les angles en folie (corrigé)

SITUATION DE
CONJECTURE
G1
Manifestation
s observables
d’un niveau…
Critère
d’évaluation
A
B
C
C3
C2
C4
C5-C1
Tu sais que la somme des mesures des angles intérieurs de tous les triangles est de 1800. Tu
sais également que pour tous les quadrilatères cette valeur est de 3600.
Qu’en est-il pour tous les autres polygones à « n » côtés?
À toi de jouer au mathématicien et de découvrir une formule mathématique qui permet de
déterminer la somme des mesures des angles intérieurs de n’importe quel polygone, peu
importe son nombre « n » de côtés.
Cette formule algébrique (qui sera ta conjecture) doit tenir compte du nombre de côtés du
polygone et doit te permettre de trouver rapidement la somme des angles intérieurs.
180
0
360
0
Ton raisonnement doit être convaincant
et prouver que ta formule fonctionne
pour tous les polygones !
1. La somme des angles intérieurs
d’un triangle est de 180o.
2. La somme des angles intérieurs
d’un quadrilatère est de 360o.
3. ON a des polygones à « n » côtés.
1. La somme des angles intérieurs des
polygones à « n » côtés.
2. Une formule unique qui donne la
réponse pour tous les polygones.
1
D
Mon idée de départ est :
Mon sentiment de départ (mon feeling).
Que l’on peut faire des bons de 180o à chaque fois que l’on ajoute un côté.
J’essaie de vérifier mon idée et d’expliquer ce que je fais :
Je fais des exemples,
Je cherche des règles,
Je teste ce que je trouve…
Je vérifie
1180o
+180o
360o
Je constate qu’il y a un bon
de 1800 d’un polygone à
l’autre.
+180o
540o
+180o
2-
J’explique
1- Je construis plusieurs
polygones et je mesure les
angles.
720o
Si j’ai 3 côtés, alors 1800.
Si j’ai 4 côtés, alors 3600.
Si j’ai 5 côtés, alors 5400. Etc.
2- Je constate encore. Il y a
peut-être un lien avec le
triangle.
Avec des bonds de 1800, il y a peut-être
un lien avec le triangle qui lui en a 1800.
35 X 1800 =
900o 
5400
3 X 1800 =
540o
3- En divisant le pentagone en
5 triangles à partir du
centre, on n’obtient pas la
bonne réponse. Mais en
divisant le pentagone en 3
triangles à partir d’un
sommet, on obtient la
bonne réponse.
2
Je formule une conjecture?
Je confirme, je raffine ou je change mon
idée de départ. Idéalement avec un énoncé plus mathématique.
Que la somme des angles intérieurs d’un polygone est 1800 fois le nombre de côtés
moins 2.
Ou
Que la somme des angles intérieurs d’un polygone est (n – 2) X 1800 où n est le
nombre de côtés du polygone.
Je convaincs :
J’explique et je défends davantage ma conjecture.
Dans un hexagone, il y a 4 triangles issus d’un même sommet.
Alors 1800 X (6 –2 ) = 180o X 4 = 720o
720o
Est-ce que cette formule fonctionne aussi
pour les triangles et pour les quadrilatères?
Avec les triangles : (3 – 2) X 180o = 180o Super
et avec les quadrilatères : (4 – 2) X 180o = 360o
Oui, la formule fonctionne avec les triangles et
les quadrilatères.
3