Modèle mathématique.

APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES EN GEOMETRIE
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O;Error! ,Error! )
1 ) UTILISATION DE L'AFFIXE D'UN VECTEUR : DISTANCES ET ANGLES
Rappel : La notion de distance correspond au module, la notion d'angle à l'argument.

;V(
z)

;V' ( z
)
Propriétés


Soit
;Vet
;V 'deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z' .
Si z et z' ont pour formes trigonométriques z = r (cos  + i sin ) et z' = r' (cos ' + i sin ') alors :
( Error! , Error! ) =  = arg z [ 2 ]
(Error! ,Error! ) = ' –  = arg z' – arg z [ 2 ]
Preuve :



Si
;V a pour affixe z, on sait que
;V =
;OM avec M le point d'affixe z.
D'autre part on a par définition arg z =  = ( Error! , Error! ) [ 2 ]
Donc
( Error! , Error! ) =  = arg z [ 2 ]
 

Et (
;V,
;V ') = (
;V, Error! ) + ( Error! ,Error! ) = ( Error! ,Error! ) - ( Error! ,Error! ) = ' -  = arg z' - arg z [
2 ]
Propriétés
Soit A, B, C et D des points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD tels que A  B et C  D.

 le vecteur
;AB a pour affixe zB - zA , et on a : AB = zB - zA et (Error! ,Error! ) = arg (zB - zA) [ 2 ]

Error! = Error!
et
(Error! ,Error! ) = arg (zD - zC) - arg (zB - zA) = arg Error! [ 2 ]
Preuve :
 On a vu précédemment que
( Error! ,Error! ) = arg z [ 2 ] , z étant l'affixe de Error! .
On en déduit donc : ( Error! ,Error! ) = arg (zB - zA) [ 2 ]
 Error! = Error! = Error!
 


 On a vu précédemment que (
;V,
;V ') = arg z' - arg z [ 2 ], z étant l'affixe de
;V et z' l'affixe de
;V '.


On en déduit que (
;AB,
;CD) = arg (zD - zC) - arg (zB - zA) = arg Error! [ 2 ] .
Propriétés
Soit A, B, C et D des points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD tels que A  B et C  D.
Les propriétés ci-dessous sont équivalentes :


;AB 
;CD


;AB.
;CD = 0


- (
;AB,
;CD) = Error! [  ]
- arg Error! = Error! [  ]
- Error! est imaginaire pur
Preuve :
 L'équivalence des quatre premières propriétés est immédiate.
 Les nombres complexes imaginaires purs (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument Error! ou Error!
(modulo 2 ), c'est-à-dire Error! (modulo )
Propriétés
Soit A, B et C des points distincts d'affixes respectives zA, zB, et zC.
Les propriétés ci-dessous sont équivalentes :
-
A, B et C sont alignés


;AB et
;AC sont colinéaires


;AC = k
;AB , k  IR
-
Error!  IR
arg Error! = 0 [  ]
Preuve :
 L'équivalence des trois premières propriétés est immédiate.


 Le vecteur
;AC ayant pour affixe zC - zA et le vecteur
;ABayant pour affixe zB - zA , on obtient :


;AC = k
;AB , k  IR  zC - zA = k (zB - zA) , k  IR  Error!  IR
 Les nombres réels (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument 0 ou  (modulo 2  ), c'est-à-dire 0 (modulo ).
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C
y
y



2 ) CARACTERISATION D'ENSEMBLES DE POINTS
Propriété
Soit C le cercle de rayon r et de centre  d'affixe z = x + i y où x et y sont
des réels . Soit M un point d'affixe z = x + i y où x et y sont des réels.
MC

| z - z | = r

z = z + r e i ( où   IR )
x = x + r cos ;y = y + r sin  ( où   IR )

{
Preuve :
Par définition
MC 
M = r

| z - z | = r
On sait qu'un nombre complexe de module r (r  0) s'écrit sous la forme exponentielle r e i  ( où   IR )
On peut donc écrire :
| z - z | = r 
z - z = r e i ( où   IR ) 
z = z + r e i ( où   IR )
En passant aux coordonnées, on obtient :
x = x + r cos ;y = y + r sin  ( où   IR )
M  C  | z - z | = r  z = z + r e i ( où   IR ) 
Propriété
{
Soit A et B les points d'affixes z et z .
L'ensemble  des points M d'affixes z tels que | z – z | = | z – z | est la médiatrice du segment [AB].
Preuve :
| z – z | = MA et | z – z | = MB ...
3 ) ECRITURE COMPLEXE D'UNE TRANSFORMATION
Propriétés



L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z + b où b est un nombre complexe fixé, est la

translation de vecteur
;V d'affixe b.
L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z' –  = k (z - ) où k est un nombre réel non nul
fixé et  un nombre complexe fixé, est l'homothétie de centre  d'affixe  et de rapport k.
L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z' - = e i  (z - ) où  est un nombre réel fixé et
 un nombre complexe fixé, est la rotation de centre  d'affixe  et d'angle .
Preuve :





Si le point M' a pour affixe z' = z + b , alors z' - z = b , donc
;MM' =
;V


Si le point M' a pour affixe z' avec z' –  = k (z - ) , alors
;M' = k
;M
Soit M' le point d’affixe z' tel que z' - = e i  (z - )
- si z   on a bien sûr z'  . On a alors Error! = e i  .
D’où Error! = 1 et arg Error! =  [ 2 ]
On en déduit que Error! = 1 et (Error! ,Error! ) =  [ 2 ] , c'est-à-dire M' = M et (Error! ,Error! ) =  [ 2 ].
- si z =  alors z' = .  est donc invariant par cette application.
L'application est donc la rotation de centre  et d'angle .
Remarque :

L'expression de z' en fonction de z est appelée écriture complexe de l'application.
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