NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS I. NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS Les nombres entiers sont les nombres qui peuvent s’écrire sans virgule. Exemples : 5 ; 4 ; Error! sont des nombres entiers. Les nombres décimaux les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule. Exemples : 6,7 ; Error! ; Error! sont des nombres décimaux. Les nombres rationnels les nombres qui peuvent s’écrire comme un quotient de deux entiers. Exemples : Error! et Error! sont des nombres rationnels. ATTENTION : Certains nombres n’entrent dans aucune de ces catégories. On dit qu’ils sont irrationnels. Exemples : II. 2 et sont des nombres irrationnels. DIVISEURS COMMUNS A DEUX NOMBRES ENTIERS. 1. Diviseurs d’un nombre entier : a et b sont deux nombres entiers. On dit que b est un diviseur de a quand le reste de la division de a par b est nul (autrement dit, le quotient qu’on obtient en calculant a : b à la machine est entier) Exemple : 2, 3, 4 et 6 sont des diviseurs de 12 : 12 : 2 = 6 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 1 et 12 sont également des diviseurs de 12 car : 12 : 1 = 12 12 : 12 = 1 Par contre, 5 et 7 ne sont pas des diviseurs de 12 : 12 : 5 = 2,4 12 : 7 1,714285714… Les diviseurs de 12 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6 et 12 sont les diviseurs de 12. 2. Diviseurs communs à deux nombres entiers (Exemple) : 1, 2, 3, 4, 6 et 12 sont les diviseurs de 12. 1, 2, 3, 6, 9 et 18 sont les diviseurs de 18. Alors 1, 2, 3 et 6 sont les diviseurs communs à 12 et 18. 3. PGCD : On appelle PGCD le Plus Grand Diviseur Commun (ou « Commun Diviseur ») à deux nombres entiers. Le PGCD de 12 et 18 est … 6. Propriétés : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs, avec a > b. PGCD ( a ; a ) = a PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a ) PGCD ( a ; 1 ) = 1 Si b est un diviseur de a, alors PGCD ( a ; b ) = b Exemples : III. PGCD ( 103 ; 103 ) = 103 PGCD ( 31 ; 27 ) = PGCD ( 27 ; 31 ) On a 85 = 17 × 5 donc PGCD ( 85 ; 17 ) = 17 PGCD ( 47 ; 1 ) = 1 METHODES DE CALCUL DU PGCD DE DEUX ENTIERS 1. Calcul à l’aide de l’algorithme des soustractions successives Propriété : a et b désignent deux entiers strictement positifs avec a > b. PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b) Exemple : Calcul du PGCD ( 145 ; 58 ) 145 – 58 = 87 d’où PGCD (145 ; 58 ) = PGCD ( 87 ; 58 ) 87 – 58 = 29 d’où PGCD ( 87 ; 58 ) = PGCD ( 58 ; 29 ) 58 – 29 = 29 d’où PGCD ( 58 ; 29 ) = PGCD ( 29 ; 29 ) Comme PGCD ( 29 ; 29 ) = 29 alors PGCD ( 145 ; 58 ) = 29 2. Calcul à l’aide de l’algorithme d’Euclide. Propriété : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs, avec a > b. PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. Exemple : Calcul du PGCD ( 224 ; 80 ) d’où 224 = 80 × 2 + 64 80 = 64 × 1 + 16 d’où PGCD ( 224 ; 80 ) = PGCD ( 80 ; 64 ) PGCD ( 80 ; 64 ) = PGCD ( 64 ; 16 ) 64 = 16 × 4 + 0. Ainsi 16 est un diviseur de 64. D’où PGCD ( 64 ; 16 ) = 16. Donc PGCD ( 224 ; 80 ) = 16 IV. FRACTIONS IRREDUCTIBLES. 1. Nombres premiers entre eux : On dit que deux nombres sont premiers entre eux quand ils ont pour unique diviseur commun 1. Cela revient à dire que leur PGCD est 1. Exemple : PGCD ( 15 ; 22 ) = 1 donc 15 et 22 sont premiers entre eux. 2. Fraction irréductible : Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemples : Error! est une fraction irréductible. Par contre, Error! est « réductible ». En effet Error! = Error! = Error!. En simplifiant par le PGCD des deux nombres, on obtient une nouvelle fraction qui, elle, est irréductible.