Solutions de mécanique du solide

TD
Sciences Appliquées
Mécanique des solides
STS
Mécanique des solides ______________________________________________________________________________________ 1
Mécanique du solide ________________________________________________________________________________________ 3
Exercice 1: Exercices sur les forces (Solution 1:)_________________________________________________________________ 3
Exercice 2: Exercices sur accélération et vitesse (Solution 2:) ______________________________________________________ 3
Exercice 3: Forces entre Voiture et Caravane (Solution 3:) ________________________________________________________ 3
Exercice 4: Force d’un démarrage (Solution 4:) _________________________________________________________________ 3
Exercice 5: Force sur un traineau (Solution 5:) __________________________________________________________________ 3
Exercice 6: Ascenseur (Solution 6:) ___________________________________________________________________________ 4
Exercice 7: Luge (Solution 7:) _______________________________________________________________________________ 4
Exercice 8: Ralentissement d’une automobile (Solution 8:) _______________________________________________________ 4
Exercice 9: Serrage d’écrou (Solution 9:) ______________________________________________________________________ 4
Exercice 10: Balançoire (Solution 10:) _________________________________________________________________________ 4
Exercice 11: BTS 2005 Nouméa : Arrêt d’une scie (Solution 11:) ____________________________________________________ 4
Exercice 12: Moteur électrique (Solution 12:) __________________________________________________________________ 5
Exercice 13: Pont Roulant (Solution 13:) _______________________________________________________________________ 5
Exercice 14: Machine à papier_______________________________________________________________________________ 5
Exercice 15: Energie cinétique d’un camion et son frein à disque (Solution 14:) _______________________________________ 5
Exercice 16: Energie cinétique d’un volant (Solution 15:) _________________________________________________________ 6
Exercice 17: Energie potentielle d’un barrage (Solution 16:) _______________________________________________________ 6
Exercice 18: Energie acquise lors d’une chute (Solution 17:) _______________________________________________________ 6
Exercice 19: Force d’une cote sur une voiture (Solution 18:) ______________________________________________________ 6
Exercice 20: Force et moment d’un moteur tractant une masse (Solution 19:) ________________________________________ 7
Exercice 21: Essoreuse à salade (Solution 20:) __________________________________________________________________ 7
Exercice 22: BTS Et 2008 Métro Dimensionnement d’un servomoteur de vanne (Solution 21:) ___________________________ 7
Exercice 23: BTS Et 2008 Nouméa le Pont Flaubert ( Solution 22:) __________________________________________________ 8
Exercice 24: BTS Et 2007 (Metro) Motorisation 106 Elec (Solution 23:) _____________________________________________ 10
Exercice 25: BTS Et 2006 métropole Motorisation d’un tramway (Solution 24:) ______________________________________ 10
Exercice 26: BTS 1998 Nouméa Etude de l’ensemble moteur – treuil d’un monte charge (Solution 25:) ___________________ 13
Exercice 27: BTS 2009 Nouméa Etude du pont de coulée (Solution 26:) ____________________________________________ 14
Exercice 28: BTS 2010 Nouméa Manitou (Solution 27:) __________________________________________________________ 17
Exercice 29: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant horizontal: (Solution 28:) _______________________________ 18
Exercice 30: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant en pente: (Solution 29:) ________________________________ 19
Exercice 31: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant en pente 2: (Solution 30:) _______________________________ 19
Exercice 32: BTS Et 2012 Métro Sucrerie (Solution 30:) __________________________________________________________ 21
Exercice 33: BTS Et 2012 Nouméa Chalet de montagne (Solution 31:) ______________________________________________ 26
Exercice 34: BTS Et 2013 Métro Eclairage centre culturel Picasso (Solution 32:) ______________________________________ 27
Solutions de mécanique du solide _____________________________________________________________________________ 30
Solution 1: Exercice 1:Exercices sur les forces ______________________________________________________________ 30
Solution 2: Exercice 2: Exercices sur accélération et vitesse ___________________________________________________ 30
Solution 3: Exercice 3:Forces entre Voiture et Caravane _____________________________________________________ 31
Solution 4: Exercice 4:Force d’un démarrage ______________________________________________________________ 32
Solution 5: Force sur un traineau ________________________________________________________________________ 32
Solution 6: Ascenseur _________________________________________________________________________________ 32
Solution 7: Luge ______________________________________________________________________________________ 33
Solution 8: Ralentissement d’une automobile (Solution 8:) ___________________________________________________ 34
Solution 9: Serrage d’écrou ____________________________________________________________________________ 34
Solution 10: Balançoire ________________________________________________________________________________ 34
Solution 11: BTS 2005 Nouméa : Arrêt d’une scie ___________________________________________________________ 34
Solution 12: Moteur électrique__________________________________________________________________________ 35
Solution 13: Pont Roulant ______________________________________________________________________________ 35
Solution 14: Energie cinétique d’un camion________________________________________________________________ 36
Solution 15: Energie cinétique d’un volant ________________________________________________________________ 36
Solution 16: Energie potentielle d’un barrage ______________________________________________________________ 37
Solution 17: Energie acquise lors d’une chute ______________________________________________________________ 37
Solution 18: Force d’une cote sur une voiture ______________________________________________________________ 38
1/57
Solution 19: Force et moment d’un moteur tractant une masse _______________________________________________ 39
Solution 20: Essoreuse à salade _________________________________________________________________________ 39
Solution 21: BTS Et 2008 Métro Dimensionnement d’un servomoteur de vanneBTS Et 2008 Métro Dimensionnement d’un
servomoteur de vanne _________________________________________________________________________________ 39
Solution 22: BTS Et 2008 Nouméa le Pont FlaubertBTS Et 2008 Nouméa le Pont Flaubert __________________________ 40
Solution 23: BTS Et 2007 (Metro) Motorisation 106 ElecBTS Et 2007 (Metro) Motorisation 106 Elec __________________ 42
Solution 24: Exercice 24:BTS Et 2006 métropole Motorisation d’un tramway (Solution 24:) _________________________ 42
Solution 25: Exercice 25:BTS 1998 Nouméa Etude de l’ensemble moteur – treuil d’un monte charge _________________ 43
Solution 26: Exercice 26:BTS 2009 Nouméa Etude du pont de coulée ___________________________________________ 45
Solution 27: Exercice 27:BTS 2010 Nouméa Manitou (Solution 27:) ____________________________________________ 47
Solution 28: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant horizontal:(Exercice 28:) ____________________________ 48
Solution 29: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant en pente: (Solution 29:)Exercice 29:) __________________ 49
Solution 30: Exercice 31:Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant en pente 2: () ___________________________ 50
Solution 31: Exercice 30:BTS Et 2012 Métro Sucrerie (Solution 30:) ____________________________________________ 53
Solution 32: Exercice 31:BTS Et 2012 Nouméa Chalet de montagne (Solution 31:) ________________________________ 55
Solution 33: Exercice 32:BTS Et 2013 Métro Eclairage centre culturel Picasso (Solution 32:) ________________________ 56
2/57
Mécanique du solide
Exercice 1: Exercices sur les forces (Solution 1:)
1)
2)
3)
4)
Quelle est le poids exercé par un homme de masse 80 kg
Quelles sont les forces appliquées sur ce même homme s’il est plongé intégralement dans l’eau douce à 20°C, que se
passe-t-il ?
Ce même homme est posé sur un ressort de balançoire, quelle sera la taille du ressort ?
Cet homme cherche à freiner une voiture sur le plat qui l’entraine, quelle est la force de frottement des semelles sur le
sol.
Données :
Gravité : g :9,81 m.s-2
Homme :
 Taille: 1.8 m
 Masse: 80 kg
 Volume: 90 dm3
 Coefficient de frottement au sol : 0.7=µS
 Pointure 44, surface au sol des 2 chaussures
50 cm²
Eau



Masse volumique de l’eau à 20°C : 1000 kg/m3
Masse volumique de l’eau de mer 1 020 à
kg/m³
Capacité calorifique : 4185 J.kg-1.°C-1


Raideur: 5000 N.m-1
Longueur au repos du ressort : 40 cm


Masse : 1.5 t
Vitesse : 5 km/h
Ressort
Voiture :
Exercice 2: Exercices sur accélération et vitesse (Solution 2:)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Une voiture avance à 10 km/h quelle est l’expression de la distance parcourue au cours du temps, quelle est la distance
parcourue en 10 min
Une voiture a une accélération nulle, que sait-on de sa vitesse ?
Au démarrage la vitesse d’une voiture est nulle puis passe à 10 m/s en 3s, quelle est son accélération ?
Si le régime d’accélération est conservé, quelle est la vitesse au bout de 10 s
Déterminez l’expression de la distance parcourue au cours du temps
Quelle est la distance parcourue au bout de 3s, au bout de 6 s puis 10s
Exercice 3: Forces entre Voiture et Caravane (Solution 3:)
Une caravane (2) est accrochée à une voiture (1) par l’intermédiaire d’une boule d’attelage A. La voiture exerce une force
sur la caravane ; la caravane exerce une

F21 sur la voiture. Comparer la valeur de ces deux forces lorsque :

F12
a) la voiture démarre.
b) l’ensemble roule à vitesse constante.
c) la voiture freine.
Exercice 4: Force d’un démarrage (Solution 4:)
Un véhicule de masse m=1 t doit avoir au démarrage une accélération a= 2 m.s-2. Les frottements au démarrage sont de f=250 N.
(On prendra les frottements statiques et dynamiques égaux et on négligera le frottement dans l’air)
1. Quel est le coefficient de frottement.
2. Calculer la force F que doivent exercer les roues sur le sol.
Exercice 5: Force sur un traineau (Solution 5:)
Un traîneau de masse m=120 kg est tiré sur un sol neigeux horizontal. Les frottements agissant sur le traîneau sont opposés au


déplacement et assimilables une force f horizontale de valeur f=300 N .Les chiens exercent une force F horizontale.
1) Effectuer le bilan des forces agissant sur le traîneau.

2) Calculer la valeur de la force F :
3/57
a.
b.
permettant de l’entraîner à vitesse constante.
permettant de lui communiquer une accélération de 0,5 m.s -2.
Exercice 6: Ascenseur (Solution 6:)
Une cabine d’ascenseur de masse M=300 kg transporte 3 personnes de masse totale m=200 kg. Lorsque la cabine est en

mouvement, le câble exerce sur celle-ci une force constante F verticale, dirigée vers le haut et de valeur 4905 N puis 5900 N.
On prendra g=9,81 m.s-2
1) Ecrire l’expression littérale donnant l’accélération de la cabine.
2) Déterminer l’état de la cabine lorsque la force est de 4905 N (immobile, se déplace à vitesse constante, accélérée) ?
3) Calculer la valeur de l’accélération de la cabine si F=5900 N et préciser le sens du vecteur accélération.
4) La cabine démarre sans vitesse initiale et à l’altitude initiale est de 0 m. Donner les expressions littérales de la vitesse et
de l’altitude à l’instant t = 6 s.
Exercice 7: Luge (Solution 7:)
Une luge de masse 20kg glisse sur une pente inclinée d’un angle = 35° par rapport à l’horizontale.(sur la ligne de plus grande
pente). Les frottements ne sont pas négligeables. L’accélération est de 1,5 m.s-2.
1) Effectuer un bilan des forces s’exerçant sur le solide. On fera les schémas nécessaires.
2) Déterminer les intensités de chacune des forces s’exerçant sur le solide. On expliquera la démarche adoptée.
3) Donner l’expression de la vitesse en fonction du temps. Que vaut cette vitesse au bout de 5s, durée nécessaire pour que
la luge arrive en bas de la pente ?
4) Que devient l’accélération si les frottements sont négligeables ?
Exercice 8: Ralentissement d’une automobile (Solution 8:)
Pour estimer les forces de frottements sur une automobile de 1 tonne roulant à 60 km.h-1 sur une route horizontale, on accélère
jusqu’à 65 km.h-1 , puis on débraye .La voiture ralentit jusqu’à 55 km.h -1 en 7,2s.
Calculer la valeur de la somme des forces de frottement en la supposant constante.
Exercice 9: Serrage d’écrou (Solution 9:)

Pour serrer un écrou, un ouvrier exerce une force F à l’extrémité d’une clé de poids négligeable.

F est perpendiculaire au manche de la clé. Celui- ci a pour mesure d (du bout du manche à l’axe de rotation).
1)
2)
3)
Faire un schéma.
Exprimer le moment du couple exercée par la clé sur l’écrou.
L’écrou doit être serré par un couple de 150 N.m. Calculer la valeur de F nécessaire si d=30cm et si d=40cm.
Exercice 10: Balançoire (Solution 10:)
Philippe et Brigitte sont assis de chaque côté d’une balançoire constituée d’une planche mobile autour d’un axe horizontal.
La planche est horizontale et en équilibre.
1) Montrer qu’on peut considérer la planche comme soumise à deux couples de forces.(On fera un schéma où on situera
ces forces.)
2) Ecrire le principe fondamental de la dynamique.
3) En déduire la distance à laquelle est assise Brigitte par rapport à l’axe de rotation. MBrigitte=42kg ; MPhilippe=48kg ; distance
Philippe/axe de rotation=120cm.
Exercice 11: BTS 2005 Nouméa : Arrêt d’une scie (Solution 11:)
Enregistrement initial
Un enregistrement de la fréquence de rotation du
rotor a été fait pendant la phase d'arrêt (figure 3), la scie
étant accouplée à la machine asynchrone mais désengagée
de la bille de bois. Le ralentissement de l'ensemble est
principalement dû aux différents frottements mécaniques
que l'on modélise par un couple résistant total CR que l'on
considérera comme constant.
n
1490
tr/min
420 s
t(s)
Figure 3
B.2.1. Ecrire la loi de la dynamique régissant la variation de la vitesse  en fonction du moment d'inertie J et du couple
résistant total CR pendant la phase d'arrêt.
4/57
B.2.2. La valeur du moment d'inertie de l'ensemble des parties tournantes est J = 21,5 kg.m². Calculer la valeur du couple
résistant total CR, sachant que la fréquence de rotation initiale est n = 1490 tr/min.
Après améliorations

