Théorèmes de Banach et al. - Université de Montpellier

Master 1 Mathématiques
Analyse Fonctionnelle HMMA113
Université de Montpellier
Année universitaire 2016-2017
Feuille d’exercices no 2
Théorèmes de Banach & al., topologies faibles
Exercice 1 Soit l∞ := {(xn ) ∈ RN | supn∈N |xn | < +∞}, et C le sous-espace des suites convergentes.
Pour toute suite (xn ) ∈ l∞ on note lim sup xn := limn→∞ supk≥n {xk }. Montrer qu’il existe λ ∈ (l∞ )0
telle que λ((xn )) = limn→∞ xn pour toute suite (xn ) ∈ C, et λ((xn )) ≤ | lim sup xn | pour toute suite
(xn ) ∈ l∞ .
Exercice 2 Soit (H, (·, ·)) un espace de Hilbert et T : H → H une application linéaire. Montrer que si
(T x, y) = (x, T y) pour tous x, y ∈ H, alors T est continue.
Exercice 3 On considère les espaces de Banach L1 := L1 (0, 1) et L2 := L2 (0, 1).
1. Montrer que L2 est inclus dans L1 .
2. Pour tout n ≥ 1 on note En l’ensemble des fonctions f ∈ L1 telles que
le lemme de Fatou, montrer que En est un fermé de L1 .
R1
0
|f (t)|2 dt ≤ n. En utilisant
3. Construire une suite (fn ) de L1 qui converge vers la fonction nulle et vérifie lim ||fn ||2 = +∞.
Montrer que En est d’intérieur vide dans L1 .
4. En déduire que L1 \ L2 est dense dans L1 .
Exercice 4 (Un théorème de Grothendieck) Soit X un sous-espace fermé de L2 ([0, 1]) dont chaque élément
est aussi dans L∞ ([0, 1]). On rappelle que f ∈ L∞ ([0, 1]) si il existe une constante M telle que |f (x)| ≤ M
presque partout sur [0, 1]; dans ce cas on note ||f ||∞ = inf{M ∈ [0; +∞[, |f (x)| ≤ M p.p.}.
1. Déduire d’un théorème du cours qu’il existe une constante C > 0 telle que
∀f ∈ X, ||f ||∞ ≤ C||f ||2 .
2. Soit f1 , . . . , fn une famille orthonormale d’éléments de X, et pour tout x ∈ Cn , Fx =
Pn
j=1
xj fj .
(a) Calculer ||Fx ||2 .
(b) On choisit une partie dénombrable dense D de Cn . Montrer qu’il existe N ⊂ [0, 1] de mesure
nulle tel que
∀x ∈ D, ∀t ∈
/ N, |Fx (t)| ≤ C||x||2 .
(c) En déduire que ∀x ∈ Cn , ∀t ∈
/ N , |Fx (t)| ≤ C||x||2 .
(d) En choisissant x convenablement, montrer que ∀t ∈
/ N,
Pn
j=1
|fj (t)|2 ≤ C 2 .
3. En déduire que X est de dimension finie.
Exercice 5 Soient T : X → Y une application linéaire continue surjective entre espaces de Banach.
Montrer qu’il existe c > 0 tel que pour tout y ∈ Y il existe x ∈ X vérifiant T (x) = y et ||x||X ≤ c||y||Y .
Exercice 6 Soient X et Y deux espaces vectoriels normés, et (Tn ) une famille équicontinue d’applications
linéaires de X vers Y . On suppose que (Tn ) converge simplement vers une application T : X → Y .
1. Montrer que :
(a) T est linéaire et continue;
1
(b) (Tn ) converge uniformément vers T sur tout compact de X;
(c) Pour tout suite (xn ) de X qui converge vers x ∈ X, la suite (Tn (xn )) converge vers T (x).
2. Montrer que si Y est complet et on suppose seulement que la suite (Tn ) converge simplement sur
un sous-ensemble partout dense de X, alors les propriétés (a)-(b)-(c) restent vraies.
