les probabilités

LES PROBABILITÉS
I. Introduction
1) Deux mots d'histoire :
Le calcul des probabilités débuta véritablement au 17e siècle, avec Pascal et Fermat, puis
Huygens et Bernoulli, par l'étude de certains jeux de hasard. Il fut considérablement
développé au 19e siècle, pour être appliqué aussi bien en Sciences Sociales (économie,...)
qu'en Sciences Physiques ( thermodynamique).
En 1933, le Soviétique Kolmogorov en donna un exposé axiomatique cohérent.
2) L'objet des probabilités :
C'est l'étude des phénomènes régis par le hasard... Le fait que des événements se
produisent au hasard n'implique pas une totale absence d'ordre. Il existe donc des « lois »
du hasard : c'est l'objet des probabilités que de mettre en évidence certaines de ces lois.
3) Modéliser une expérience aléatoire
Modéliser une expérience aléatoire dont les résultats possibles constitue l’ensemble ,
c’est choisir une loi de probabilité sur  qui représente au mieux les chances de
réalisation de chaque résultat.

Loi équirépartie
Si tous les résultats xi de l’ensemble  ont la même probabilité, alors la loi est
dite équirépartie.
Si  possède n éléments, chaque élément xi a alors une probabilité pi = 1/n.
C’est en général la situation que l’on choisit quand on lance une pièce équilibrée, un dé
non pipé, quand on tire une ou plusieurs carte au hasard d’un jeu bien battu, quand on
interroge une personne au hasard dasn une assemblée etc. On parle aussi de situation
d’équiprobabilité.
Pour un dé non pipé, on prendra alors la loi de probabilité suivante :
xi
pi
II. Loi de probabilité
1) Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire ?
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut ni prévoir, ni
calculer le résultat.
Aléatoire, adj : que rend incertain, dans l’avenir, l’intervention du hasard (Dictionnaire
Robert).
Il est cependant essentiel dans une expérience aléatoire d’être en mesure de déterminer
l’ensemble  de tous les résultats possibles :  = {x1 ; ... ; xn}
Ainsi, si l’on lance un dé à six faces, on prend généralement comme résultats possibles 1,
2, 3, 4, 5, 6. On a donc  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Pour une pièce, on prend  = {P, F}
1
1/6
2
1/6
3 4
1/6 1/6
5
1/6
6
1/6
 Si l’événement peut être facilement répété, on peut faire une simulation statistique
(par exemple, le jet de la punaise) en répétant l’expérience un grand nombre de fois. La
fréquence obtenue pour chacun des résultats possibles donnera la probabilité de ce
résultat.
4) Paramètres d’une loi de probabilité
Conservons les notations précédentes avec une loi de probabilité p définie sur un
ensemble  :
... xn
x1
x2
p1
p2 ... pn
n
L’espérance de la loi de probabilité est le nombre réel  défini par :    pi xi
2) Loi de probabilité
Définir une loi de probabilité psur l’ensemble , c’est associer à chaque résultat
xi un nombre positif pi tel que la somme des pi soit égale à 1.
On a donc :
... xn
x1
x2
p1
p2 ...
pn
avec, pour tout entier i compris entre 1 et n, pi  0 et
n
p
i 1
i
1.
Le nombre pi est appelé probabilité du résultat pi. Il mesure la probabilité que le résultat xi
se réalise : plus pi est proche de 1, plus xi a de chances de se réaliser ; à l’inverse plus pi
est proche de 0, moins xi a de chances de se réaliser.
i 1
La variance de la loi de probabilité est le nombre V défiie par :
n
 n

2
V   pi  xi       pi xi 2    2
i 1
 i 1

L’écart-type de la loi de probabilité est le nombre  =
;V.
III. Probabilité d’un événement
1) Qu’est-ce qu’un événement ?
Un événement A est une partie, ou un sous-ensemble, de l’ensemble  de tous les
résultats possibles d’une expérience aléatoire.
Lorsque un résultat x appartient à un événement A, on dit que x réalise A.
L’événement impossible correspond au sous-ensemble  de  : aucun résultat ne le
réalise.
L’événement certain correspond au sous-ensemble  de  : toute les résultats le
réalisent.
L’événement A  B (lire A union B) est formé des résultats qui réalisent l’événement A ou
l’événement B, c’est-à-dire au moins l’un des deux).
« x  A  B » signifie « x  A ou x  B »
Par exemple, si on lance un dé, l’événement A = « obtenir un numéro pair » correspond à
la partie A = {2 ; 4 ; 6} de . 2 réalise cet événement.
« Obtenir un résultat inférieur ou égal à 6 » est l’événement certain ; « obtenir 7 » est
l’événement impossible.
2) Probabilité d’un événement

