation des courbes … (à faire avec le logiciel de votre choix).
Une courbe admet une tangente parallèle à la droite ( y=x ) si les deux droites on le même
coefficient directeur ici 1. Il me faut donc résoudre dans chaque cas l'équation u'(x)=1.
1
3
g' ( x )=1⇔ x +1=1⇔ x=0 et
f ' ( x )=1 ⇔2 x=1⇔ x=
h' ( x )=1⇔−2 x +4=1 ⇔ x=
2
2
1
5
3
11
1
f
=
h
=
g ( 0 )=
2
4
2
4
2
()
( )
Les trois courbes ont donc une tangente parallèle à ( y=x ) en les points respectifs :
1 5
1
3 11
Mf
;
Mg 0 ;
Mh ;
2 4
2
2 4
(
)
( )
(
Les tangentes en ces points ont respectivement pour équation :
3
1
t f : y=x +
t g : y=x +
4
2
t h : y=x +
)
5
4
Vérification à l'aide du fichier de Sylvain D. sous
GeoGebra. (suivre le lien)
vers le fichier.
S. Baudet
page 3 sur 4.
corrigé dm 2 avril
Classe de 1ère S1
Corrigé du devoir du 3 avril
avril 2014.
Algorithme proposé par Kenny pour le TP2. (beaucoup plus court mais aussi plus technique)
Déclaration de variables.
n est un nombre entier naturel non nul.
p est un nombre entier naturel
Initialisation.
Saisir n.
p reçoit 0
Traitement.
Tant que n⩾( 2 p+1 ) faire :
n prend la valeur n−( 2 p+1 )
p prend la valeur p +1 // p sert ici de compteur mais est aussi utilisé pour écrire les impairs successifs
finTantQue.
Sortie.
Afficher « le nombre d'impairs soustraits est : », p.
S. Baudet
page 4 sur 4.
corrigé dm 2 avril