Le démarreur-ralentisseur permet une décélération de
l'ensemble par application d'un couple de freinage C F
constant. La courbe (t) est alors la suivante :
L'arrêt de la machine est obtenu au bout d'une durée t 1.
t1
t(s)
Figure 5
C.3.1. Ecrire la loi de la dynamique lors de la décélération en tenant compte du couple de freinage C f et du couple résistant CR.
C.3.2. On veut obtenir l'arrêt après un temps t 1 = 45 s. Calculer la valeur du couple de freinage CF qui doit être appliqué à la
machine asynchrone sachant que la vitesse initiale est n = 1490 tr/min et le couple résistant CR = 8 N.m.
Exercice 12: Moteur électrique (Solution 12:)
Un moteur électrique tournant à 1500tr/min exerce un couple constant de 20 N .m.
1) Déterminer le travail réalisé par minute et par s.
2) En déduire la puissance du moteur.
Exercice 13: Pont Roulant (Solution 13:)
Un pont roulant déplace un rotor de turbine de masse m= 213 t, disposé horizontalement.
Tous les déplacements sont effectués à vitesse constante dans le plan vertical perpendiculaire à l’axe du rotor.
1) Déterminer le travail de la tension des câbles de suspension dans les trois cas suivants :
a. le déplacement a lieu suivant un trajet horizontal AB, long de 9,0 m.
b. le déplacement a lieu de haut en bas suivant un trajet vertical BC, long de 5,0m.
c. le déplacement a lieu suivant le trajet rectiligne AC.
2) Comparer le travail effectué dans le cas c) avec la somme des travaux effectués dans les cas a) et b).
3) Calculer la puissance exercée par le câble lors du déplacement BC si celui-ci est effectué en 50 s.
Exercice 14: Machine à papier (Solution 14:)
f
R2
R1
F
La résistance à l’avancement du papier génère une force f= 50 N.
Le moment d’inertie du tambour est J= 2 kg.m².
La traction se fait sur le petit tambour par le biais d’une force F.
Les rayons des tambours sont R1 = 10 cm et R2 = 50 cm.
On souhaite connaitre
1. La force F permettant de maintenir la vitesse de rotation constante.
2. Puis la force nécessaire permettant d’avoir une accélération de 0 à 10 rad/s en 5 s.
3. Déterminer la puissance du moteur générant la force F dans le pire des cas (en supposant le rendement de
l’installation égal à 1)
4. Quelle est la puissance consommé lorsque la vitesse est constante à 10 rad/s
Exercice 15: Energie cinétique d’un camion et son frein à disque (Solution 15:)
Un camion de 14000 kg est lancé à 108 km/h.
5/57
1) Calculer son énergie cinétique
Les deux tambours de frein à disque tournent à 200 tr/min. On freine alors pendant 6s sur trois tours.
2) Calculer le couple de freinage C si celui-ci est constant.
3) Calculer le moment d’inertie ramené sur l’arbre de freinage
Exercice 16: Energie cinétique d’un volant (Solution 16:)
Un volant de presse cylindrique de diamètre D=2m et de hauteur h=0,5m tourne à une fréquence de rotation de 1000tr/min
autour de son axe de révolution.
La masse volumique de l’acier est =7800 kg/m3.
1. Calculer l’énergie cinétique de ce volant.
2. Si l’on veut faire chuter sa vitesse à 500 tr/min, quelle sera la perte d’énergie du volant ?
3. On souhaite effectuer ce freinage en 1 min, quelle est la puissance minimale du frein permettant ce freinage ?
On donne J 
1
MR 2
2
Exercice 17: Energie potentielle d’un barrage (Solution 17:)
Un lac artificiel de montagne contient 1,2. 109 m3 d’eau à l’altitude moyenne z1=1250m. Au pied du barrage à une altitude
z2=1020m, une usine hydroélectrique est alimentée par cette retenue d’eau. Le débit d’eau actionnant les turbines est de 100
m3 /s. On néglige les pertes d’énergie mécanique par frottement dans les conduites et la turbine.
1) Déterminer l’énergie potentielle de pesanteur et l’énergie mécanique de l’eau en réserve dans le lac.
2) Calculer la variation d’énergie potentielle de la masse m d’eau s’écoulant pendant une seconde dans l’installation, entre
son départ du barrage, et son arrivée à l’usine.
3) On admet que l’eau ressort des turbines avec une vitesse négligeable par rapport à sa vitesse d’introduction.
a) Calculer le travail W fourni par la masse m d’eau à la turbine.
b) Calculer la puissance mécanique reçue par la turbine.
4) La station hydroélectrique transforme 90% de cette puissance reçue en puissance électrique. Calculer la puissance
électrique Pél fournie au réseau.
Exercice 18: Energie acquise lors d’une chute (Solution 18:)
On lâche sans vitesse initiale une masse m=102g. Les frottements sont négligés.
1) Rappeler le principe de conservation de l’énergie
2) Calculer son énergie potentielle si h=1m
3) Calculer son énergie cinétique après une chute libre de hauteur égale à 1m. ( g=9,81N.kg-1)
4) En déduire la vitesse au bout d’un mètre de chute.
Exercice 19: Force d’une cote sur une voiture (Solution 19:)
Une voiture de poids égal à 104 N roule sur route horizontale à v=cte= 90km/h sous l’effet d’une force F=1.5.103 N.
1) Faire un schéma des forces en présence
2) En déduire la valeur des forces de frottement
La voiture aborde une côte à 10% (10 m vertical pour 100 m horizontal); elle conserve sa vitesse et les forces de frottement
restent les mêmes.
3) Faire un schéma des forces en présence
4) Calculer la valeur de la nouvelle force F’ qui s’exerce sur la voiture.
La voiture retourne sur le plat à 90 km/h et souhaite accélérer jusqu’à 130 km/h en 3s.
5) Si on suppose les forces de frottements inchangées, quelle est la force nécessaire à cette accélération.
6) En fait les forces de frottement sont proportionnelles au carré de la vitesse, quelle est alors la force nécessaire à un
déplacement à 130 km/h
7) Calculer la différence d’énergie dépensée entre un trajet de 130 km effectué à 90 km/h et le même trajet effectué à
130km/h
6/57
Exercice 20: Force et moment d’un moteur tractant une masse (Solution 20:)
L’arbre d’un moteur électrique est solidaire du tambour d’un treuil de rayon r, d’axe horizontal, sur lequel
s’enroule une corde souple de masse négligeable. A l’extrémité de la corde est accrochée une charge de
masse m. La charge s’élève verticalement à vitesse constante v.
1) Déterminer la valeur de la tension de la corde.
2) Calculer le moment du couple moteur.
3) Déterminer la puissance mécanique du moteur
R=0.3m ; m=73kg ; v=1.2 m.s-1 ; g = 9.8 N.kg-1 .
R
T
P
Exercice 21: Essoreuse à salade (Solution 21:)
Le grand pignon d’une essoreuse à salade, entraîné par la manivelle, possède 77 dents. Le
petit pignon solidaire du panier possède 11 dents. La longueur du bras de la manivelle est
égale à 6 cm. On exerce sur la poignée de la manivelle une force F1 perpendiculaire à son bras
de valeur égale à 2,5 N.
77
11
6cm
2,5 N
1)
2)
3)
4)
Déterminer le moment M1 du couple subi par le grand pignon.
Calculer le rapport de transmission.
Calculer le moment M2 du couple transmis par le petit pignon au panier à salade.
Si la transmission a un rendement de 80% quelle est le moment du couple exercé sur le petit pignon
Exercice 22: BTS Et 2008 Métro Dimensionnement d’un servomoteur de vanne (Solution 22:)
Une vanne de régulation de débit est composée de deux disques percés de trous dont l'un peut glisser par rapport à
l'autre, en translation verticale, modifiant ainsi la section de passage de l'eau et permettant le contrôle fin du débit. La
représentation de la chaîne cinématique est donnée à la figure 4, ainsi qu'une photographie de la vanne.
Les données mécaniques sont les suivantes
 La course (excursion totale) de la vanne, notée dv est de 23 mm
 Le temps nécessaire à l'ouverture complète de la vanne, noté t est de 138 s.
 Le pas de vis p (déplacement vertical correspondant à une rotation d'un tour de la commande de la vanne) vaut 4 mm.
 L'effort maximal F permettant la translation de la vanne vaut 20 kN.
 Le rendement V de l'ensemble des guidages de la vanne vaut 26 %.
Afin de dimensionner le servomoteur qui actionne cette vanne, les grandeurs principales à déterminer sont le couple à fournir
CSV la vitesse de rotation nSV, et le nombre de tours Nbr nécessaire pour assurer la course totale de la vanne.
B.1.1. Calculer la vitesse de translation de la vanne vV.
B.1.2. Calculer le nombre de tours Nbr que doit faire l'arbre en sortie de réducteur pour obtenir l'excursion totale du
déplacement de la vanne.
B.1.3. Exprimer la vitesse de rotation, notée nsv, du servomoteur à la sortie du réducteur en fonction de vv et du pas de la
vis p. Calculer nsv en tr/min.
B.1.4 Sachant que l'effort maximal F permettant la translation de la vanne est de 20 kN et en tenant compte du rendement
des guidages, exprimer le moment du couple, noté CSV, fourni par le servomoteur à la sortie du réducteur. Calculer CSV
B.1.5 Le rapport de réduction du réducteur est r = 560. Calculer la vitesse de rotation, notée n, de l'arbre de la machine
asynchrone.
B.1.6. Le rendement du réducteur étant de 22%, calculer la valeur du moment du couple, noté C MAS, que doit développer la
machine asynchrone pour déplacer la vanne.
B.1.7. Calculer la puissance mécanique utile P u de la machine asynchrone.
7/57
Exercice 23: BTS Et 2008 Nouméa le Pont Flaubert ( Solution 23:)
Poulies de tête de pylône
Poulies sur pylône opposé
Câble porteur
Tablier
Dans la partie A, nous allons chercher à déterminer les contraintes mécaniques qui s'exercent au niveau des arbres moteur.
Pour chaque tablier, on considère que l'effort est réparti équitablement sur les 4 treuils.
On s'intéresse au fonctionnement et au dimensionnement d'un treuil, qui assure donc la levée d'une masse M équivalente au
quart de la masse du tablier. On étudiera donc le système décrit en figure 1 :



masse M = 325 tonnes (cette masse est équivalente au quart de la masse du tablier) ;
masse d'un contrepoids : MC = 237 tonnes ;
diamètre du tambour du treuil (diamètre d'enroulement du câble) : DT = 1,6 m ; accélération de la pesanteur : g =
9,8 m.s-2.
A.1. Etude statique : maintien du tablier en position intermédiaire
A.1.1. Lorsque le système est en équilibre, établir la relation entre P (poids de la masse M),
PC (poids du contrepoids) et F
, force exercée par le treuil sur le câble porteur / moteur.
A.1.2. Calculer, en kN, l'intensité F de la force F .
En tenant compte des efforts supplémentaires liés au vent, l'intensité F de la force vaut 957 kN.
A.1.3. Calculer le moment du couple TT au niveau du tambour du treuil dans ces conditions.
A.2. Montée du tablier à vitesse constante
Les efforts liés au vent sont pris en compte. Les frottements autres que ceux liés au vent sont pris en compte dans les
rendements définis ci-après. Les autres pertes sont négligées.
8/57
Pour des raisons de sécurité et de maintenance, chaque treuil est mis en mouvement par 4 moto-réducteurs. La sortie de
chaque moto-réducteur est solidaire d'un pignon, qui engrène sur une des 2 couronnes. Les 2 couronnes sont solidaires du
tambour du treuil (voir figure 2) :





diamètre du tambour du treuil : DT = 1,6 m ;
diamètre de chaque couronne : DC = 3,0 m ;
diamètre de chaque pignon : Dp = 0,40 m ;
rapport de réduction de chaque réducteur : r = 218 ;
le câble s'enroule sur le tambour en une seule couche.
La vitesse de montée du tablier est constante et vaut v = 4,2 m.min-1.
A.2.1. Calculer la vitesse de rotation nT du tambour, en tr.min-1.
A.2.2. Calculer la vitesse de rotation nP de chaque pignon, en tr.min-1.
A.2.3. Montrer que la vitesse de rotation nMAS de chaque machine asynchrone vaut 1366 tr.min-1.
A.2.4. Justifier que le moment du couple au niveau du tambour est le même qu'au A.1.3.
On fera l'hypothèse que les 4 machines asynchrones fournissent la même puissance.
Le rendement du système d'enroulement/engrènement/réduction vaut =0,85.
A.2.5. Calculer la puissance utile Pu MAS de chaque machine asynchrone.
A.2.6. Calculer le moment du couple utile Tu MAS pour chaque machine asynchrone.
A.3. Démarrage du tablier à la montée
En ce qui concerne la mise en vitesse du tablier en montée, le cahier des charges impose une accélération linéaire, de 0 à 4,2
m.min-1, en 15 secondes.
Pour chaque machine asynchrone, le couple résistant pendant cette phase est constant et son moment vaut TR = 138 N.m.
Le moment d'inertie équivalent de l'ensemble de la chaîne cinématique, ramené à l'axe de chaque machine asynchrone, vaut Jeq
= 2,5 kg.m2.
 d  MAS 
 de chaque machine asynchrone pendant cette phase
 dt 
A.3.1. Calculer la variation de vitesse angulaire 
d'accélération.
A.3.2. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la machine asynchrone pendant cette phase d'accélération. En
déduire la valeur du moment du couple utile Tu MAS pendant cette phase.
A.4. Influence d'une modification de la durée de montée
La durée de montée du tablier influe directement sur la durée de blocage du trafic routier. On cherche donc à minimiser cette
durée de montée.
A.4.1. A partir de la figure 1, calculer l'énergie E1 nécessaire à la levée de la masse M sur une hauteur de 45m. On rappelle que
la masse M correspond à la masse d'un quart de tablier.
A.4.2. Calculer l'énergie E2 fournie par la descente du contrepoids de masse MC.
9/57
A.4.3. En déduire l'énergie E fournie par la motorisation en considérant le rendement du système
d'enroulement/engrènement/réduction toujours égal à 0,85. On exprimera cette énergie en joules puis en kilowattheures.
A.4.4. Calculer la durée de montée t si on considère que cette montée se fait à la vitesse constante v = 4,2 m.min -1.
A.4.5. Donner la relation entre l'énergie E, la puissance P transmise par la motorisation et la durée t de montée.
A.4.6. Calculer la puissance P transmise par la motorisation dans le cas d'une montée d'une durée t calculée au A.4.4.
A.4.7. Calculer la puissance P' qui devrait être transmise par la motorisation si la durée de montée était réduite à t'=2
minutes.
A.4.8. Quelle serait l'influence d'une réduction de la durée de montée sur le dimensionnement des machines asynchrones ?
Exercice 24: BTS Et 2007 (Metro) Motorisation 106 Elec (Solution 24:)
Le synoptique de la réalisation est représenté sur la Figure 1. Les roues sont couplées au moteur synchrone par l'intermédiaire
d'un ensemble différentiel - réducteur de rapport k. Le moteur est piloté par un onduleur, lui-même alimenté par une batterie. La
commande des interrupteurs de l'onduleur est déterminée par un dispositif tenant compte, entre autres, de la consigne de
couple générée par la pédale d'accélérateur.
Dimensionnement du moteur
Le moteur a été dimensionné de façon à ce que le véhicule puisse rouler sur route horizontale à vitesse constante égale à 110
km.h-1. La puissance de traction Pt que doivent alors fournir les roues est liée à la vitesse linéaire de la voiture v (exprimée en m.s 1
) par la relation Pt = SCX.v2 avec SCX = 15 N.s.m-1.
A.1.1.
a)
b)
Déterminer la puissance de traction Pt nécessaire pour obtenir le fonctionnement décrit ci-dessus.
En supposant le rendement de l'ensemble (réducteur + différentiel + roues) égal à 0,82 en déduire la puissance utile P u
que doit fournir le moteur.
Le diamètre d'une roue est d = 52 cm. Pour v = 110 km.h-1, le moteur tourne à une vitesse de rotation n = 8100 tr.min -1.
A.1.2a)
Déterminer la vitesse angulaire de rotation d'une roue r en rad.s-1.
b)
Déterminer la vitesse de rotation du moteur  en rad.s-1.
c)
En déduire le rapport de réduction du réducteur k = /r
Exercice 25: BTS Et 2006 métropole Motorisation d’un tramway (Solution 25:)
La chaîne cinématique de motorisation d’une roue est donnée figure 3
10/57
Toutes les pertes du moteur asynchrone étant négligées, les moments des couples électromagnétique et utile du moteur asynchrone sont
égaux et notés C.
Le réducteur, de rendement égal à 1, et de rapport de réduction r = 10, impose  roue 

