Comment calculer un reste.

Calculer un reste à l'aide de congruences
Situation
On cherche à déterminer le reste de la division euclidienne d'un très grand entier par un autre entier.
Par exemple, on recherche le reste de la division euclidienne de 12 3452000 par 7.
Une calculatrice ne permet pas de répondre (les nombres sont trop grands) mais il est possible de résoudre
le problème en utilisant les congruences.
Méthode
Pour trouver le reste de la division euclidienne de ab par n on va utiliser la caractérisation du reste à l'aide
de congruence :
r et le reste de la division euclidienne de m par n ⇔
r ≡ m [n]
0 ≤ r < |n|
et on va chercher à remplacer a et b par deux autres entiers plus petits u et v tels que ab ≡ uv [n]
1. On utilise la propriété :
a ≡ u [n] ⇒ ab ≡ ub [n]
pour remplacer a par un entier u plus petit, par exemple le reste de la division euclidienne de a par n
2. On calcule ensuite les puissances successives de u ( u2, u3, . . . ) et on cherche un entier k tel que
uk ≡ 1 [n] (un tel entier existe si u et n sont premiers entre eux-l'exemple 2 traite un cas où il n'est
pas possible de trouver un tel entier)
On effectue alors la division euclidienne de b par k :
b = kq + v
donc :
ub = ukq + v = ukq × uv = [uk]q × uv
ub ≡ [uk]q × uv ≡ 1q × uv ≡ uv [n]
3. On peut conclure :
ab ≡ ub ≡ uv [n]
Donc ab et uv ont le même reste dans la division par n . Ce reste est alors facile à calculer car u et v
sont "petits".
Exemple 1
On recherche le reste de la division euclidienne de 12 3452000 par 7.
1. On effectue tout d'abord la division euclidienne de 12 345 par 7. Le quotient est 1763 et le reste est 4.
Donc 12 345 ≡ 4 [7] et 12 3452 000 ≡ 42 000 [7]
2. 42 = 16 ≡ 2 [7]
43 = 64 ≡ 1 [7]
On effectue la division euclidienne de 2 000 par 3 : 2 000=666 × 3+2
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Donc :
42 000 = 4666 × 3 + 2 = [43]666 × 42 ≡ 1666 × 42 = 16 [7]
3. Le reste de la division euclidienne de 12 3452000 par 7 est donc le même que le reste de la
division euclidienne de 16 par 7 c'est à dire 2.
Exemple 2
On recherche le reste de la division euclidienne de 12 3442000 par 6.
1. On effectue tout d'abord la division euclidienne de 12 344 par 6. Le quotient est 2057 et le reste est 2.
Donc 12 344 ≡ 2 [6] et 12 3452 000 ≡ 22 000 [6]
2. 22 ≡ 4 [6]
3
2 = 8 ≡ 2 [6]
24 = 16 ≡ 4 [6]
etc.
Ici on ne peut pas trouver d'entier k tel que
k
2 ≡ 1 [6]
mais on remarque que
k
2 ≡ 2 [6]
si k est
impair et 2k ≡ 4 [6] si k est pair (ce résultat peut se démontrer facilement par récurrence; faites-le!)
Donc :
22 000 ≡ 4 [6]
Le reste de la division euclidienne de 12 3442000 par 6 est donc 4.
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