Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

TS2
DEVOIR SURVEILLE N°3 (2h)
J 24/09/11
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,
même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé!
Exercice 1 : ( 2 points)
Dans le plan complexe, on considère un point M d'affixe z.
Associer à chaque point du plan sur le dessin ci-dessous son affixe
y
A
B
C
v
o u
F
M(z)
D
E
x
A
•
•
z
B
•
•
z
C
•
•
–z
D
•
•
zz
E
•
•
zz
F
•
•
zz
G
•
•
H
•
•
1
zz
2
1
zz
2
G
H
 
 
Exercice 2 : ( 2 points)
Prérequis : on admet que pour tous nombres complexes z et z', z.z '  z.z ' .
En utilisant ce prérequis, démontrer successivement que pour tous nombres complexes z et z' avec z  0,
1 1
 z'  z'
on a :
et
 
 
z z
z z
Exercice 3 : ( 3 points)
On considère la fonction P de la variable complexe z définie par :
1) Calculer P Error!.
2) Déterminer les réels a, b et c tels que P(z) = (2z – 3)(az2 + bz + c)
3) Déterminer les solutions dans I;C de l’équation P(z) = 0.
Exercice 4 : ( 4 points)
P(z) = 2z3 + 5z2 + 14z – 39
Dans le plan complexe muni d’un repère (O ;Error!,Error!) (unité graphique : 4 cm), on note A le point
d’affixe
zA = – 1 + i. Soit Z le nombre complexe défini par Z = Error! pour z  – 1 + i.
Soit f la transformation qui à tout point M du plan d’affixe z associe son image M’ d’affixe Z.
1) (a) Calculer l’image de 1 + 2i par f.
(b) Déterminer les antécédents de 2i par f.
2) On pose z = x + iy où x et y sont réels.
2 x²  2 x  2 y ²  3 y  1
x  2y 1
(a) Montrer que Re (Z) =
et Im (Z) =
.
( x  1)²  ( y  1)²
( x  1)²  ( y  1)²
(b) Déterminer et construire l’ensemble (E1) des points M d’affixe z telle que Z soit réel.
(c) Déterminer et construire l’ensemble (E2) des points M d’affixe z telle que Z soit imaginaire pur.
Exercice 5 : ( 2 points)
Démontrer, pour tout réel a  0 et tout entier naturel n, « l’inégalité de BERNOULLI » : (1 + a)n  1 + na
Exercice 6 : ( 7 points)
La suite un  est définie, pour tout entier naturel n, par u 0  0 et u n 1 
3u n  2
.
un  4
3x  2
sur l'intervalle I = [0 ; 1].
x4
(a) Etudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle I et en déduire que, pour tout x de
l'intervalle I, f (x)  I.
(b) Démontrer, avec un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, u n appartient à I.
1) On considère la fonction f définie par f ( x) 
(c) Prouver que la suite un  est croissante.
2) On considère la suite vn  définie, pour tout entier naturel n, par v n 
un  2
.
un  1
(a) Démontrer que la suite vn  est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
(b) Donner l'expression de vn  en fonction de n.
(c) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de vn et en déduire u n en fonction de n.