10
Le diamètre d'une roue est : D = 0,52 m.
B.1- Expression de la vitesse de rotation du rotor du moteur asynchrone en fonction de la vitesse de déplacement du tramway
On admet que la vitesse de déplacement du tramway dépend de la vitesse de rotation d'une roue selon la relation :
v  3, 6 
D
  roue avec  roue en rad.s-1 et v en km.h-1
2
Montrer alors que la vitesse de rotation du moteur asynchrone vérifie la relation :
  10, 7  v  en rad.s-1 et v en km.h-1
B.2 - Performances maximales de la rame de tramway
Il existe une courbe d'effort maximal que les limites de l'ensemble électromécanique ne permettent pas de dépasser. Pour un
fonctionnement en marche avant, la figure 4 donne la caractéristique du couple électromagnétique maximal appliqué à un moteur de
traction en fonction de la vitesse de la rame de tramway.
B.2.1 - Fonctionnement en régime permanent sur le plat
Pour un fonctionnement sur le plat, le couple résistant CR ramené sur l'arbre d'un moteur est dû :
- à la force de frottement roue - rail qui dépend de la masse M de la rame de tramway.
- à la force de pénétration dans l'air, proportionnelle à la vitesse v du tramway.
4
L'expression du couple résistant est ainsi : CR1  2, 7 10  M  0,135  v avec M en kg, v en km.h-1 et CR1 en N.m
B.2.1.1 - Tracer sur le document réponse n° 2, la caractéristique CR1(v) pour M = 60 tonnes (cas d'une rame pleine de passagers).
B.2.1.2 - Déterminer graphiquement la valeur v1 de la vitesse maximale de la rame de tramway.
B.2.1.3 - En déduire :
- la valeur C1 du couple électromagnétique d'un moteur de traction.
- la valeur n1 de la vitesse de rotation d'un moteur de traction.
- la valeur P1 de la puissance que développe un moteur de traction.
B.2.2 - Fonctionnement en régime permanent sur une montée de pente 8 %
Dans ce cas, il faut également tenir compte du couple exercé par le poids de la rame dans l'expression du couple résistant ramené sur
l'arbre d'un moteur de traction. Ce dernier s'écrit alors :
CR 2  2, 4 103  M  0,135  v avec M en kg, v en km.h-1 et CR2 en N.m
11/57
B.2.2.1 - Tracer sur le document réponse n° 2, la caractéristique CR2(v) pour M = 60 tonnes.
B.2.2.2 - Déterminer graphiquement la valeur v2 de la vitesse maximale de la rame de tramway.
B.2.2.3 - En déduire la valeur P2 de la puissance que développe un moteur de traction.
B.2.3 - Démarrage sur le plat
On cherche à déterminer la durée nécessaire à la rame de tramway pour atteindre en pleine charge (M=60 tonnes) la vitesse de 25 km.h-1
lors d'un démarrage sur le plat.
Le moment d'inertie des masses en mouvement, ramené sur l'arbre d'un moteur, est : J = 4,4 kg.m2
Pendant toute la phase du démarrage, chaque moteur de traction développe un couple électromagnétique constant C = 170 N.m.
Pour les vitesses faibles, la force de pénétration dans l'air est négligeable devant la force de frottement roue-rail et le couple résistant
ramené sur l'arbre d'un moteur se réduit à : CR = 16,2 N.m.
B.2.3.1 - Quelle relation lie les grandeurs J,
d
, C et CR en régime dynamique ?
dt
B.2.3.2 - Montrer que durant le démarrage, la vitesse de rotation d'un moteur de traction vérifie l'équation suivante :
d
 35 rad.s -2
dt
B.2.3.3 - A l'aide de la relation établie en B.1, déduire la durée nécessaire au tramway pour atteindre la vitesse de 25 km.h-1.
12/57
Exercice 26: BTS 1998 Nouméa Etude de l’ensemble moteur – treuil d’un monte charge (Solution
26:)
Le principe de l'installation est représenté à la figure 1.
Le treuil sur lequel s'enroule le câble supportant la cabine du monte-charge est entraîné par l'intermédiaire d'un réducteur par
une machine asynchrone à cage. Le stator de la machine est alimenté par un ensemble redresseur PD3 à diodes - condensateur
de filtrage - convertisseur continu / alternatif.
Réducteur
M
3
C
Pont PD3 à
diodes
Treuil
~
N
NT
v
Convertisseur
alternatif / continu
M
Le treuil a un diamètre D = 30 cm. On note T sa vitesse angulaire tandis que celle du moteur asynchrone est notée .
Le réducteur a pour rapport "k =
T

". Son rendement est égal à 1 et "k =
1
40
".
13/57
Le monte-charge a une masse M = 2,5  103 kg ; sa vitesse est notée v.
On prendra pour valeur numérique de l'accélération de la pesanteur g = 10 m.s2.
Dans cette partie on néglige les pertes.
1)
Etude préliminaire :
Le moment d'inertie de l'ensemble des parties tournantes, par rapport à l'axe du moteur, est noté J t . Pour tenir compte de
l'inertie du monte-charge, de masse M, on définit, par rapport à l'axe du moteur, un moment d'inertie équivalent :
J  J t  M  K2D  , tel que : J = 0,13 kg.m2.
2
Dans ces conditions, on peut considérer que le monte-charge exerce sur le treuil une force constante et égale à son poids, y
compris pendant les phases où sa vitesse v varie.
a. Exprimer le moment du poids du monte-charge par rapport à l'axe du treuil.
b. En déduire l'expression du moment CT du couple résistant correspondant ramené sur l'arbre du moteur.
dv
d
c. En utilisant la relation T = k  et la relation liant la vitesse v à , donner l'expression de d t en fonction de k, D et d t .
d.
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique de rotation, et en exprimant C e en N.m et v en m.s1 , montrer
qu'avec les valeurs numériques précédentes on peut écrire : Ce  35 dd vt + 94.
2)
Montée de la charge
L'évolution de la vitesse de montée du monte-charge en fonction du temps est représentée à la figure 3. On donne : t1 = 1,0 s
, t2 - t1 = 10 s , t3  t2 = 0,50 s , v0 = 0,50 m.s1.
Un frein mécanique retient le monte-charge pour t < 0 et pour t > t3 .
a. Déterminer les valeurs du moment Ce du couple électromagnétique pendant chacune des trois phases de la montée.
Représenter l'évolution de Ce en fonction du temps sur le document réponse n° 1.
b. On considère la phase 2 à vitesse constante v0 = 0,50 m.s1.
o Déterminer la fréquence N de rotation (en tr.min1) du moteur asynchrone.
v
v
v0
v0
t
0
t1
t2
t3
t
0
t1
t2
t3
C e (N.m)
Phase 1
150
Phase 2
Phase 3
100
50
t
0
t1
t2
t3
Question 2)
Exercice 27: BTS 2009 Nouméa Etude du pont de coulée (Solution 27:)
A. Étude de la chaîne cinématique : détermination des performances mécaniques nécessaires au
déplacement du pont
Données:


masse totale du pont roulant en charge : M p =90 tonnes
vitesse de translation du pont : V p = 60m.min -1
14/57
FIGURE 1 : Distances parcourues par le pont roulant dans la halle de coulée pour un cycle de production de fonte
A.1. Détermination de la durée d'un cycle de déplacement en translation
Pour évaluer la consommation énergétique du pont roulant de coulée lors des déplacements en translation horizontale, on se
propose de calculer la durée totale d'un cycle de production de fonte.
On s'intéresse à l'étape 1 du mouvement du pont roulant ; le profil de vitesse est conforme au graphe ci-dessous.
FIGURE 2 : Vitesse de translation du pont au cours du temps
Les phases d'accélération et de freinage ont des durées égales à 7 secondes dans la solution actuelle. La distance parcourue par le
pont lors de chaque étape est précisée sur la figure 1.
A.1.1. Calculer l'accélération a du pont, en m.s², sur l'intervalle (0 ; t1) sachant que la vitesse en régime établi est de 60 m.min-1.
A.1.2. En déduire que la distance da parcourue par le pont pendant une phase d'accélération est de 3,5m.
A.1.3. Calculer la distance df parcourue lors du freinage.
A.1.4. En déduire la distance dp parcourue à vitesse constante lors de l'étape 1.
A.1.5. Calculer la durée (t2-t1) de la phase à vitesse constante de l'étape 1.
15/57
A.1.6. On considère que les durées de démarrage et de freinage sont les mêmes pour chaque étape du cycle figure 1, en marche
avant comme en marche arrière. Remplir le tableau du document réponse n°1 permettant de calculer la durée de chaque étape.
A.1.7. On ne tient pas compte des durées de travail pendant lesquelles le pont roulant ne se déplace pas en translation horizontale.
Calculer la durée T d'un cycle complet de translation.
A.2. Performances en régime établi : puissance et couple des moteurs de translation
Le déplacement du pont roulant est assuré par deux moteurs (un pour chaque rail de guidage). On donne, figure 3, le schéma
simplifié de la transmission associée à chacun des deux moteurs :
FIGURE 3 : schéma simplifié de la transmission associée à un moteur
A.2.1, La vitesse linéaire de déplacement du pont roulant est vp = 60 m.min -1. Calculer la vitesse angulaire  G de
rotation des galets en rad.s -1, le diamètre des galets étant d G = 800 mm.
A.2.2. Déterminer la vitesse angulaire  M de rotation du moteur compte tenu du rapport de réduction r =  M/ G =
39,6 du réducteur.
A.2.3. L'effort nécessaire pour vaincre la résistance au roulement est donné par : F = e Mp gp ; ( e : résistance au roulement; gp :
accélération de la pesanteur; Mp en kg).
Calculer F en prenant e = 0,004 et g p = 9,81 m.s².
A.2.4. L'effort F étant équitablement réparti sur les deux moteurs, calculer le moment du couple T G exercé sur un seul
galet moteur.
A.2.5. En déduire la puissance de traction PG nécessaire au niveau d'un galet moteur.
A.2.6. Le rendement de la transmission étant  = 94% , calculer la puissance de traction PM nécessaire au niveau d'un
moteur.
A 2.7. Quel est le moment du couple moteur TM nécessaire à la traction ?
A.3. Performances dynamiques : couple de démarrage
Le moment d'inertie équivalent ramené sur l'arbre d'un des moteurs est J = 4,6 kg.m 2. La charge oppose à chaque moteur un
couple résistant Tr = 19 Nm constant. La vitesse de rotation est de 945 tr.min-1 en régime établi.
A.3.1. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique s'appliquant à l'arbre d'un des moteurs de translation.
A.3.2. Calculer le moment du couple de démarrage Td du moteur si la phase de démarrage a une durée de 7s.
A.3.3. Lors de la modification du système actuel, on envisage de réduire de moitié les durées de démarrage. Que devient la valeur
de Td si on décide de fixer la durée de démarrage à 3,5s ?
DOCUMENT RÉPONSE 1
(à rendre avec la copie)
ETAPE
durée accélération +
freinage
1
7s+7s=14s
2
14s
3
14s
Distance
parcourue
à vitesse
constante
Durée de la
phase à
vitesse
constante
durée totale
de l'étape
16/57
4
14s
5
14s
6
14s
Exercice 28: BTS 2010 Nouméa Manitou (Solution 28:)
Deux plaquettes placées sur la broche assurent l'usinage en phase
d'ébauche. L'effort de coupe sur la plaquette 1 se modélise par une force
Fb1, tangente et opposée à la trajectoire de l'outil (voir figure 1). De même,
on note Fb2 la force appliquée sur la plaquette 2. Les normes de ces forces
en newtons s'expriment :
Fb1  a pe1  K C 
Va
V
et Fb 2  a pe 2  KC  a
N
N
Avec :
N = 725 tr.min-1: la vitesse de rotation de la broche,
Va= 40 mm.min-1 : la vitesse de translation de la broche,
Kc =5800 N.mm-2 : le coefficient de coupe spécifique,
a pe1  1,58 mm  tr et a pe 2  2, 25 mm  tr : les profondeurs d'ébauche
de chaque outil.
La plaquette 1 est positionnée à un rayon Re1 = 32,6.10-3 m de l'axe de
rotation et la plaquette 2 à un rayon Re2 = 34,9.10-3 m .
A.1.1 Calculer Fb1 et Fb2.
A.1.2 Calculer le moment Cb1 de la force
Fb1 et le moment Cb2 de la force Fb 2 par rapport à l'axe de rotation de la broche.
A.1.3 Déduire de la question précédente la valeur du moment du couple résistant Cb exercé par les forces
Fb1 et Fb 2 sur la
broche.
A.1.4 Calculer la puissance mécanique Pb qu'il est nécessaire de transmettre à la broche.
La transmission de puissance entre la broche et la machine asynchrone de 5,5 kW
est assurée par un ensemble poulies/courroie représenté figure 2, dont le
rendement vaut  = 0,85. On suppose que la courroie est parfaitement tendue.
On note Nm la vitesse de rotation en tr.min-1 de la machine asynchrone.
On a :
Rm = 80.10-3 m : le rayon de la poulie d'entrée,
R = 100.10-3 m : le rayon de la poulie de sortie.
A.1.5 Exprimer r le rapport de réduction de l'ensemble poulies/courroie tel que N = r.N m en fonction de R et de Rm . Calculer r.
A.1.6 Calculer la vitesse de rotation Nm de la machine asynchrone.
A.1.7 Calculer la puissance mécanique utile Pu de la machine asynchrone.
A.1.8 À partir des résultats précédents, déterminer le moment du couple résistant Cr exercé sur l'arbre de la machine
asynchrone.
Afin de contribuer à améliorer la productivité, on souhaite augmenter la vitesse d'avance lors de l'usinage. Sur la courbe cidessous est représentée en trait épais l'évolution de la caractéristique C r(Nm) du moment du couple résistant appliqué au
moteur asynchrone lorsque la vitesse d'avance est Va = 150 mm.min-1
17/57
A.1.9 À l'aide de ce document, déterminer la puissance utile P'u que doit fournir le moteur asynchrone (en supposant sa vitesse
constante) pour permettre cette amélioration de la productivité. Le moteur est-il correctement dimensionné ?
Exercice 29: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant horizontal: (Solution 29:)
Un tapis roulant doit pouvoir entrainer une charge de masse 15 kg.
Le déplacement de 1 m s’effectuera en un minimum de 3s, pendant lesquelles les phases d’accélération et de décélérations
dureront chacune 0,5 s.
Le frottement du tapis roulant s’effectue entre de l’aluminium et du caoutchouc pour lesquels le coefficient de frottement est de
0,6.
Le tapis est entrainé par un tambour de rayon r=3,25 cm.
La précision attendue du déplacement est de 0,5 mm.
Pour ce faire, un codeur est placé sur l’arbre du tambour.
Le moteur entrainant le tambour passe par un réducteur de 10,5 et de rendement réducteur + moteur =0,7
Masse
tambour
Tapis caoutchouc
Support Alu
réducteur
moteur
1°) Quel est le nombre de pas par tour du codeur nécessaire pour répondre au cahier des charges
2°) Quelle est la vitesse à atteindre (en négligeant les deux phases d’accélération) et l’accélération nécessaire pour répondre au
cahier des charges
3°) Déterminer la puissance mécanique nécessaire au déplacement
a) On déterminera en premier la force nécessaire pour lutter contre les frottements
b) Puis la force supplémentaire pour fournir l’accélération nécessaire
c) On en déduira le couple nécessaire au niveau de l’arbre du tambour
d) Puis la puissance au niveau du tambour
18/57
e) Puis finalement le couple et la puissance au niveau du moteur
4°) Déterminer la vitesse et le couple du moteur.
Exercice 30: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant en pente: (Solution 30:)
Un tapis roulant doit pouvoir entrainer une charge de masse 20 kg sur un tapis incliné à =30°
Les forces de frottement sont telles que tan  =0,4
R1=3cm
1
Masse
Tapis caoutchouc
tan = 0,4= f/R
2
MAS
3
=30°
R2=6cm
R3=4cm
1°) Quelle est la force nécessaire au déplacement de la masse
2°) Si une accélération de 0 à 2m/s en 3s est nécessaire, quelle est la force nécessaire
3°) Déterminer la puissance du moteur P, 3 et le couple C3
4°) Si le rendement de la transmission vaut 50% quel est le couple nécessaire et la puissance utile du moteur
Exercice 31: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant en pente 2: (Solution 31:)
Un tapis roulant doit pouvoir entrainer une charge de masse 40 kg sur un tapis incliné à =35°
Les forces de frottement sont telles que tan   µ 
f
 0, 45
R
La motorisation entraine par un jeu de poulie et de tambours, un câble s’enroulant autour du tambour 3
La motorisation possède un réducteur d’un un rapport 1/10 et possède un rendement mécanique de 80%.
On prendra g=9.81 m.s-2
R1=3cm
d1=20 cm
Manivelle
1
Tapis caoutchouc
tan = 0,45= f/R
SAC
2
R3=4cm
3
=35°
réducteur
R2=6cm
moteur
Première étude : à plat
19/57
On effectue une première étude à plat sur le même tapis en caoutchouc, avec le même sac.
On tire sur le ressort de raideur k= 0.9 kN/m jusqu’à observer le début du déplacement du sac.
Les graduations du dynamomètre sont effacées mais le dynamomètre se stabilise à une élongation de 195 mm.
On notera
T : la tension du ressort
P : la force du poids
f : la force de frottement
R : la réaction du support
Tapis caoutchouc
tan = 0,45= f/R
SAC
1. Dessiner les forces en présence
2. Déterminez le poids P
3. Appliquez la relation fondamentale de la dynamique des solides en translation appliquée au sac lors d’un déplacement
horizontal uniforme.
4. En projetant les forces sur l’axe vertical, déterminer la valeur de la R.
A l’aide des caractéristiques du plan de frottement, déterminer la force de frottement f.
En déduire, par une projection sur l’axe horizontal la force T.
5. Vérifiez votre résultat par la détermination de la force T soumise par le ressort (liée à son élongation).
Deuxième étude : accélération sur le plat
Partant de cette situation où le mouvement est uniforme (on considère que v(t=0)=1m/s), on ajoute sur le ressort une force de 20
N faisant passer celle-ci de 176 N à environ 196 N (la force de frottement sera considérée comme constante).
6. Par l’application de la RFD, quelle sera l’accélération de la masse ?
7. Quelle sera la vitesse au bout de 2 secondes ?
8. Quelle sera la distance parcourue au bout des ces 2 secondes ?
Troisième étude : en pente
Le tapis est maintenant en pente on souhaite le faire monter à l’aide d’une manivelle (cf schéma)
9. (facultatif) Quelle est la force exercée par le poids s’exerçant parallèlement à la pente (faites un schéma) ?
10. (facultatif) Quelle est la force nécessaire pour initier le mouvement (donc lutter contre les frottements et la composante
du poids s’opposant au déplacement)
11. (facultatif) Par l’application de la RFD projetée sur l’axe parallèle à la pente, déterminer quelle est la force permettant
d’obtenir une accélération de 0.5 m/s²
12. La force totale s’opposant à un déplacement uniforme est de 370 N, en déduire le couple nécessaire à exercer au niveau
du tambour 1.
13. En déduire la force à exercer sur la manivelle.
Quatrième étude : en pente et accélération
Pour imprimer une accélération à l’ensemble on applique un couple moteur sur la manivelle.
Partant d’une vitesse nulle, ce couple permet d’atteindre une vitesse de 1 m/s au bout de 2s.
Le moment d’inertie J de l’ensemble est estimé à 0.038 kg.m²
14. Quelle est la vitesse de rotation  (en rad/s) du tambour 1 si la vitesse est de 1 m/s ?
15. Si le tambour passe de 0 à 33.3 rad/s en 2 s , et que le couple de freinage exercé par la charge est de 11 Nm, grâce à
l’application de la RFD des solides en rotation, en déduire la valeur du couple moteur.
16. Quelle est la puissance mécanique minimum permettant
a. Un mouvement uniforme à 33.3 rad/s
b. D’atteindre la vitesse de rotation de 33.3 rad/s avec l’accélération calculée précédemment.
Caractéristiques du moteur
Le tambour 1 tourne à une vitesse constante de 33.3 rad/s
17. Quelle sera la vitesse de rotation du moteur
18. En déduire le couple nécessaire du moteur électrique (rappel rendement transmission 80%).
20/57
Exercice 32: BTS Et 2012 Métro Sucrerie (Solution 32:)
La sucrerie veut augmenter sa production de 10 000 à 12 000 tonnes par jour sans modification majeure de la structure.
Une pré-étude a montré que la productivité est limitée par la dernière étape de production, la centrifugation de la masse
cuite. On va déterminer dans cette partie les paramètres sur lesquels on peut agir afin de répondre au cahier des charges
et proposer une solution technique conservant la structure mécanique des centrifugeuses.
Les parties B1, B2, B3 et B4 sont indépendantes.
La partie B5 tient compte pour partie du profil du couple mécanique trouvé à la partie B4.
B.1. Analyse du cycle de centrifugation existant
La centrifugeuse permet d'assécher le sucre cristallisé de
la « masse cuite » en éliminant le reste de jus non
cristallisé.
La figure ci-dessus représente le tambour de
centrifugation cylindrique de hauteur H = 1,1 m et de
diamètre D = 1,6 m dans lequel la masse cuite est
introduite par la partie supérieure.
Ce tambour en acier inoxydable est percé de pores qui
permettent l'écoulement du jus lors de sa mise en
rotation. Sa masse est Mtam = 1 250 kg.
Le schéma ci-dessus représente le cycle de fonctionnement actuel d'une phase de centrifugation.
On notera que la vitesse de rotation du tambour est de 60 tr.min -1 lorsqu'il est vide.
Phase Description
1
accélération constante «tambour vide » pour atteindre 220 tr.min-1
2
chargement de la masse cuite à 220 tr.min-1par la partie supérieure du tambour à vitesse constante
3
accélération constante «tambour plein » pour atteindre 980 tr.min-1
4
centrifugation à vitesse constante.
C'est la phase essentielle : trop courte, le sucre ne serait pas suffisamment séché, trop longue, le sucre se
prendrait en masse.
durée
10 s
20 s
40 s
40 s
21/57
5
6
7
décélération constante pour atteindre 60 tr.min-1
déchargement du sucre blanc cristallisé par la partie inférieure du tambour à vitesse constante
phase inactive permettant de lancer un cycle pour l'une des autres centrifugeuses
50 s
20 s
20 s
B.1.1. Calculer la durée T d'un cycle complet.
B.1.2. Donner le nombre de cycles par heure de fonctionnement.
B.2. Prise en compte de l'augmentation de la productivité
Afin de porter la capacité de production de 10 000 à 12 000 tonnes, la sucrerie doit augmenter le nombre de cycles de
fonctionnement de la centrifugeuse qui est actuellement de 18.
B.2.1.Calculer le nombre minimum de cycles par heure de fonctionnement permettant de passer la production de 10 000
à 12 000 tonnes par heure.
B.2.2. Le choix de l'entreprise se porte sur 22,5 cycles par heure afin d'avoir un peu de souplesse de fonctionnement.
Donner la nouvelle durée T' d'un cycle de fonctionnement.
B.3. Construction du nouveau cycle de centrifugation
L'entreprise exclut toute modification des éléments de structure suivants :
- amenée de la masse cuite
- évacuation du sucre cristallisé
- taille du tambour de la centrifugeuse
B.3.1. Justifier dans ces conditions que la durée des phases 2, 4 et 6 ne peut être modifiée.
On choisit de modifier les phases d'accélération ou de décélération de façon à obtenir les durées de fonctionnement
suivantes
Phase 1 : durée 5 s.
Phase 3 : durée 30 s.
Phase 5 : durée 30 s.
Phase 7 : durée 15 s.
B.3.2. Vérifier que ces modifications permettent d'obtenir la durée de cycle T' calculée à la question B.2.2.
B.4. Contraintes dues au nouveau cycle de centrifugation
Le document en annexe 1 représente le cycle actuel de centrifugation et le profil du moment du couple que développe la
motorisation actuelle.
Le document réponse représente dans sa partie haute le nouveau cycle de centrifugation. On se propose dans cette partie
de construire le profil du moment du couple imposé par /e nouveau cycle de fonctionnement.
B.4.1. Phases 2, 4 et 6
Rien n'étant modifié pour ces phases, reporter sur le document réponse la valeur du moment du couple à partir de
l'annexe.
Pour les questions suivantes, on rappelle le principe fondamental de la dynamique pour les systèmes en rotation:
Cmot  J 
d
 Cres
dt
où Cmot et Cres sont respectivement le moment du couple moteur imposé par la motorisation et le moment du couple
résistant opposé par la charge, J le moment d'inertie de l'ensemble des éléments en rotation et  la vitesse angulaire de
rotation (exprimée en rad. s-1).
B.4.2. Déduire de la courbe du moment du couple pour les phases 2, 4 et 6 la valeur de C res.
B.4.3. Phase 1
Le moment d'inertie du tambour Jtam est donné par la relation J tam  M tam  Rtam avec Mtam, la masse du tambour et
2
Rtam, le rayon du tambour (voir données numériques question B.1.)
B.4.3.1. Calculer Jtam en donnant explicitement son unité légale.
B.4.3.2. Calculer
d
lors de la phase 1.
dt
B.4.3.3. En déduire alors que le moment du couple mécanique pendant cette phase est proche de 3020 N.m.
B.4.4. Phase 3
Durant la phase 2, on a introduit 1 750 kg de « masse cuite » de masse volumique mc = 1 450 kg.m-3 dans le tambour.
Compte tenu de la rotation, cette masse va se « coller» sur la périphérie du tambour modifiant ainsi le moment d'inertie de
l'ensemble. Sa valeur devient J'tam = 1 530 USI (unité du système international) en fin de remplissage.
On fait l'hypothèse simplificatrice que la valeur du moment d'inertie (1530 USI) ne varie pas durant la phase 3 (en réalité,
elle diminue car le jus commence à être éliminé lors de la montée en vitesse).
B.4.4.1. Calculer
d
lors de la phase 3.
dt
B.4.4.2. En déduire alors que le moment du couple mécanique pendant cette phase est proche de 4400 N.m.
B.4.5. Phase 5
22/57
À la fin de la phase de centrifugation, le jus a été extrait et le moment d'inertie est donc modifié. Sa valeur devient J" tam= 1
270 USI.
B.4.5.1. Calculer
d
lors de la phase 5.
dt
B.4.5.2. En déduire alors que le moment du couple mécanique pendant cette phase est proche de -3740 N.m.
B.4.6. Détermination des modes de fonctionnement moteur ou générateur
B.4.6.1. Dessiner sur le document réponse le profil du moment du couple mécanique Cmot à fournir par la motorisation
sur tout le cycle de centrifugation.
B.4.6.2. Compléter le document réponse en hachurant les cases correspondant à un mode de fonctionnement moteur
(M) ou générateur (G) de la machine d'entraînement.
23/57
Annexe 1
Profil de vitesse actuel et profil de couple moteur associé
Document réponse
NOM :
Prénom :
24/57
25/57
Exercice 33: BTS Et 2012 Nouméa Chalet de montagne (Solution 33:)
B.2. Production d'énergie d'origine hydraulique.
L'énergie électrique est produite à partir d'un alternateur tétrapolaire, auto excité, couplé à une turbine de type Pelton. L'eau
entraînant la roue est dérivée de la conduite qui alimente le refuge, elle est dirigée sur les aubes de la turbine par l'intermédiaire
de six injecteurs, dont trois sont réglables manuellement.
B.2.2. Paramètres susceptibles de modifier la fréquence de la tension produite.
Le groupe turbine alternateur qui a été choisi peut produire, dans les conditions d'utilisations du site, jusqu'à 4500 W en
monophasé sous une tension de valeur efficace 230 V et de fréquence 50 Hz. Le groupe n'étant pas couplé au réseau, nous allons
étudier l'impact d'une variation de la puissance consommée sur la fréquence de la tension produite.
La mise en vitesse du groupe turbine-alternateur obéit à la relation fondamentale de la dynamique des objets tournants.
J
d
 Cm  C r
dt
J moment d'inertie qui est constant = 0,5 kg.m2
 vitesse angulaire de rotation de l'arbre mécanique
Cm moment du couple moteur au niveau de l'axe moteur
Cr moment du couple résistant au niveau de l'axe moteur La machine est supposée sans perte.
B.2.2.1. Quel élément du groupe turbine-alternateur est à l'origine du moment du couple moteur Cm ?
B.2.2.2. Quel élément du groupe turbine-alternateur est à l'origine du moment du couple résistant Cr ?
B.2.2.3. Pourquoi la valeur du moment du couple résistant Cr peut elle varier ?
B.2.2.4. Quelle condition découlant de la relation fondamentale de la dynamique sur les moments des couples C m et Cr faut-il
respecter pour que la fréquence de la tension électrique produite soit constante ?
B.2.2.5. Comment évolue la fréquence de la tension électrique si la puissance consommée diminue alors que le débit reste
inchangé ?
B.3. Fonctionnement à puissance consommée constante.
L'asservissement du débit étant dans le cas du refuge trop complexe et onéreux à réaliser, on préfère maintenir la fréquence des
tensions produites constante en utilisant un dispositif électronique de contrôle de consommation de puissance électrique.
Le groupe turbine-alternateur a été dimensionné et réglé en tenant compte du débit d'eau saisonnier pour fournir 4500 W
24h/24h. Il fournit donc plus que la demande normale d'utilisation. Le surplus de puissance est alors consommé dans des charges
électriques, un cumulus électrique et trois radiateurs, ajoutées à l'installation existante. Ces quatre éléments sont munis d'une
carte de contrôle électronique.
La consommation de ces charges peut être contrôlée de 0 W jusqu'à 4500 W par paliers de 150 W, de telle sorte qu'elles puissent
partiellement ou entièrement consommer la puissance produite en fonction de la demande normale d'utilisation.
B.3.1. En tenant compte des résultats de la question B.2.2, expliquer en quoi ce mode de fonctionnement permet de maintenir
constante la fréquence des tensions produites (le débit de la chute, imposé par l'installation hydraulique, variant peu
durant la saison pleine).
B.3.2. Rapidité de mobilisation de la charge.
Le document constructeur garantit une plage de variation de la fréquence des tensions produites inférieure à 1 Hz. Nous allons
chercher à vérifier cet ordre de grandeur lors d'une baisse de la consommation normale liée, par exemple, à l'arrêt de la machine
à laver le linge.
Le point de fonctionnement initial correspond à une vitesse de rotation mécanique stable du groupe turbine-alternateur, à une
puissance électrique consommée Pélec= 4500W et à une fréquence des tensions produites f = 50 Hz. Les caractéristiques de
l'alternateur sont identiques à celles indiquées à la question B.2.2.
B.3.2.1. Calculer la fréquence n de rotation de l'arbre de l'alternateur (la machine possède quatre pôles) ainsi que la vitesse
angulaire  de rotation correspondante.
B.3.2.2. Calculer la valeur Cr du moment du couple résistant exercé par l'alternateur sur l'arbre du groupe.
B.3.2.3. En déduire la valeur du moment du couple moteur Cm. Aucun réglage n'étant effectué sur la partie hydraulique, ce
moment sera considéré comme constant pour la suite de cette étude.
26/57
À l'arrêt de la machine à laver le linge, on suppose que les charges de régulation de la puissance consommée ne sont pas
instantanément mises en oeuvre.
B.3.2.4. Calculer la nouvelle puissance électrique consommée P'elec et la valeur
correspondante Cr' du moment du couple résistant exercé par l'alternateur.
B.3.2.5. En exploitant la relation fondamentale de la dynamique fournie à la question B.2.2, calculer le taux de variation de la
vitesse angulaire /t.
B.3.2.6. Estimer, dans ces conditions, en combien de temps la fréquence des tensions produites passerait de 50 Hz à 51 Hz.
B.3.2.7. Le constructeur garantit un passage de 0% à 100% de la charge électrique demandée en moins de 150 ms suite à une
variation de la puissance consommée.
Quelle charge électrique doit-on appliquer pour compenser l'arrêt de la machine à laver ? Le système proposé
respecte-t-il les performances affichées du point de vue de la plage de fréquence des tensions produites ?
Exercice 34: BTS Et 2013 Métro Eclairage centre culturel Picasso (Solution 34:)
Dans cette étude, nous souhaitons dimensionner le moteur d'entraînement d'une perche en tenant compte des caractéristiques
mécaniques du système de levage (figure 1).
Au point le plus haut, la perche se trouve à 825 cm du sol et au point le plus bas à 100 cm du sol.
Le moteur doit être capable de soulever une charge maximale de 300 kg et de la monter de 725 cm en moins de 1 min 30 s.
La vitesse de la perche en régime établi est de 0,1 m.s-1.
Les durées d'accélération et de décélération sont fixées à 2 s chacune.
A.1. Détermination du temps de montée d'une perche du point le plus bas au point le plus haut.
A.1.1. D'après la figure 2, quelle est la valeur de l'accélération (notée a) de t = 0 à t=t 1 ?
27/57
A.1.2. Montrer que la distance parcourue d1 pendant la phase d'accélération s'écrit : d1 
1
a  t12
2
A.1.3. Calculer la distance d1 parcourue pendant la phase d'accélération.
A.1.4. En déduire la distance d2 parcourue pendant la phase de décélération.
A.1.5. Calculer la distance d parcourue lors de la phase à vitesse constante.
A.1.6. Déterminer la durée nécessaire pour monter la perche du point le plus bas au point le plus haut.
28/57
A.2. Détermination des caractéristiques mécaniques du système de motorisation en régime établi
Chaîne cinématique du système de montée d'une perche :
On note:
-  la vitesse angulaire du moteur (rad.s-1)
- r la vitesse angulaire de sortie du réducteur (rad. s-1)
- k le rapport de transmission du réducteur . k 
r
1