Exercice 7 Soient X et Y deux espaces de Banach, Z un espace vectoriel normé, et b : X × Y → Z une
application bilinéaire telle que pour tout point y ∈ Y (resp. x ∈ X) fixé l’application b(·, y) (resp. b(x, ·))
est continue sur X (resp. Y ).
1. Soit (xn , yn ) une suite de points de X × Y qui converge vers (0, 0). Pour tout x ∈ X on pose
fn (x) = b(x, yn ). Montrer que la suite (fn ) est équicontinue sur X. En déduire que lim b(xn , yn ) = 0.
2. Montrer que b est continue sur X × Y .
3. On munit l’espace
réels de la
R 1 vectoriel E des fonctions polynomiales à une variable et à coefficients
R1
norme ||P || = 0 |p(t)|dt. Montrer que l’application b : E × E → R, (P, Q) 7→ 0 P (t)Q(t)dt, est
séparément continue mais non continue sur E ×E. Pourquoi ce résultat n’est-il pas en contradiction
avec ceux des questions précédentes ?
Exercice 8 Soit X un espace de Banach. On dit qu’un sous-espace vectoriel fermé F de X admet un
supplémentaire topologique s’il existe un sous-espace vectoriel fermé G de X tel que X = F ⊕ G.
1. Montrer qu’un sous-espace fermé F de X admet un supplémentaire topologique si, et seulement si,
F est l’image d’un projecteur continu p : X → X.
2. Soit F un sous-espace de X de dimension finie, {f1 , . . . , fn } une base de F , et {f1∗ , . . . , fn∗ } la base
duale.
(a) Justifier que les formes linéaires f1∗ , . . . , fn∗ sont continues sur F .
(b) Montrer que F admet un supplémentaire topologique. (Utiliser le théorème de Hahn-Banach
et la question 1.)
3. Déduire d’un résultat du cours de L3 que tout supplémentaire (algébrique) d’un sous-espace fermé
de X de codimension finie est un supplémentaire topologique.
4. Exemple. Soit N ⊂ X 0 un sous espace de dimension p, et F = {x ∈ X, f (x) = 0, ∀f ∈ N }. En
utilisant l’exercice 20 (2), montrer que si f1 , . . . , fp est une base de N , alors l’application ϕ : E → Rp ,
x 7→ (f1 (x), . . . , fp (x)), est surjective. En déduire que F admet un supplémentaire topologique.
5. Dans le cas où X est un espace de Hilbert, pouvez-vous définir un supplémentaire topologique
canonique associé à tout sous-espace fermé F de X ?
Exercice 9 Soit X un espace vectoriel normé, Y un espace de Banach, et (Tn ) une suite d’applications
linéaires continues de X dans Y . On note C l’ensemble des points x ∈ X tels que la suite (Tn (x))
converge.
1. Montrer que C est un sous-espace de X. En déduire que si C n’est pas maigre, alors C est partout
dense et la suite (Tn ) est équicontinue.
2. Montrer que si C n’est pas maigre, alors C = X. (Utiliser la convergence simple de (Tn ) sur C.)
Exercice 10 Soit (an ) ∈ CN telle que pour toute suite complexe (xn ) ∈ lp , on a (an xn ) ∈ lp . Montrer
que (an ) ∈ l∞ . (Indication : montrer que l’application (xn ) 7→ (an xn ) est continue.)
Exercice 11 Soit X un espace vectoriel normé. Montrer que ||x|| = supT ∈X 0 ,|||T |||=1 |T (x)| pour tout
x ∈ X, et que la borne sup est atteinte. En quoi ce résultat est-il surprenant ?
Exercice 12 (Parties bornées et faiblement bornées) Soit X un espace de Banach.
2
1. Soit B 0 une partie de X 0 telle que l’ensemble {f (x), f ∈ B 0 } soit borné pour tout x ∈ X. Montrer
que B 0 est une partie bornée de X 0 (pour la norme subordonnée, notée ||| · |||).