Cas d’une loi quelconque
La probabilité d’un événement A est par définition la somme des probabilités des
résultats qui réalisent A. On la note p(A).
p(A) est toujours compris entre 0 et 1.
Il est clair que p() = 0 et que p() = 1.
 Cas d’une loi équirépartie
La probabilité d’un événement A est le quotient :
nombres de cas favorables à A
p(A) = Error! =
nombre de cas possibles
En reprenant l’exemple du dé, supposé non pipé, calculons la probabilité de l’événement
B = « tirer un numéro multiple de 3 ».
Comme B = {3, 6}, p(B) = Error! = Error!.
3) Calculs de probabilités
A et B sont deux événements.
 Intersection et réunion d’événements
L’événement A  B (lire A inter B) est formé des résultats qui réalisent à la fois
l’événement A et l’événement B.
« x  A  B » signifie « x  A et x  B »
Lorsqu’aucune issue ne réalise A et B, c’est-à-dire lorsque A  B = , on dit que A et B
sont incompatibles.
Réunion
Si A et B sont des événements disjoints (A  B = ), on a
p(AB) = p(A) + p(B).
Si A et B sont quelconques,
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B).
 Événement contraires
L’événement contraire de A est noté A : il est constitué de tous les résultats possibles qui
ne sont pas dans A.
p(¯;A) = 1 – p(A).
IV. Variables aléatoires
1) Définition
 est l’ensemble des issues d’une experience aléatoire.
Définir une variable aléatoire X sur  consiste à associer un reel à chaque issue.
a étant un reel, l’événement X prend la valeur a est note X = a.
Exemple:
Vous jouez au jeu suivant : en lançant deux fois une pièce de monnaie, vous gagnez en
euros le nombre de fois où face est sorti. Mais si pile sort deux fois, vous versez à
l’organisateur 3 euros.
Interprétons cet exercice en termes de variable aléatoire.
On sait que l’ensemble  traduisant l’expérience est  = {PP,PF,FP,FF}.
À l’issue PP, on associe le reel –3 ; à l’issue PF ou FP, on associe 1 ; à l’issue FF, on
associe 2.
2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire
2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Une loi de probabilité est définie sur .
On associe à chaque valeur prise par la variable aléatoire la probabilité qu’elle
prenne cette valeur.
Une loi de probabilité est définie sur .
On associe à chaque valeur prise par la variable aléatoire la probabilité qu’elle
prenne cette valeur.
Exemple
En reprenant l’exemple precedent, la variable aléatoire égale au gain du joueur prend les
valeurs –3, 1 et 2 avec les probabilities Error!, Error! et Error!.
Ceci revient à définir une loi de probabilité sur l’ensemble –3, 2, 1 définie par le tableau
suivant :
xi
–3
1
2
p(X=xi)
1/4
1/2
1/4
Exemple
En reprenant l’exemple precedent, la variable aléatoire égale au gain du joueur prend les
valeurs –3, 1 et 2 avec les probabilities Error!, Error! et Error!.
Ceci revient à définir une loi de probabilité sur l’ensemble –3, 2, 1 définie par le tableau
suivant :
xi
–3
1
2
p(X=xi)
1/4
1/2
1/4
3) Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X
3) Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X
C’est l’espérance, la variance et l’écart-type de sa loi de probabilité.
L’espérance de la variable aléatoire X est notée E(X)sa variance V(X)et son écart-type
(X).
C’est l’espérance, la variance et l’écart-type de sa loi de probabilité.
L’espérance de la variable aléatoire X est notée E(X)sa variance V(X)et son écart-type
(X).
Exemple
L’espérance mathématique de la variable définie précédemment est :
1
1
1 1
E  X   3   1  2  
4
2
4 4
2
1
1
1 1
3 1 2 1 1
V  X   3  2  1 2  2  2         
4
16
4 16 16 8
4
2
4  
Exemple
L’espérance mathématique de la variable définie précédemment est :
1
1
1 1
E  X   3   1  2  
4
2
4 4
2
1
1
1 1
3 1 2 1 1
V  X   3  2  1 2  2  2         
4
16
4 16 16 8
4
2
4  
8
2