 63
- v la vitesse de montée des perches (0,1 m.s-1)
- r le rendement du réducteur (0,94)
- t, le rendement du système tambour (0,98)
- p, le rendement du système poulies et câbles (0,92)
- m le diamètre moyen d'enroulement sur le tambour du treuil (100 mm)
- Pu, la puissance utile du moteur
- P la puissance mécanique transmise à la perche
- Cu, le moment du couple utile du moteur
- m la masse de la charge suspendue, 300 kg
- g l'accélération de la pesanteur, g=9,81 m.s-2.
A.2.1. Puissance mécanique
A.2.1.1. Déterminer la puissance mécanique P transmise à la perche pour monter la charge maximale (300 kg) en régime établi.
A.2.1.2. Quelle devra alors être la puissance utile Pu délivrée par le moteur ?
A.2.2, Moment du couple utile
Le diamètre moyen d'enroulement sur le treuil est supposé constant et vaut m = 100 mm.
A.2.2.1. Donner la relation liant v, k, m et . Calculer  en régime établi.
A.2.2.2. Déduire de la puissance utile et de la relation précédente la valeur de Cu.
A.3. Détermination du moment du couple moteur en phase d'accélération
A.3.1. Moment d'inertie
Le moment d'inertie Jm du moteur vaut 19.10-4 kg.m2.
Le moment d'inertie Jr du réducteur ramené sur l'arbre du moteur vaut 7.10-5 kg.m2. Les moments d'inertie du tambour et des
poulies sont négligés.
A.3.1.1. Le moment d'inertie Jc de la charge suspendue ramené sur l'arbre du moteur est :
 
Jc 
 m   k2
r t  p  2 
m
2
Calculer JC.
A.3.1.2 Montrer que le moment d'inertie total équivalent ramené sur l'arbre du moteur vaut 22.10 -4 kg.m2.
A.3.2. Couple moteur
En restant dans les contraintes d'accélération de la figure 2, montrer que

vaut 63 rad.s-2, puis en appliquant le
t
principe fondamental de la dynamique, déterminer le moment du couple utile que doit fournir le moteur lors de la
phase d'accélération si le moment du couple résistant est Cr = 2,75 N.m.
29/57
Solutions de mécanique du solide
Solution 1: Exercice 1:Exercices sur les forces
1)
P  m  g  80  9,81  784,8 N
2)
L’homme plongé dans l’eau est soumis à son poids P=784,8 N
Et à la poussée d’Archimède (poussée du volume d’eau déplacé)
Parchi  eau  Vimmergé  g  1000  0, 09  9,81  882,9 N
L’homme flotte : la poussée d’Archimède est supérieure au poids.
Le volume immergé sera tel que la poussée d’Archimède va s’équilibrer avec le poids
Parchi  eau  Vimmergé  g  784,8 N
Donc Vimmergé 
Parchi
784,8

 0, 08 m3
eau  g 1000  9,81
Donc le volume émergé sera de 0,01 m3 soit 10 dm3
3)
Le ressort initialement fait 40 cm et présente une raideur de 5000 N.m-1
La déformation sera issue du poids de l’homme s’exerçant sur le ressort :
F  k 
Donc  
4)
F 784,8

 0,15 m
k 5000
Le ressort mesure donc 25 cm (40 cm -15 cm)
La force de frottement des semelles sur le sol est donnée par
f  R  tan 
R étant la réaction du support au poids de l’homme : R=P
f  784  0, 7  549 N
Solution 2: Exercice 2: Exercices sur accélération et vitesse
1)
d  v  t donc en convertissant la vitesse en km/h en m/s ( v 
d
2)
10000
), cela donne
3600
10000
 10  60   1666 m
3600
Si l’accélération est nulle la vitesse est constante
m/ s
3)
L’accélération est
a
v 10  0

 3,33 m  s 2
t 3  0
s
v
 v  a  t
t
v  3,33 10  33,3 m  s 1
4)
a
5)
On sait que l’on a une accélération constante a = 3,33 m.s-2
Donc on en déduit l’expression de la vitesse v  a  t
Donc on en déduit l’expression de la distance parcourue
d
est l’expression de la vitesse moyenne
t
d (d )
Or l’expression de la vitesse instantanée est v 
, où l’on s’attache aux petites variation de la position et
dt
On sait que v 
du temps.
30/57
Donc quelle doit être l’expression de la position d(t) pour que la vitesse qui en découle ( v 
dérivée de d par rapport au temps) soit égale à v  3,33  t .
d
v
2
t
1 2
t
2
1
3,33  t 2
2
vd'
d (d )
qui est la
dt
2t
t
3, 33  t
d (d )
 3,33  t , que vaut alors d ?
dt
1
d (d )
d (t )   3,33  t 2 et on peut vérifier que v 
redonne bien v  3,33  t .
2
dt
1

d   3,33  t 2 
d (d )
2
  1  3,33  2  t  3,33  t
En effet v 
=
dt
dt
2
6)

La distance parcourue au bout de 3 s est donc
1
d (t )   3,33  32  14,9 m
2

La distance parcourue au bout de 6 s est donc
1
d (t )   3,33  62  59,9 m
2
On remarque que la distance atteinte au bout de 6s est beaucoup plus grande que le double de la distance atteinte au
bout de 3s car la vitesse continue d’augmenter
 La distance parcourue au bout de 10 s est donc
1
d (t )   3,33 102  166,5 m
2
Solution 3: Exercice 3:Forces entre Voiture et Caravane
La voiture accélère
F21
F12  F21  Ma
F12
Ma
Ma
L’accélération se fait dans le sens de F12
donc F12 > F21
F21
F21
La voiture est à vitesse constante
F21
F12
F12  F21  Ma  0
Pas d’accélération F12 = F12
Attention : si a = 0 , v peut être ≠ 0
La voiture freine
F21
F12
F12
Ma
F12  F21  Ma
La décéléretion se fait dans le sens de
F21 donc F12 < F21
31/57
Solution 4: Exercice 4:Force d’un démarrage
1.
f  R tan  donc µ  tan  
f
250

 0, 25
R 1000
La voiture accélère
R
f
P  R  f  F  Ma

F
0
On projète suivant l’axe x’x
 f  F  Ma
F  f  Ma  250  1000  2  2250 N
Ma
2.
La force nécessaire est de 2250 N
P
x’
x
Solution 5: Force sur un traineau
1°)
R
F
f
P
2°)
a) A vitesse constante
f  F  Ma  0
 F  300 N
b) Accélération 0,5 ms-2
f  F  Ma
 300  F  120  0,5
 F  360 N
Solution 6: Ascenseur
1°) Un système soumis à un ensemble de forces est soumis à la relation fondamentale de la dynamique :
La somme vectorielle des forces donne le sens de l’accélération et son intensité .
Donc en appliquant la Relation Fondamentale de la Dynamique (RFD)
 F  ma
z’
F
F  P  M tot a
F   M  m g   M  m a
Ma
mg
z
Mg
2°) En projetant sur zz’
F   M  m g   M  m a
a
F   M  m  g 4905   300  200   9,81

 0 m/ s 2
 M  m
 300  200 
La vitesse du système est constante mais on ne peut pas savoir si le l’ascenseur monte ou descend.
3°) En projetant sur zz’
32/57
F   M  m g   M  m a
4°)
a
F   M  m  g 5900   300  200  9,81

 2 m/ s 2
 M  m
 300  200 
a
dv
donc v   a  dt ce qui correspond à chercher l’expression de v(t) qui a pour dérivée a
dt
 v  a  t  C te
La constante correspond à v pour t=0 donc comme la vitesse est nulle au démarrage v  a  t
v  a  t  2  6  12m/s
En 6 secondes on passe de 0 à 12 m/s
Pour trouver l’expression de la position x , il faut trouver une expression de x(t) qui a pour dérivée
dx(t )
 v(t )  a  t
dt
Recherche de la fonction par tâtonnement
Méthode mathématique par recherche de l’intégrale
dx(t )
 v(t )  a  t
dt
1

x   vdt   a  tdt   a  t 2  C te 
2

0
t
dx(t )
 2t
dt
1 2
dx(t ) 1
 2t
Si x(t )  t  v(t ) 
2
dt
2
1
dx(t )
2
Si x(t )  a  t  v(t ) 
 at
2
dt
Si x(t )  t  v(t ) 
2
A t=0 la position x=0 donc Cte=0
x
1
1
a  t 2  2  62  36
2
2
En 6 secondes on effectue 36 m
Solution 7: Luge
1°)
2°)
On applique la RFD
y’
 F  ma
R
P  R  f  M a
Ma
que l’on projette sur chaque axe xx’ et yy’
Donc comme
f
x
En projetant la RFD suivant l’axe yy’
Pt
R  P cos   196 cos 35  160 N
En projetant la RFD suivant l’axe xx’
R et Pn projetés sur xx’ valent 0


x’
Pn
P
y
Tracer la force équivalente au poids (ex 1cm : 100 N)
On peut décomposer le poids suivant la tangente à la surface Pt et suivant la
normale Pn (on a toujours
P  Mg  196 N
P  Pn  Pt )
La réaction du support est toujours perpendiculaire à celui-ci, elle s’oppose
donc à la composante normale du poids Pn.
Pt  f  Ma
P sin   f  Ma
f  P sin   Ma  196sin 35  20 1,5  82 N
3°) v  at  1,5  5  7,5 m/ s
4°) Si les frottements sont négligeables
Pt  Ma
a
Pt P sin  196sin 35


 5, 6 m/ s 2
M
M
20
33/57
Solution 8: Ralentissement d’une automobile (Solution 8:)
La voiture accélère
R
P  R  f  F  Ma
F
f
0
On passe de 60 à 65 km/h
Ma
P
x’
x
La voiture est au point mort
R
P  R  f  Ma
0
f
f  Ma
On passe de 65 à 55 km/h en 7,2 s
Ma
Donc a 
P
 55  65 
7, 2
1000
3600  0,39 m/ s 2
a<0 donc c’est une décélération
Les forces de frottement valent
f  1000  0,39  390 N
Solution 9: Serrage d’écrou
C  OM ^ F  OM  F  sin   d  F  150 N .m
d
 /2
d
=/2
1
C  d F
F
O
F1 
C 150

 500 N
d1 0,3
F2 
C 150

 375 N
d 2 0, 4
Solution 10: Balançoire
y
z
d
0
dt
 OM 1 ^ P1  OM 2 ^ P2  0
C  J
x
C2
C1
O
M1
M2
d=120 cm
C1
C2
 OM 1  P1  OM 2  P2  0
d
P1
FP2
OM 1 
P2
48  9,81
d
1, 2  1,37m
P1
42  9,81
Solution 11: BTS 2005 Nouméa : Arrêt d’une scie
B.2. Arrêt de la scie
d
  C  Cmot  Crésist
dt
d
C
d
 Cr donc
 r
Dans ce cas particulier J
dt
dt
J
0  1490
2 

60  0  7,99 Nm d’où C  8 Nm
 21,5
B.2.2. Cr   J
r
t
420
B.2.1. on a dans le cas général J
C.3. Amélioration de l’arrêt de la scie
34/57
C.3.1. J
d
 C f  Cr
dt
C.3.2. Si on veut obtenir un arrêt en t1=45s
Il faut des frottements égaux à
d
C f  J
 Cr  21,5 
dt
2
0  1490
60  8  66,5 Nm
45
Solution 12: Moteur électrique
L’énergie est donnée par W  C 
Or on veut connaître l’énergie dépensée pendant 1 minute, or on fait 1500 tours en une minute (soit
W1min  20 1500  2  188,5 kJ en 1 minute
2
W1s  20 1500 
 3,14 kJ en 1 seconde
60
La puissance du moteur est donc de P 
Ou P  C    20  1500 
W1s W1min


t(1)
t(60)
20 1500 
1
1500  2 rad )
2
60  3,14 kW
2
60
Solution 13: Pont Roulant
1°)
f)