2. Soit B une partie de X telle que l’ensemble {f (x), x ∈ B} soit borné pour tout f ∈ X 0 . Pour tout
b ∈ B on note
00
Tb : X 0 −→ R
T : X −→ X
f 7−→ f (b)
x 7−→ Tx .
00
(a) Montrer que T (B) est une partie bornée de X , puis que sup|||f |||=1 |f (b)| = ||b||.
(b) En déduire que B est une partie bornée de X.
Exercice 13 Soit K un compact d’un espace de Banach. Montrer que toute suite dans K faiblement
convergente est fortement convergente.
Exercice 14 On considère l’espace E = C([0, 1], R) muni de la norme sup k · k∞ .
1. Montrer que si une suite (fn ) de E converge pour la topologie faible σ(E, E 0 ), alors elle converge
simplement.
2. Pour tout entier n non nul on pose fn (x) := (1 − nx).1[0,1/n] (x). Montrer que fn est dans la sphère
unité de E, mais qu’aucune suite extraite de (fn )n∈N ne peut converger faiblement vers un élément
de E.
3. Que peut-on en déduire ?
Exercice 15 Soit X un Banach réflexif.
1. Montrer que la boule unité fermée BX (0, 1] de X est faiblement compacte (Indication : montrer
que l’inverse de l’application canonique J : X → X 00 est continue de X 00 muni de σ(X 00 , X 0 ) vers
σ(X, X 0 )).
(NB: un théorème de Kakutani affirme que, réciproquement, si BX (0, 1] est faiblement compacte
alors X est réflexif.)
2. En déduire que tout borné de X est relativement faiblement compact.
3. Montrer que tout convexe fermé fort et borné de X est faiblement compact (Utiliser l’exercice 19).
Exercice 16 Soient X et Y deux espaces de Banach et T : X → Y linéaire. On rappelle que T est
compacte si T (BX (0, 1]) est compacte dans Y .
1. Vérifier que tout compact d’un espace vectoriel normé est borné, et en déduire que si T est compacte,
alors T est continue.
2. Montrer que si T : X → Y est compacte, alors T vérifie la propriété (P) suivante : si (xn ) est
une suite de X qui converge faiblement vers 0, alors T (xn ) converge (fortement) vers 0. (Montrer
que {T (xn )}n est relativement compact, puis, en utilisant le théorème d’approximation, que 0 est
la seule valeur d’adhérence de la suite (T (xn ))n .)
3. Si de plus X est réflexif, montrer que si T vérifie la propriété (P) de la question 2., alors T est
compacte (Utiliser l’exercice 15 (1).).
4. Montrer que si X est de dimension infinie et T est compacte, alors T ne peut pas être bijectif.
Exercice 17 Montrer que toute suite dans la boule unité fermée de L2 (R) admet une sous-suite faiblement
convergente. Trouver une suite faiblement convergente dans cette boule sans sous-suite convergente.
Exercice 18 Soit X un espace vectoriel normé. Montrer que tout sous-espace vectoriel fermé de X est
égal à l’intersection des hyperplans fermés qui le contiennent.
Exercice 19 Soit X un R-espace vectoriel normé.
3
1. Soit C un convexe de X contenant l’origine, et a ∈
/ C.
(a) Montrer que si C est ouvert, alors il existe T ∈ X 0 tel que T (x) < T (a) pour tout x ∈ C.
(Utiliser Hahn-Banach et la jauge de C.)
(b) Montrer que si C est fermé, alors il existe T ∈ X 0 et α ∈ R tels que T (x) < α < T (a) pour
tout x ∈ C. (Considérer un voisinage de 0 de la forme C + B(0, r)), et utiliser (a).)
2. En déduire que toute partie convexe fermée non vide de X est égale à l’intersection des demi-espaces
fermés qui la contiennent, puis que les convexes fermés forts de X sont ses convexes fermés faibles.
