DM 1ère ES – Suites arithmétiques et géométriques Exercice 1

DM 1ère ES – Suites arithmétiques et géométriques
Exercice 1 :
Elsa vient de naître. Sa grand-mère dépose 100€ sur un compte bancaire et décide qu’elle versera à chacun de ses anniversaires
100€ auxquels elle ajoutera le double de l’âge d’Elsa, en euros.
1) Calculer les versements V1, V2, V3 effectués par la grand-mère aux premiers, deuxièmes et troisièmes anniversaires d’Elsa.
V1 = 100 + 2 x 1 = 102
La grand-mère d’Elsa versera 102€ sur le compte en banque pour son premier anniversaire.
V2 = 100 + 2 x 2 = 104
La grand-mère d’Elsa versera 104€ sur le compte en banque pour son deuxième anniversaire.
V3 = 100 + 2 x 3 = 106
La grand-mère d’Elsa versera 106€ sur le compte en banque pour son troisième anniversaire.
2) Exprimer le versement Vn effectué par la grand-mère au nième anniversaire d’Elsa en fonction de l’âge n d’Elsa. Calculer le
versement V18.
D’après l’énoncé, on a :
Vn = 100 + 2n
Donc V18 = 100 + 2 x 18 = 136
Elsa recevra 136€ sur son compte en banque pour son 18ème anniversaire.
3) Calculer la somme qui se trouvera ainsi sur le compte d’Elsa le lendemain de son 18 ème anniversaire.
On nous demande de calcule S18= V0+V1+… + V18
La suite (Vn) est une suite arithmétique de premier terme V 0=100 et de raison r = 2.
On peut donc utiliser la formule suivante :
Sn = (n+1) x
S18 = 19 x
S18 = 19 x
𝑈0+𝑈𝑛
2
100+136
2
236
2
S18 = 19 x 118
S18 = 2242
Elsa aura en tout 2242€ déposés sur son compte.
Exercice 2 :
Dans un ministère de 200 000 fonctionnaires, il est prévu un taux de départ à la retraite de 5% par an, durant 15 ans.
Soit Un le nombre de fonctionnaires l’année n, avec U0 = 200 000 et Vn le nombre de départs à la retraite cette même année ;
donc
V0 = 10 000
1) Exprimer Un en fonction de n. Calculer U15 à mille personnes près.
Chaque année, il y a 5% de fonctionnaires en moins. On enlève donc 5% tous les ans, autrement dit on multiplie le
nombre de fonctionnaires par 1-0.05 = 0.95 chaque année. On a affaire a une suite géométrique de raison 0.95 et de premier
terme U0=200 000
Un = 200 000 x 0.95n
U15 = 200 000 x 0.9515 = 92658.2
Donc
Il ne restera donc que 93000 fonctionnaires environ après 15 ans.
.
2) Calculer V1 et V2.
On a trouvé V0 en faisant 5% de U0
Pour trouver V1 il suffit de calculer U1 :
U1 = 0.95 x U0 =190 000
190 000 x
5
100
= 9500
V1 = 9500
Pour trouver V2 il suffit de calculer U2 :
U2 = 0.95 x U1 =180 500
180 500 x
5
100
= 9025
V2 = 9025
3) Calculer le nombre total de départs à la retraite sur les 15 ans cumulés.
1ere méthode : Pour savoir combien de personnes sont parties a la retraire sur 15 ans. Il suffit de comparer le nombre de
fonctionnaires au départ puis le nombre qu’il reste après 15 ans.
Départ : U0 = 200 000
Après 15 ans : U15 = 92 658
200 000 – 92658 = 107342
107342 fonctionnaires sont partis a la retraite sur 15 ans.
2eme méthode :
Vn =
5
100
x Un =
5
100
x 200 000 x 0.95n = 10 000 x 0.95n
Tiens ! Mais je reconnais l’expression d’une suite géométrique de raison 0.95 et de premier terme V 0 = 10 000
On cherche a calculer S14 :
Sn = V0 x
1−𝑞 𝑛+1
1−𝑞
S14 = 10000 x
= 10000 x
1−0.95𝑛
1−0.95
1−0.9515
1−0.95
S14 = 107342
107342 fonctionnaires sont partis a la retraite sur 15 ans.
Exercice 3 :
Un supermarché désire faire une enquête pour étudier la plus ou moins grande fidélité de ses clients. Au cours du premier mois
de l’enquête, 8 000 personnes sont venues faire leurs achats dans ce supermarché.
On constate que, chaque mois, 70% des clients du mois précédent restent fidèles à ce supermarché et que 3 000 nouveaux
clients apparaissent.
On note Un le nombre de clients venus au cours du nième mois de cette enquête. Ainsi, on a U1 = 8 000
1) a) Calculer U2, U3, U4.
U2 =
U3=
U4 =
70
100
70
100
70
x 8000 + 3000 = 8600
x 8600 + 3000 = 9020
100
x 9020 + 3000 = 9314
b) Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a la formule : Un+1 = 0.7 Un + 3000
Si Un représente le nombre de clients au nième mois. On sait que seulement 70% d’entre eux resteront au mois prochain,
d’où la multiplication par 0.7 et 3000 nouveaux clients viennent s’ajouter a tout cela, d’où le « +3000 » et on aura ainsi le
nombre de clients au n+1ième mois, soit Un+1
2) On considère la suite Vn définie pour tout entier naturel n par Vn = 10000 - Un
En exprimant Vn+1 en fonction de Vn, montrer que V est une suite géométrique dont la raison est 0.7 et dont on donnera le
premier terme.
Vn = 10000 - Un
Vn+1 = 10000 - Un+1
= 10000 – (0.7Un + 3000)
= 10000 – 3000 -0.7Un
= 7000 – 0.7 Un
= 0.7 x (10000 – Un)
= 0.7 Vn
Donc (Vn) est une suite géométrique de raison 0.7 et de premier terme V1 qui vaut :
V1 = 10000 – U1 = 10000 – 8000 = 2000
3) Exprimer Vn , puis Un, en fonction de n.
D’après la question 2) on a :
Vn = 2000x 0.7n-1 (attention, c’est du au fait que la série commence a V1 et non V0)
Or Vn = 10000-Un
Donc Un = 10000 - Vn
Un = 10000 – 2000 x 0.7n-1
4)a) Déterminer en vous aidant de la calculatrice le plus petit entier n tel que U n > 9900.
b) Interpréter le résultat trouvé en termes de nombres de clients du supermarché.