Sur le trajet AB : les forces sont perpendiculaires donc le travail est nul :

W  T1  T2 AB  213000  9,81 9  cos 1   0
T1=P/2
T1+T2
T2=P/2
1=90°
A
9m
3=119°
10,3m
2=180°
0
g)
Sur le trajet BC :


W  T1  T2 BC  213000  9,81 5  cos( 2 )  10, 44MJ
B
180
5m
C
P
9  52  10,3
5
L’angle présent entre T1  T2 et AC vaut 90  arctan    119
9
h) Sur le trajet AC se fait suivant l’hypoténuse

2

W  T1  T2 AC  213000  9,8110,3  cos(119)  10, 44 MJ
2°) Le travail ne dépend pas du parcours mais uniquement des points de départ et
d’arrivée
3°) Si on effectue le trajet en 50 s la puissance fournie par la charge est de
P
W 10, 44 106

 208 kW
t
50
Solution 14: Machine à papier
d
d
donc Cmot  Cr  J
dt
dt
Comme le couple est donné par C  F  d .
d
donc F  R1  f  R2  J
dt
f  R2 50  0,5
d
 0 donc F  R1  f  R2 donc F 

 250 N
Si la vitesse est constante
dt
R1
0,1
(10  0)
d
 50  0,5
J
 f  R2 2
d
(5  0)
dt
2. Si on veut une accélération F  R1  f  R2  J
donc F 

 290 N
dt
R1
0,1
1.
C  J
35/57
3.
P  C  dans le pire des cas, on est en fin de phase d’accélération (donc la force est de 290 N) et à la vitesse maximale
(10 rad/s) donc P   F  d     290  0,1 10  290W
4.
A vitesse constante la force nécessaire est de F=250 N donc la puissance est de
P   250  0,1 10  250W
Solution 15: Energie cinétique d’un camion
2



1
1
1000 
2
1°) EC  m  v  14000  108 
  6,3 MJ
2
2
 km / h 3600 
 30 m / s 
2°) Ec perdue lors du freinage
EC  C 
donc
C
EC


6,3 106
 334 kNm
3  2
d
 C  C
3°) J
dt
C
334 103
J

 95680 kg.m²
d
2
200 
0
dt
60
60
Solution 16: Energie cinétique d’un volant
1. L’énergie cinétique d’un solide en rotation est donnée par
1
J  2 avec J moment d’inertie en kg.m2 et  en rad/s
2
1
2
Calcul du moment d’inertie J : J  MR
2
Ec 
 V

La masse est donnée par le produit de la masse volumique par le volume : M 

Le volume est le produit de la base du cylindre (de surface S   R ) par la hauteur h

Le rayon R est la moitié du diamètre R 
2
D
2
2
1
1
1
1
D
2
2
2
2
donc J  M  R    V  R    Sh  R     hR
2
2
2
2
2
2
1
2
2
Soit J  7800     0,5  1  6126 kg  m ²
2
2
 
Donc l’énergie cinétique est :
Ec 
1
J  2 avec  en rad /s
2
Or  en tr/min que je dois exprimer en rad /s soit   1000 
2
60
1
2 

6
Donc Ec  6126   1000 
  33, 6 10 J
2
60 

2
2. Si l’on veut faire chuter la vitesse à 500 tr/min, la perte d’énergie sera la différence entre l’énergie à 1000 tr/min et à
500 tr/min : Ec  EC 1000  EC 500 .
Donc Ec 
1
1
2
2
J 1000
 J 500
2
2
36/57
2
2

1
1
2  
2  
2
2
6
Soit Ec  J  1000  500    6126   1000 
   500 
   25, 2 10 J

2
2
60  
60  

3. Si l’on souhaite perdre cette énergie en 1 min ( soit 60s ), la puissance de freinage nécessaire est de
P
Ec 25, 2 106

 420 103 W .
t
60
Solution 17: Energie potentielle d’un barrage
1°) L’énergie potentielle est donnée par E p  mgh
La hauteur considérée pourrait être 1250 m mais cela donnerait l’énergie potentielle exploitable sur 1250 m de chute.
La chute d’eau étant de 1250 -1020m c’est cette hauteur que l’on prendra en compte.
La masse de l’eau est de 1,2. 109 m3 et 1 m3 d’eau pèse 1000 kg
Donc l’énergie potentielle totale disponible est :
Ep  mgh  1, 2 109 103  9,81 (1250 1020)  2,7 1015 J
1
EM  EP  EC or la vitesse est nulle donc EC  mv 2  0 donc EM  EP
2
2°) E p  mg h et pendant une seconde il s’écoule 100 m3 donc
E p  m  g  h  100000  9,81 (1250  1020)  225 106 J
3°) a) Lors de la chute, l’énergie potentielle (hauteur) est transformée en énergie cinétique (vitesse) , à l’arrivée dans la turbine,
celle-ci transforme l’énergie cinétique en énergie électrique, on nous dit que l’énergie cinétique finale (donc la vitesse
après passage dans la turbine) est nulle.
L’énergie potentielle se transforme en travail donc la masse d’eau fournit un travail de
3°) b) La turbine reçoit chaque seconde l’énergie mécanique
P
E p
t
E p  mg h  225 106 J
E p  225 106 J donc la puissance fournie à la turbine est
 225MW
4°) Le rendement de la turbine étant de 90% : Pélec
 0,9  225  203MW
Solution 18: Energie acquise lors d’une chute
1)
Principe de conservation de l’énergie mécanique : Eméca  Ec  E p = Cte pour un système isolé
2)
L’énergie potentielle perdue lors d’une chute de 1 m est E p  mgh  0,102  9.811  1 J
3)
Lors de la chute l’énergie potentielle se transforme en énergie cinétique
4)
EC 
5)
On extrait la vitesse de l’expression de l’énergie cinétique
EC  1J
1 2
mv  1 J
2
1 2
mv
2
1
2  EC  mv 2  2
2
1
1
 2  EC 
 m v2
m
m
EC 
2  EC
 v2
m
2  EC
v
m
37/57
2 EC
2 1

 4, 43 m / s
m
0,102
v
Solution 19: Force d’une cote sur une voiture
1)
Plat
Comme on est à vitesse constante ( a  0 )
R
 F  ma
0
f
Alors F  f  R  P  0
F
Donc en décomposant suivant les deux axes R  P
f  F  1,5 103 N
Et les forces de frottements sont égales à la traction soit
P
2)
Pente
R
F’
x
Pt  P sin  5,71  104  sin  5,71  994 N
f
La force de traction F’ est donc
10 m
5,71°
100 m
3)
 10 
  5, 71
 100 
Comme l’angle de la route est Arc tan 
La composante tangentielle du poids est donc :
Pt
Pn
x’
Les forces de frottements restent les mêmes, la force F’ devra lutter
contre les forces de frottements et contre la composante tangentielle
(à la route) du poids
F   Pt  f  1,5 103  994  2, 49 103 N
P
Accélération
 F  m  a donc en décomposant suivant l’horizontale :
R
F   f  ma
f
F ‘’
Ma
P
4)
L’accélération consiste à passer de 90 à 130 km/h (à convertir en m/s)
en 3s
v
Soit une accélération de a 

t
(130  90) 
3
1000
3600  3, 7 m/ s ²
F   ma  f  1104  3,7  1,5 103  1,552 103 N
Forces de frottement
Les forces de frottements sont proportionnelles au carré de la vitesse donc
f  k  v2
1500
 0,185
902
2
2
Donc à 130 km/h f  k  v  0,185 130  3130 N
Donc à 90 km/h
5)
f  1500 N  k  902 donc k 
Dépense énergétique
W130  F  d  3130 130 103  407 106 J
W90  F  d  1500 130 103  195 106 J
38/57
Solution 20: Force et moment d’un moteur tractant une masse
R
1°)
 F  ma or v=1,2 m.s = C
-1
te
donc pas d’accélération donc a=0
Donc P  T  0 donc T  mg  9,81 73  716 N
2°) Le couple est la force fois la distance nous séparant de l’axe de rotation soit
T
C  T  R  716  0,3  214 Nm
3°) La puissance est le produit de la force (tension T) fois la vitesse (ou couple fois vitesse de rotation)
P
Pméca  T  v  716 1, 2  860W
1, 2
Pméca  C    214 
 860W
0,3
Solution 21: Essoreuse à salade
77
1°) Le couple exercé sur la manivelle est de
2°)
11
6cm
2,5 N

C1  F1  d  2,5  0,06  0,15Nm
77
7
11
3°) Du fait de la conservation de la puissance entre les deux pignons :
P  C11  C22
C1 2 R1
C
C


  donc 1   soit 1  C2
C2 1 R2
C2

0,15
C2 
 21, 4 103 Nm  21, 4 mNm
7
donc
4°) Du fait de la non-conservation de la puissance entre les deux pignons :
P2  80% P1
La perte de puissance va se répercuter sur le couple, en effet :
 2 R1


1 R2
0,8  C11

donc 0,8  C11  C22 donne C2 
soit C2  0,8  C1 1
2
2
C22  80%C11 comme on a toujours
1
C2  0,8  0,15 

1
 17,12 103 Nm  17,12 mNm
7
C2
Solution 22: BTS Et 2008 Métro Dimensionnement d’un servomoteur de vanneBTS Et 2008 Métro Dimensionnement
d’un servomoteur de vanne
dv 0, 023
6

 166 106 m/s
 vv  166 10 m/s
t
138
23
 5, 75 tr
B.1.2. p= 4 mm (4mm/tour)
 N br 
4
B.1.1.
vv 
B.1.3. le nombre de tours/s est donné par le rapport de la vitesse sur la distance effectuée lors d’un tour (soit un pas).
est donné en mm donc on multiplie par 10-3 le pas et on multiplie par 60 pour avoir le nombre de tours par minute
nsv 
B.1.4.
Le pas
60  vv
 2, 49  nsv  2, 49 tr/min
p 103
La puissance mécanique nécessaire pour la translation
mécanique nécessaire à la rotation
Ptr  F  vv est égale au rendement près à la puissance
Ptr  Csv  sv 
39/57
F  vv 20 103 166 106

 21, 21  Csv  21, 21 Nm
2



sv
Translation
0, 26  5, 75 
Rotation
60
3
3
B.1.5. n  r  nsv  560  2, 49  1,39 10 tr/min
 n  1,39 10 tr/min
2
21, 21 5, 75 
Csv   sv
60  398 103 Nm
B.1.6. Pred  Csv sv  CMAS MAS red
 CMAS 

2
red   MAS 0, 22 1390  
60
3
 CMAS  398 10 Nm
Ptr  F  vv  Csv  sv 
Moteur
PMAS  CMAS MAS
B.1.7.
 Csv

Réducteur
Rotation
red= 22%
Pred  Csv nsv 
PMAS  CMAS   MAS  0,398 1390 
2
 57,9 W
60
Guidage
2
60

v= 26%
Translation
Ptr  F  vv
PMAS  57,9 W
Solution 23: BTS Et 2008 Nouméa le Pont FlaubertBTS Et 2008 Nouméa le Pont Flaubert
Partie A
A.1.1. La Relation Fondamentale de la Dynamique (RFD) donne
 F  ma
Total : 12
F
Comme on est à l’équilibre , la vitesse est constante donc l’accélération
PC
a 0
F  PC  P  0
En projetant sur un axe vertical Oz orienté vers le haut
F  PC  P  0
P
0,5
A.1.2.
F  PC  P  0 ou F  P  PC
or PC  M C g et P  Mg
donc
F  Mg  M C g soit F   M  M C  g
F   325 103  237 103   9.8  862, 4 103 N  862, 4 kN donc F  862, 4 kN
0.5
A.1.3. En prenant la force F=957 kN comme indiqué dans le texte
Le couple
TT  F  RT soit TT  F 
DT
3 1, 6
 765 103 N  m  765 kN  m soit
donc TT  957 10 
2
2
TT  765 kN  m
A.2.1. La circonférence du tambour : CT  2 RT  2
0.5+0.5
DT
 5, 0265 m
2
Si on progresse à une vitesse v, le nombre de tours/min est la vitesse divisé par la circonférence du tambour.
donc nT 
v
v
4, 2


 0,835 tr / min donc nT  0,835 tr / min
CT  DT  1, 6
0.5
40/57
4, 2
v
60  0, 0875 rad/s soit n    60  0,835 tr/min
Remarque : On peut aussi se servir de  
donc  
T
1, 6
2
RT
2
A.2.2. Sachant que la vitesse de rotation du tambour est la même que celle de la couronne
On cherche le nombre de tours que doit effectuer le pignon pour faire faire un tour à la couronne.
On cherche donc le rapport des circonférences de la couronne et du pignon
DC
CCouronne 2
2  DC  3  7,5 donc
nT  nCouronne  0,835 tr / min donc

D
C pignon
Dp 0, 4
2 p
2
n p  7,5  0,835  6, 2625 tr / min donc n p  6, 2625 tr / min
0.5
A.2.3. le rapport de réduction du motoréducteur est r=218
donc
nMAS  6, 2625  218 1365 tr / min donc nMAS 1365 tr / min
0.5
A.2.4. Le moment trouvé au A.1.3 correspond à un moment déterminé lors d’une étude statique (somme des forces est nulle
 F  ma  0 )
Dans cette question le couple est déterminé pour un solide en rotation à vitesse constante donc
T  J
d
 0 donc équilibre inchangé
dt
0.5
A.2.5. Au niveau du tambour la puissance utile est:
Pu  Tu  T  765 103  0,835 
TT
4, 2
2
 67 kW
 66,89 kW ou Pu  F  v  957 103 
60
60
donc en prenant en compte le rendement mécanique de l’ensemble
La puissance utile des 4 MAS (ou Puissance absorbée de la transmission) est
Pabs 4 MAS
A.2.6.
Pu 4 MAS
Pabs trans
Transmissio
n
Pu trans
66,89 103
 78,69 103  78,69 kW donc

0,85
T
P
 u T ou u 4 MAS donc PuMAS  19,67 kW
4
4
Pu 4 MAS 
PuMAS
MAS
TuMAS 
Pu

PuMAS 19, 67 103

 137 Nm donc TuMAS  137 Nm
 MAS 1365  2
60
0.5+0.5
0.5
A.3.1. La variation de vitesse linéaire va de 0 à 4,2 m/min. A une vitesse linéaire de 4,2 m/min correspond une vitesse angulaire
du MAS de 1365 tr/min (Voir A.2.3) .
Conditions Initiales
Conditions Finales
  0 rad/s
d
dt
  1365 tr/min
 0
d