3. On suppose que X est de dimension infinie. Montrer que l’adhérence faible de la sphère unité de
X est égale à sa boule unité fermée.(Utiliser l’exercice 23.)
Exercice 20 (Hahn-Banach géométrique) Soit X un R-espace vectoriel normé, et A et B deux ensembles convexes, non vides et disjoints de X.
1. On suppose que A est un ouvert de X.
(a) Montrer qu’il existe f ∈ X 0 tel que f (x) < 0 pour tout x ∈ A − B = {a − b, a ∈ A, b ∈ B}.
(Utiliser l’exercice 19.)
(b) En déduire qu’il existe α ∈ R tel que f (x) ≤ α pour tout x ∈ A et f (x) ≥ α pour tout x ∈ B.
(On dit que l’hyperplan fermé {x ∈ X, f (x) = α} sépare A et B au sens large.)
2. On suppose que A est fermé et B est compact.
(a) Montrer que pour tout ε > 0 assez petit les ensembles Aε = A + B(0, ε) et Bε = B + B(0, ε)
sont des convexes ouverts, non vides et disjoints.
(b) En déduire qu’il existe f ∈ X 0 , α ∈ R et ε > 0 tels que f (x) ≤ α − ε pour tout x ∈ A et
f (x) ≥ α + ε pour tout x ∈ B. (On dit que l’hyperplan fermé {x ∈ X, f (x) = α} sépare A et
B au sens strict.)
Exercice 21 On considère l’espace de Banach L1 ([0, 2π]) des (classes de) fonctions mesurables à valeurs
complexes sur l’intervalle [0, 2π] intégrables pour la mesure de Lebesgue. Pour tout entier n ∈ Z et toute
√
R 2π
fonction f ∈ L1 ([0, 2π]) on note cn (f ) = (1/ 2π) 0 e−int f (t)dt, le n-ième coefficient de Fourier de f .
1. (Lemme de Riemann-Lebesgue) Montrer que limn→±∞ cn (f ) = 0. (On pourra d’abord supposer f
est continument dérivable, puis en déduire le résultat lorsque f ∈ L1 ([0, 2π]).)
2. Soit C0 (Z) = {(cn ) ∈ CN | limn→±∞ cn = 0}, et ϕ : L1 ([0, 2π]) → C0 (Z) l’application linéaire
définie par ϕ(f ) = (cn (f )).
(a) Montrer que C0 (Z) muni de la norme ||(cn )|| := supn∈Z |cn | est un espace de Banach.
(b) Montrer que ϕ est continue et injective.
(c) Montrer que l’image de ϕ est dense dans C0 (Z) (Utiliser le théorème de Stone-Weierstrass.)
2n+1
Pn
1
1 sin( 2 t)
ipt
= 2π
(les noyaux de Dirichlet) vérifient
3. Montrer que les fonctions fn (t) = 2π
p=−n e
sin( 2t )
limn→∞ ||fn ||1 = +∞.
4. En utilisant le théorème de Banach, déduire que ϕ n’est pas surjective.
5. Montrer que l’image de ϕ est maigre dans C0 (Z).
Exercice 22 Soit X l’espace l∞ muni de la norme || · ||∞ . Trouver une suite (fn ) de X 0 telle que
||fn ||∞ = 1 et (fn ) ne possède aucune sous-suite faiblement ∗-convergente. Y-a-t-il contradiction avec le
fait que BX 0 (0, 1] est faiblement-∗ compacte ? Que peut-on en conclure sur X ?
Exercice 23 Soit X un espace vectoriel normé de dimension infinie.
1. Montrer que tout voisinage faible d’un point x ∈ X contient une droite affine issue de x. (Montrer
que toute intersection finie d’hyperplans de X est non réduit à {0}, et en déduire le résultat.)
2. Montrer que la boule unité ouverte de X est d’intérieur vide pour la topologie faible.
4