.
8
4
8
Interprétation de l’espérance mathématique:
Si on joue 4000 fois, on gagnera en moyenne 1 euro dans la moitié des cas, soit 2000 fois,
2 euros dans un quart des cas, soit 1000 fois et on perdra 3 euros dans un quart des cas,
soit 1000 fois.
Le gain moyen sur 4000 partie est donc :
2000 1  1000  2  1000  3
2000  1  1000  2  1000  3 1
1
1
 1   2   3
=
4000
4000
2
4
4
et on retrouve ici le calcul de l’espérance.
L’écart-type vaut donc
1

8
2

.
8
4
8
Interprétation de l’espérance mathématique:
Si on joue 4000 fois, on gagnera en moyenne 1 euro dans la moitié des cas, soit 2000 fois,
2 euros dans un quart des cas, soit 1000 fois et on perdra 3 euros dans un quart des cas,
soit 1000 fois.
Le gain moyen sur 4000 partie est donc :
2000 1  1000  2  1000  3
2000  1  1000  2  1000  3 1
1
1
 1   2   3
=
4000
4000
2
4
4
et on retrouve ici le calcul de l’espérance.
L’écart-type vaut donc
1

2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Une loi de probabilité est définie sur .
On associe à chaque valeur prise par la variable aléatoire la probabilité qu’elle
prenne cette valeur.
Une loi de probabilité est définie sur .
On associe à chaque valeur prise par la variable aléatoire la probabilité qu’elle
prenne cette valeur.
Exemple
En reprenant l’exemple precedent, la variable aléatoire égale au gain du joueur prend les
valeurs –3, 1 et 2 avec les probabilities Error!, Error! et Error!.
Ceci revient à définir une loi de probabilité sur l’ensemble –3, 2, 1 définie par le tableau
suivant :
xi
–3
1
2
p(X=xi)
1/4
1/2
1/4
Exemple
En reprenant l’exemple precedent, la variable aléatoire égale au gain du joueur prend les
valeurs –3, 1 et 2 avec les probabilities Error!, Error! et Error!.
Ceci revient à définir une loi de probabilité sur l’ensemble –3, 2, 1 définie par le tableau
suivant :
xi
–3
1
2
p(X=xi)
1/4
1/2
1/4
3) Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X
3) Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire X
C’est l’espérance, la variance et l’écart-type de sa loi de probabilité.
L’espérance de la variable aléatoire X est notée E(X)sa variance V(X)et son écart-type
(X).
C’est l’espérance, la variance et l’écart-type de sa loi de probabilité.
L’espérance de la variable aléatoire X est notée E(X)sa variance V(X)et son écart-type
(X).
Exemple
L’espérance mathématique de la variable définie précédemment est :
1
1
1 1
E  X   3   1  2  
4
2
4 4
2
1
1
1 1
3 1 2 1 1
V  X   3  2  1 2  2  2         
16 4 16 16 8
4
2
4 4
Exemple
L’espérance mathématique de la variable définie précédemment est :
1
1
1 1
E  X   3   1  2  
4
2
4 4
2
1
1
1 1
3 1 2 1 1
V  X   3  2  1 2  2  2         
16 4 16 16 8
4
2
4 4
8
2

.
8
4
8
Interprétation de l’espérance mathématique:
Si on joue 4000 fois, on gagnera en moyenne 1 euro dans la moitié des cas, soit 2000 fois,
2 euros dans un quart des cas, soit 1000 fois et on perdra 3 euros dans un quart des cas,
soit 1000 fois.
Le gain moyen sur 4000 partie est donc :
2000 1  1000  2  1000  3
2000  1  1000  2  1000  3 1
1
1
 1   2   3
=
4000
4000
2
4
4
et on retrouve ici le calcul de l’espérance.
L’écart-type vaut donc
1

2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire
8
2

.
8
4
8
Interprétation de l’espérance mathématique:
Si on joue 4000 fois, on gagnera en moyenne 1 euro dans la moitié des cas, soit 2000 fois,
2 euros dans un quart des cas, soit 1000 fois et on perdra 3 euros dans un quart des cas,
soit 1000 fois.
Le gain moyen sur 4000 partie est donc :
2000 1  1000  2  1000  3
2000  1  1000  2  1000  3 1
1
1
 1   2   3
=
4000
4000
2
4
4
et on retrouve ici le calcul de l’espérance.
L’écart-type vaut donc
1