Donc
dt
 ?
2
0
d
60
 9,52 rad / s 2
 9,52 rad/s 2 donc
dt
15  0
1365 
0.5
A.3.2. Les couples appliqués sont le couple moteur que l’on cherche qui s’oppose au couple résistant de 138 Nm (égal au couple
moteur nécessaire calculé lors de l’étude statique).
On applique la relation fondamentale de la dynamique qui permet de prendre en compte l’effort supplémentaire
nécessaire pour la phase d’accélération.
J
d
 Tu  TR
dt
41/57
d
 TR
dt
 2,5  9,52  138  161,8 donc TuMAS  161,8 Nm
donc Tu  J
TuMAS
A.4.1. E1  Mgh  325 10  9.8  45  143 MJ donc
3
E1  143 MJ
A.4.2. E2  M C gh  237 10  9.8  45  104 MJ donc
3
A.4.3.
A.4.4.
A.4.5.
A.4.6.
A.4.7.
E2  104 MJ
E1  E2
39

 45,88 MJ donc E  45,88 MJ soit E  12, 7 kWh
0,85
0,85
x 45
t 

 10, 71min soit 10 min 42 s ou 642 s
v 4, 2
E  P t
E 45,88 106
P

 71, 4 kW donc P  71, 4 kW
t
642
E 45,88 106
P 

 382 kW donc P  382 kW
t 
120
E
A.4.8. Il faudra augmenter le dimensionnement du MAS
0.5+0.5
0.5
0.5
0.5+0.5
1
0.5
0.5
0.5
0.5
Solution 24: BTS Et 2007 (Metro) Motorisation 106 ElecBTS Et 2007 (Metro) Motorisation 106 Elec
1000 

A.1.1. a) Pt  SCx  v  15   110 

3600 

donc Pt  14 kW
2
2
Pt
14000
 17 kW

0,82
1000
110 
v
v
3600    117,5 rad / s
A.1.2. a)  r 


r
d
0,52
R
2
2
2
 848 rad / s
A.1.2. b)   8100 
60
 848

 7, 21
A.1.2. c) k 
 r 117
A.1.1. b)
Pu 

Solution 25: Exercice 25:BTS Et 2006 métropole Motorisation d’un tramway (Solution 25:)
Partie B- Performances mécaniques du tramway
B.1) Expression de la vitesse de rotation du rotor en fonction de la vitesse de déplacement du tramway
D
2v
 roue  roue 
2
3, 6  D

2v
et  roue 
donc   10  roue  10 
10
3, 6  D
20
Donc  
v    10, 7  v
3, 6  0,52
De
v  3, 6
B.2) Performances maximales de la rame de tramway
42/57
B.2.1) Fonctionnement en régime permanent sur le plat
B.2.1.1) Pour M = 60 tonnes
CR1  2, 7 104  60 103  0,135  v
152
144
16,2
CR2
 16, 2 Nm
Pour v=60km/h CR1  16, 2  0,135  60  24,3 Nm
Pour v=0 : CR1
B.2.1.2) La vitesse v1 vaut alors 60 km/h
B.2.1.3)
CR1  16, 2  0,135  60  24,3Nm
1  10,7  v  10,7  60  642 rad / s ou
n1 
1
642
 60 
 60  6130 tr/ min
2
2
P1  CR1 1  24,3  642  15600W
CR1
24,3
16
Rq : 642>>276 rad/s du régime nominal du moteur !
B.2.2) Régime permanent sur une pente de 8%
B.2.2.1) Pour M=60 tonnes
CR 2  2, 4 103  60 103  0,135  v
144
 144 Nm
Pour v=60km/h CR 2  144  0,135  60  152.1 Nm
Pour v=0 km/h : CR 2
B.2.2.2) La vitesse v2 vaut alors 28 km/h
B.2.2.3)
CR 2  144  0,135  28  147,8 Nm
1  10,7  v  10,7  28  299,6 rad / s ou n1  1  60  299, 6  60  2861tr/ min
2
2
P1  CR1 1  147,8  299,6  44280W
B.2.3) Démarrage sur le plat
d
 C  CR
dt
d  C  CR 170  16, 2


 35 rad s ²
B.2.3.2) Lors du démarrage
dt
J
4, 4
B.2.3.1) La relation fondamentale de la dynamique est J
B.2.3.3) Pour atteindre 25 km/h soit
   10,7  v  267 rad/s avec une accélération de 35 rad/s², comme
267,5
d
267,5  0
 7, 6 s
 35 rad s ² 
alors il faudra t 
35
dt
t
Solution 26: Exercice 26:BTS 1998 Nouméa Etude de l’ensemble moteur – treuil d’un monte charge
1°)°a)
R
T
30cm
T
CP  P  R  2,5 103 10  0,15  3750 Nm
m = 2,5.103kg
P
1°)b) Comme il y a conservation de la puissance au travers du treuil
43/57
P  C p treuil  CT 
 CT  C p
treuil
 kC p

1
 3750  93, 75 Nm
40
1°)c) T  k 
D
v  R  T  R  k     k  
2
D
v  k 
2
2
 
v
kD
d
2 dv



dt kD dt
d
  C  Ce  Cr
1°)d) J
dt
d
2  40 dv
 Ce  J
 Cr  0,13 
  93, 7
dt
1 0,3 dt
 CT 
34,6
 Ce  35 
dv
 94
dt
2°) Montée de la charge
2°)a)
v
v0
t
0
t1
t2
t3
C e (N.m)
150
0,5
 94
1
Cem  111,5 Nm
Cem  35 
0
 94
10
Cem  94 Nm
Cem  35 
0,5
 94
0,5
 59 Nm
Cem  35 
Cem
100
50
t
0
t1
t2
t3
D
k 
2
2v
2  0,5


 133 rad/s
1
kD
 0,3
40
 N  1273 tr/min
2°)b) v0 
44/57
Or
Cem  94 103 
94
V2
 NS  N 
f2
4,42
94
 51, 6 tr/min
94 103  4, 42
 N S  1324 tr/min
 NS  N 
1324
 44,15 Hz
60
 V  4, 44  f  196V
 f  p  nS  2 
Pu  P  v  2,5 103 10  0,5  12,5 kW
Pabs 
3V 2
3 1962
2
 Cem  S 
 94 1324 
 13,53 kW
R
230
60
3°) Descente de la charge
3°) a) La machine fonctionne alors en génératrice
3°) b) Cem = -94 Nm
3°) c) si v0 = 0,5 m/s
2v
2  0,5

 133 rad/s
1
kD
 0,3
40
 N  1273 tr/min

V2 

3°) d) Cem  94 10  2  N S  N 
f 
1273 
94
3
4,42
94
 1273  1221tr/min
94 103  4, 42
1221
 f  p  nS  2 
 40, 7 Hz
60
 V  4, 44  40, 7  179 V
NS  
3°) e) la génératrice asynchrone fournit
Pf  Cem  s 
3V 2
2
1792
 94  1221
 3
 11, 6 kW
R
60
230
12019
418
Solution 27: Exercice 27:BTS 2009 Nouméa Etude du pont de coulée
A.1. Détermination de la durée d'un cycle de déplacement en tran slation
A.1.1.
L’accélération dure 7 s donc et elle permet d’atteindre
Vp = 60 m.min-1 soit VP = 1m.s-1 donc
a
v 1
  0,141 m.s 2
t 7
Soit une accélération a=0,141 m.s-2
45/57
A.1.2. Pendant une phase d’accélération l’expression de la vitesse est
t
v   a  dt   a 0  a  t donc v  a  t
t
0
Et l’on en déduit l’expression de la distance
t1
 t2 
t 2 1 72
d a   v  dt   a  t  dt   a   a 1    3,5 m
2 7 2
 2 0
0
0
t
t
La distance parcourue pendant une phase d’accélération est donc de 3,5 m
A.1.3. Puisque les phases d’accélération et de freinage sont « égales » alors df=da= 3,5 m .
A.1.4. Sachant que la distance totale parcourue est de 20 m, la distance parcourue pendant la phase à vitesse constante est
d p  d  d f  d a  20  2  3,5  13 m .
A.1.5. Lors d’un déplacement à vitesse constante t2  t1 
dp
vp

13
 13 s .
1
A.1.6.
Il est bon de noter les distances totales à parcourir.
Les distances à parcourir à vitesse constante sont égales à la distance totale – la distance parcourue pendant les phases
d’accélération et décélération soit 3,5+3,5=7m.
La durée de la phase à vitesse constante (1m.s-1) se détermine en faisant le rapport
t
d d
 .
vp 1
Les phases d’accélération et décélération durent chacune 7s donc il faut ajouter 14s au calcul précédent pour connaître la durée
totale.
Dist à vitesse
Durée de la phase à
Distance totale
ETAPE
Durée acc+frein
Durée totale
const
vitesse const
1
7s+7s=14s
13
13
27
20
2
14s
3
3
17
10
3
14s
33
33
47
40
4
14s
3
3
17
10
5
14s
3
3
17
10
6
14s
43
43
57
50
A.1.7.Durée de déplacement : T= 27+17+47+17+17+57=182 s = 3 min 2s
A.2. Performances en régime établi : puissance et couple des moteurs de translation
A.2.1. La vitesse linéaire de déplacement est
v p  60 m  min 1  1 m  s 1
La relation liant vitesse angulaire et vitesse linéaire est
vP
v
1
 P 
 2,5 rad  s 1 donc G  2,5 rad  s 1
d
R
0, 4
G
2
1
A.2.2. Compte tenu du rapport de réduction  M  r  G  39, 6  2,5  99 rad  s .
G 
A.2.3. L'effort nécessaire pour vaincre la résistance au roulement est F  e  M P  g P  0, 004  90 10  9,81  3532 N
3
donc F  3532 N .
Pméca  F  vP .
Cette puissance est fournie par les deux moteurs dont chacun génère une puissance Pmot  TG  G .
A.2.4. La puissance mécanique nécessaire au déplacement de la charge est
Donc la puissance mécanique est fournie par les deux moteurs donc :
TG  G 
F  vP 3532 1
F  vP

 706, 4 Nm donc le couple de chaque moteur est
.donc TG 
2
2  G
2  2,5
TG  706, 4 Nm
PG  TG G  706, 4  2,5  1766 W .
PG 1766

 1879 W
A.2.6. Compte tenu du rendement la puissance de transmission au niveau d’un moteur est PM 
 0,94
A.2.5. La puissance de traction au niveau d’un galet du moteur est :
46/57
A 2.7. Et le couple résultant est TM 
PM
 18,98 Nm
M
A.3. Performances dynamiques : couple de démarrage
d
 Te  Tr avec Tr =19 Nm et J =4,6 kg.m2
dt

 Tr
A.3.2. au démarrage Te  Td  J
t
99
 19  84, 06 Nm
Donc Td  4, 6
7
99
A.3.3.Si on change la durée de démarrage Td  4, 6
 19  149,1 Nm
3,5
A.3.1. J
Solution 28: Exercice 28:BTS 2010 Nouméa Manitou (Solution 28:)
40
 505, 6 N .
725
40
Fb 2  2, 25  5800 
 720 N
725
3
A.1.2 Cb1  Fb1  Re1  505, 6  32, 6 10  16, 48 Nm
A.1.1 Fb1  1,58  5800 
Cb 2  Fb 2  Re 2  720  34,9 103  25,13 Nm
A.1.3
Cbtotal  Cb1  Cb 2  16, 48  25,13  41, 6 Nm .
A.1.4 La broche doit tourner à 725 tr/min et fournir le couple précédemment calculé donc :
Pb  Cbtotal    41, 6  725 
A.1.5
N  rN m ou r 
2
 3158 W
60
N
Nm
or le nombre de tr/min est le rapport de la vitesse sur la circonférence d’un tour : N 
v

r
v
d1tour

v
2 R
R
v
80 103
r  m 
 0,8
R 100 103
2 Rm
2 R
Donc r  0,8 le rapport des vitesses est dans le rapport inverse des rayons
N 725

 906 tr / min .
A.1.6 La vitesse de rotation Nm de la machine asynchrone est N m 
r 0,8
A.1.7 On trouve la puissance mécanique utile du moteur en prenant en compte le rendement de l’ensemble poulie courroie donc
Pu 
Pb


3158
 3715 W .
0,85
Le moteur d’une puissance utile nominale de 5,5 kW est donc sur dimensionné
A.1.8 Le couple résistant Cr exercé sur l'arbre de la machine Cr 
Pu
3715

 39 Nm
 m 906 2
60
Que l’on aurait pu calculer autrement (les couples sont dans le rapport du rapport de réduction majoré par le rendement) :
Cr 
Cb  r

 39 N  m
A.1.9. On peut admettre la courbe du MAS passe par 1000 tr/min (vitesse de synchronisme plausible) et par le point PF2 .
Le couple mesuré alors est de 100 Nm
Donc pour PF2’ Pu  C r  m  90  906 
2
 8538 W > 5,5 kW de la puissance nominale
60
Le moteur est donc sous dimensionné.
47/57
Si on prend en compte de façon plus précise le déplacement du point de fonctionnement
Donc pour PF2 Pu  C r  m  100  860 
2
 9480 W > 5,5 kW de la puissance nominale
60
PF 2 (860 ; 100)
PF 2’ (906 ; 90)
150 mm/min
PF 1 (906 ; 39)
Solution 29: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant horizontal:(Exercice 29:)
1°) x  0,5 mm pour un pas du codeur
x 0, 0005

 0, 015 correspondant au pas angulaire nécessaire du codeur
R 0, 0325
2
 408 pas par tour de codeur
Donc il faut au moins
 red
 red 
2°) Si on néglige le déplacement lors des phases d’accélération et de décélération,
il faut alors effectuer le déplacement de 1m en 2s (3s -2x0,5s des phases d’accélération et décélération)
donc la vitesse à avoir pendant la phase de vitesse constante est de v =d/t=1 /2=0,5 m/s
et donc une accélération a=v/t=0,5/0,5 = 1m/s²
a
t
v
x
3°)
a) Le coefficient de frottement est défini par tan   µS 
Flim
R
avec Flim est la force minimale à générer pour lutter contre le frottement et donc déplacer la charge.
R est la réaction du support vis à vis du poids
Donc Flim  R tan   P tan   Mg tan   15  9,81 0,6  88,3 N
b)
 F  ma
48/57
Fmotrice  Flim  ma soit en projetant sur l’axe Ox
Fmotrice  P tan   ma
Fmotrice  ma  P tan   15 1  15  9,81 0,6  103,3N
c) Le couple nécessaire au niveau du tambour est Ctambour  Fmotrice  R  103,3  0,0325  3,35 Nm
La puissance maximale nécessaire au niveau du tambour est Ptambour  Ctambour tambour
donc
Qui sera maximum à la fin de l’accélération car à ce moment la vitesse est maximale et le couple est maximal (on finit
d’accélérer).
Sachant que le tapis évolue au maximum à 0,5 m/s, la vitesse de rotation maximale du tambour est donc :
vtambour
0,5

 15,38 rad/s
Rtambour 0, 0325
Ptambour  Ctambour tambour  3,35 15,38  51,5 W
P
51,5
d) La puissance du moteur est donc Pmot  tambour 
 73,5 W

0, 7
4 ) La vitesse maximale du moteur est donc grâce au réducteur de 10,5 mot  r tambour  10,5 15,38  161, 4 rad/s soit
tambour 
1542 tr/min
Le couple max du moteur est donc Cmot 
Pmot
73,5

 0, 45 Nm
 mot 161, 4
Solution 30: Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant en pente: (Solution 30:)Exercice 30:)
Tapis caoutchouc
tan = 0,4= f/R
x
R1=3cm
1
y’
R
T

Pt
Masse
MAS
2
f
y
=30°
3
Pn

P
R2=6cm
x’
1°) On applique la RFD :
R3=4cm
 F  ma
On cherche la force minimale qui permet de tenir l’ensemble en équilibre donc a=0
T  f  R  P  ma  0
La force P se décompose en une composante tangentielle
Pt  P sin  et une normale : Pn  P cos 
T  f  R  P  ma
0
T  f  R  Pn  Pt  m a
0
On décompose suivant x’x :
0  0  R  Pn  m  0
 R  Pn  0
 R  Pn  0
Pn  R  P cos 
Puis suivant y’y :
T  f  R  Pn  Pt  ma
T  f  0  0  Pt  m  0
T  f  Pt  0
49/57
En projetant sur y’y :
T  f  Pt  0
f  Pt  T
Or on déduit de la décomposition de P suivant les axes xx’ et yy’ :
Et la force de frottement est telle que µ  tan  
Pt  P sin 
f
donc f  R tan 
R
f  Pt  T
 R tan   P sin   T
 P cos  tan   P sin   T
Si on reprend
 T  P  cos  tan   sin  
Application numérique
 T  20  9,81 0, 4  cos30  sin 30  166 N
2°) si on veut accélérer de 0 à 2 m/s en 3 s on a donc une accélération a 
20
 0, 66 m  s 2
30
En refaisant la décomposition suivant yy’
T  f  Pt  ma
T   P cos  tan   P sin    ma
T  P cos  tan   P sin   ma
T  20  9,81 0, 4  cos 30  sin 30   20
166
20
3
 T  180 N
3°) Si le rendement de transmission vaut 100%
Je cherche le cas le plus défavorable : donc lorsque je suis en phase d’accélération (T=180N) et la vitesse la plus élevée (soit
2m/s), la puissance est égale à F x v
P  T  v  180  2  360W
On sait aussi que cette puissance est égale à
P  C22  C33  360W




v
2

v R1 R2
v

 50 rad/s
donc 3 
 2  1 R1  3 

R3 0, 04
R2 
R1 R2 R3 R3
R 
3   2 2 
R3 
1 
v
R1
Ce que l’on aurait pu voir plus simplement en remarquant que la vitesse d’enroulement du câble le long du tambour du MAS est
v pour un rayon R3 donc 3 
CMAS  C3 
v
2

 50 rad/s
R3 0, 04
P 360

 7, 2 Nm
3 50
4°) Si le rendement de transmission est de 50%

Pméca 360
360
 720 W

 50% donc PMAS 
50%
PMAS PMAS
La vitesse de rotation est inchangée
CMAS 
PMAS 720

 14, 4 Nm
3
50
Solution 31: Exercice 31:Dimensionnement d’un moteur de tapis roulant en pente 2: (Solution 31:)
Première étude : à plat
50/57
R

f
T
Tapis caoutchouc
tan = 0,45= f/R
P
1.
2.
P  m  g  40  9,81  392 N
3.
 F  ma



 P  T  f  R  ma
4.
Déplacement uniforme donc a=0
 Il n’y a pas de déplacement et donc d’accélération sur la verticale donc a=0. Sur la verticale
P  R  m a donc
0
PR

On a un déplacement Sur l’horizontale T  f  m a
0
T  f 0
T f
f  R  tan   392  0.45  176 N  T
5.
Tressort  k  x  900  0,195  176 N
Deuxième étude : accélération sur le plat
R

T=196
f=176
Tapis caoutchouc
tan = 0,45= f/R
P
6.
Par application de la RFD sur l’horizontale T  f  ma
T  f 196  176 20


 0,5 m/s² donc a  0,5 m/s²
m
40
40
dv
7. a 
donc v(t )  a  t  v0
dt
Comme la vitesse initiale v0 est de 1m/s au bout de 2 secondes v(t  2)  0,5  2  1  2 m/s soit v(2)  2 m/s
dx
1
1
2
2
8. v 
donc comme v(t )  a  t  v0 alors x(t  2)  a  t  v0  t  x0  0,5  2  1 2  3 m soit
dt
2
2
x(t  2)  3 m
a
Troisième étude : en pente
51/57
Y’
Pt
x’
Masse
=35°
x
Pn
=35°
P
y
9.
Pt  P sin   40  9,81 sin 35  225 N donc la composante tangentielle Pt  225 N
Pn  P cos   40  9,81 cos35  321 N
Suivant l’axe y’y
Pn  R  m a
0
 Pn  R  321 N
10. Suivant l’axe xx’
T  f  Pt  m  a
T  f  Pt  ma
R
T  P cos  tan   P sin   ma
f
Pt
Comme on veut juste initier le mouvement l’accélération est donc nulle
T  40  9,81 0, 45  cos35  40  9,81 sin 35  40  0  369 N donc T  369N
144.65
225
0
369
11. Si l’on veut une accélération de 0.5 m/s²
T  40  9,81 0, 45  cos35  40  9,81 sin 35  40  0.5  389 N
144.65
225
20
T  389N
12. Le couple nécessaire sur le tambour 1 pour avoir un déplacement uniforme est de C1  T  R1  370  0.03  11 Nm
donc
369
13. Les couples en présence s’équilibrent. Donc la force nécessaire sur la manivelle pour avoir un déplacement uniforme est
telle que le couple est de 11 Nm soit une force de F 
C1 11

 55 N .
d1 0.2
Quatrième étude : en pente et accélération
v
1

 33rad/s donc 1  33rad/s
R1 0, 03
d
 Cmoteur  CRésistant
15. RFD solide en rotation: J
dt
d
J
 CR  Cmoteur
dt
(33.3  0)
Cmoteur  0.038
 11  11.63 Nm donc Cmoteur  11.63 Nm
(2  0)
14. 1 
0.63
16. Comme
Pméca  Cmoteur moteur
a. mouvement uniforme à 33.3 rad/s , le couple moteur est de 11 Nm donc
P  Cmoteur (v=constante)  max  11 33.3  366 W donc P  366 W
b. le cas nécessitant le plus de puissance est le cas où la vitesse est maximale et l’effort maximal aussi.
Pmax  Cmoteur (v accélérée)  max  11, 63  33.3  387 W donc P  387 W
Caractéristiques du moteur
17. A 33.3 rad/s correspond une vitesse de 1 m/s.
Comme la vitesse de la corde est conservée 3=v/R3= 1/0.04 = 25 rad/s.
52/57
(on aurait pu passer par le rapport des tambours 3 =(R1/R3) x1 =25 rad/s)
Le moteur possède un rapport 1/10 donc sa vitesse de rotation est de 250 rad/s
18. La puissance utile du moteur électrique devra être de
On en déduit le couple
Cu mot 
Pu mot
 mot
Pu mot 
Pméca
méca

387
 483 W avec accélération
 Pu mot 

0.8

.
 P  366  457 W sans accélération
 u mot 0.8

483
 1.93 Nm avec accélération
 Cu mot 

250

457
C

 1.83 Nm sans accélération
u
mot

250
Solution 32: Exercice 32:BTS Et 2012 Métro Sucrerie (Solution 32:)
B.1. Analyse du cycle de centrifugation existant
B.1.1. La durée T d'un cycle complet est T=10+20+40+40+50+20+20 = 200 s/cycle.
B.1.2. Soit 3600/200= 18 cycles par heure de fonctionnement.
B.2. Prise en compte de l'augmentation de la productivité
B.2.1. Pour passer de 10000 tonnes/heure soit 18 cycles/h à 12000 tonnes/heures il faut passer à 18x12000/10000 = 21 ,6
cycles/h.
B.2.2. Si l’on prend 22,5 cycles/h alors un cycle doit durer 3600/22 ,5 = 160 s.
B.3. Construction du nouveau cycle de centrifugation
B.3.1.
Phase 2 : 20 s inchangée car correspond au chargement de la masse cuite.
Phase 6 : 20 s inchangée car correspond à l’évacuation
Phase 4 : 40 s inchangée car correspond à la phase essentielle de centrifugation.
B.3.2. T’=5+20+30+40+30+20+15 = 160 s/cycle.
B.4. Contraintes dues au nouveau cycle de centrifugation
B.4.1. DOC réponse couples en phase 2,4,6
Phase 2 : inchangée : 340 Nm.
Phase 4 : inchangée : 340 Nm.
Phase 6 : inchangée : 340 Nm.
B.4.2.
J tam
d
 Cmot  Crés . Donc Cmot  Crés  340 Nm
dt
0
B.4.3. Phase 1
2
 1, 6 
2
B.4.3.1. J tam  M tam  R  1250  
  800 kg  m .
 2 
2
220  60  

 d 
60  3,35 rad/s 2

B.4.3.2. Phase 1 : 

50
 dt  phase1
2
tam
Soit une accélération de 3,35 rad/s² lors de la phase 1
B.4.3.3.
 d 
Cmot  J tam 
 Crés  800  3,35  340  3020,8 Nm

 dt  phase1
Soit une phase 1 avec Cmot = 3020,8 Nm
B.4.4. Phase 3
53/57
 d 

B.4.4.1. Phase 3 : 

 dt  phase 3
 980  220  
30
2
60  2, 653 rad/s 2 .
Soit une accélération de 2,65 rad/s² lors de la phase 3
B.4.4.2.
d 
 
Cmot  J tam
 Crés  1530  2, 653  340  4399 Nm

 dt  phase3
Soit une phase 3 avec Cmot = 4400 Nm
.
B.4.5. Phase 5
 d 

B.4.5.1. Phase 5 : 

 dt  phase 5
 60  980  
30
2
60  3, 211 rad/s 2 .
Soit une décélération de 3,211 rad/s² lors de la phase 5.
B.4.5.2. .
d 
 
Cmot  J tam
 Crés  1270   3, 211  340  3740 Nm

 dt  phase5
Soit une phase 5 avec Cmot = -3740 Nm
B.4.6. Détermination des modes de fonctionnement moteur ou générateur
B.4.6.1. DOC réponse couples en phase 2,4,6
B.4.6.2. DOC réponse Hachures Moteur Générateur
54/57
.
Solution 33: Exercice 33:BTS Et 2012 Nouméa Chalet de montagne (Solution 33:)
B.2.2. Paramètres modifiants la fréquence de la tension
B.2.2.1. Le couple moteur Cm est généré par l’apport d’eau sur la turbine
B.2.2.2. Cr correspond à l'alternateur + sa charge électrique
B.2.2.3. I demandé varie en fonction des consommations. La charge change. Cr varie
B.2.2.4. f= pns. Pour que f=cte il faut que ns ne varie pas. Donc vitesse constante d'où
Cm-Cr=0.
B.2.2.5. Q=cte Cm=cte . Pélect diminue donc Cr diminue
d
 0 la vitesse augmente et donc f augmente.( f= pns)
dt
B.3. Fonctionnement à puissance consommée constante.
B.3.1. Cm= cte. Pélect =cte grâce aux charges rajoutées. Cr=cte.
B.3.2.Rapidité de la mobilisation de la charge
B.3.2.1. Pélect= 4500 W
B.3.2.2. Cr 
f=50Hz
n
f
 25 tr/s    157 rad/s
p
Pélec 4500

 28, 7 N .m

157
B.3.2.3. Cm=Cr=28,7 N.m
55/57
Cr 
B.3.2.4. P'élect= 4500-1500=3000W
d  Cm  Cr

 19, 2 rad .s 2
dt
J
B.3.2.6. 50 Hz   157 rad / s
Pélec 3000

 19,1 N .m

157
B.3.2.5.
  160  157  3 rad .s 2
51 Hz
  160 rad / s
d
 19,2 rad .s  2
dt
t 
3
 0,156 s
19.2
B.3.2.7. 1500W=10x 150W Il faut 10 paliers.
Mise en fonctionnement en moins de 150ms. Donc la fréquence varie de moins de 1Hz.
Solution 34: Exercice 34:BTS Et 2013 Métro Eclairage centre culturel Picasso (Solution 34:)
A.1. Détermination du temps de montée d'une perche du point le plus bas au point le plus haut.
1 A.1.1. a 
v 0,1  0

 0, 05 m.s 2 donc a = 0,05 m.s-2
t
20
t
2 A.1.2. v(t )   a  dt  v(t )  a  t  v0
0
0
t
1
1
1

2
2
2
Et d   v  dt donc d (t )   a  t  dt   a  t  C   a  t  d 0 donc d (t )  a  t
2
2
0 2
0
0
1 A.1.3. d1  d (2)  1 0, 05  22  0,1 m lors de l’accélération la distance parcourue est de 0,1 m
2
1 A.1.4. d2 = d1 = 0,1 m la distance d2 parcourue pendant la phase de décélération est équivalente.
t
t
v(t )   a2  dt   v(t )  a2  t   vt2
0
t'
t'
0
0


d (t ')   v(t ')  dt   a2  t   vt2  dt 
d (t3 )  d (t2 ) 
1
a2  t 2  vt2  t   d (t 2 )
2
0
1
1  0  0,1  2
a2  t32  vt2  t3  
 2  0,1 2  0,1 m
2
2 20 
0,2
0.1
1 A.1.5. Les phases d’accélération et de décélération font parourir chacune 0,1 m donc la distance totale de 7,25 m sera parcourue
sur 7,05 m à vitesse constante
d  v  t  0,1  t2  t1  donc le temps de parcours à vitesse constante est de
d 7, 05
 70,5 s
 t2  t1   
v
0,1
A.1.6. . à vitesse constante
2
Donc le temps de parcours total est t3 = 70,5 +2+2 = 74,5 s soit 1 min 14,5s
4,24/8
A.2. Détermination des caractéristiques mécaniques du système de motorisation en régime établi
1.5
A.2.1. Puissance mécanique
A.2.1.1. Pméca  F  v  M
 g  v  300  9,81 0,1  294,3 W donc Pméca =294,3 W
M g
1 A.2.1.2. Pu 
Pméca
294,3

 347, 2 W donc Pu = 347,2 W
r t  p 0,94  0,98  0,92
A.2.2, Moment du couple utile
A.2.2.1 Le tambour de rayon R est animé d’une vitesse de rotation r
56/57
1
1
m

 r 
m
donc.
2
 v  k 
2

r  k  
2v
2  0,1

 126 rad/s .
donc  
m  k 0,1 1
63
En régime établi   126 rad/s
v  R  r 
1.5 A.2.2.2. Cu 
1,76/6
Pu 347, 2

 2, 75 Nm , le couple utile est donc Cu =2,75 Nm

126
A.3. Détermination du moment du couple moteur en phase d'accélération
A.3.1. Moment d'inertie
A.3.1.1. Le moment d'inertie Jc de la charge est donné par :
300
 
 0,1 
Jc 
 m   k2 


r t  p  2 
0,94  0,98  0,92  2 
m
1.5
2
2
 1 
    2, 23 104
 63 
J c  2, 23 104 kg×m 2 .
A.3.1.2 J t  J c  J m  J r  2, 23 10
1.5
2
4
 19 104  7 105
J t  21,9 104  22 104 kg  m²
A.3.2. Couple moteur
1
Lors de l’accélération, on atteint 126 rad/s en 2s donc
 126

 63 rad  s 2
t
2
En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique
1
1
Jt
d
 Cu  Cr
dt
 Cu  22 104  63  2, 75  2,88 Nm
Un couple utile Cu=2,88 Nm est nécessaire pour résoudre les phases d’accélération..
3,1/6
57/57