Fiche Exercices Nº : 32008 MATHEMATIQUES Série S Fiche 8 : Droites et plans dans l’espace I - Déterminer et construire le barycentre de trois points. Méthode Elle consiste à remplacer deux des points par leur barycentre et à tracer la droite qui passe par le barycentre partiel et par le troisième point. Si les coefficients le permettent, on effectue un second regroupement : le barycentre cherché est le point d’intersection des deux droites. Exercice 1 a) Déterminer et construire G = bar {(A,1), (B, 4 ), (C, −2 )}. b) Déterminer et construire G ' = bar {(A,1), (B,1), (C, −1)}. II - Montrer que des droites sont concourantes, que trois points sont alignés en utilisant des barycentres Méthodes Elles reposent sur le fait que deux points pondérés et leur barycentre sont alignés. L’outil fondamental est l’associativité des barycentres qui permet soit de regrouper des points pondérés, soit d’en « dégrouper ». En particulier on peut, dans un système de points pondérés, remplacer le point pondéré (X, x ) par les points pondérés (X, x1 ) et (X, x 2 ), avec x1 + x 2 = x. Exercice 2 1 On considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, milieu de [AB], J, tel que BJ = BC, K, milieu de [CD] et L tel que 4 1 AL = AD. On désigne par G le barycentre du système {(A, 3 ), (B, 3 ), (C,1), (D,1)}. 4 a) Déterminer le barycentre du système {(A, 3 ), (D,1)} et celui du système {(B, 3 ), (C,1)}. b) En associant les points A, B, C et D de façons différentes montrer que G est le point d’intersection des droites (IK) et (JL). Exercice 3 Les points O, A, B et C sont tels que OC = 6OB − 9OA. On désigne par G1 le barycentre de {(C,1), (B, −3)}. Montrer que O, G1 et G2 sont alignés. {(B,1), (A, −3)} et par G 2 celui de III - Passer de la caractérisation d’une droite par un système de deux équations à une représentation paramétrique Méthode On est en présence d’un système de deux équations à trois inconnues. Il suffit de choisir une des inconnues pour paramètre et de résoudre le système de deux équations à deux inconnues qu’on obtient ainsi. Les trois inconnues sont dès lors exprimées en fonction du paramètre. Exercice 4 2x − 3y + 5z + 2 = 0 (E1 ) . 3x − y + 2z − 4 = 0 (E 2 ) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) définie par le système d’équations © Tous droits réservés Studyrama 2008 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 1 Fiche Exercices Nº : 32008 MATHEMATIQUES Série S IV - Passer d’une représentation paramétrique d’une droite à sa caractérisation par un système de deux équations Méthode Fabriquer deux combinaisons linéaires des trois équations de la représentation paramétrique éliminant le paramètre. Il est possible qu’on ne découvre pas d’emblée des combinaisons linéaires convenables ; dans ce cas on écrit une combinaison linéaire à coefficients a, b et c inconnus, on l’organise sous la forme αt + β, où α et β dépendent de a, b et c. Il suffit alors de choisir des valeurs de a, b et c telles que α = 0. Exercice 5 x = 3 − 2t Déterminer un système d’équations caractérisant la droite (D) de représentation paramétrique y = −2 + 4t . z = 1 + 5t V - Intersection d’une droite et d’un plan Méthode Après s’être assuré qu’ils sont sécants, on caractérise la droite par une représentation paramétrique et le plan par une équation. Le remplacement de x, y et z dans l’équation du plan par leurs expressions en fonction du paramètre permet de calculer ce dernier. Exercice 6 Etudier la position relative de la droite (D) et du plan (P) dans les cas suivants : x = 3 − t a) y = −2 + 4t et 2x + y − 2z + 1 = 0 z = 1 + t x = 3 − t b) y = −2 + 4t et 2x + y − 2z − 2 = 0 ; z = 1 + t x = 3 − 2t c) y = −2 + 4t et 2x + y − 2z + 1 = 0. z = 1 + t VI - Déterminer une équation d’un plan défini par un repère Méthode On détermine un vecteur normal au plan ( Méthode : « Déterminer les coordonnées d’un vecteur orthogonal à deux vecteurs », fiche exercices n°7 « Produit scalaire dans l’espace ».) pour se ramener au cas d’un plan défini par un point et un vecteur normal. VII - Montrer que deux droites sont coplanaires ou non Méthode ( ) ( ) On considère les droites (D) et (D’) de repères respectifs A, u et A ', u ' . • Lorsque les vecteurs u et u ' sont colinéaires les droites (D) et (D’) sont parallèles (donc coplanaires). • Lorsque les vecteurs u et u ' sont non colinéaires les droites (D) et (D’) sont coplanaires si et seulement si le point A’ appartient au plan de repère A, u, u ' , c’est-à-dire si et seulement si le vecteur AA ' est orthogonal à un vecteur normal au plan. ( ) © Tous droits réservés Studyrama 2008 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 2 Fiche Exercices Nº : 32008 MATHEMATIQUES Série S Exercice 7 On considère les points A (1, 0,1) et A ' (−1,1, 0 ), les vecteurs u (1, −2, 3 ) et u ' (2,1,1). Les droites (D) et (D’) de repères respectifs A, u et A ', u ' sont elles coplanaires ? ( ) ( ) VIII - Intersection de deux plans caractérisés par une équation Méthode On s’assure que les plans sont sécants (leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires). Le système formé par leurs deux équations caractérise alors leur droite d’intersection. Méthode : « Passer de la caractérisation d’une droite par un système de deux équations à une représentation paramétrique », fiche exercices n°8 « Droites et plans dans l’espace ». IX - Résoudre un système de trois équations linéaires Méthode Chaque équation caractérise un plan. Lorsque deux des trois plans sont sécants, on détermine une représentation paramétrique de leur droite d’intersection. Ensuite on étudie la position relative de cette droite et du troisième plan. Lorsque les trois plans sont parallèles leur intersection est vide si deux d’entre eux sont disjoints, sinon les trois plans sont confondus. Exercice 8 Résoudre les systèmes suivants dans : 3 x + 2y − z = 1 a) −2x + 4y + z = 2 3x − y + 2z = 4 x − y+z =1 b) 2x + 3y − 2z = 2 3x + 2y − z = 3 x − y+z =1 c) 2x + 3y − 2z = 2 3x + 2y − z = 2 X - Déterminer la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires Méthode ( ) ( ) On considère un point H d’abscisse t dans le repère A, u de la droite (D) et un point H’ d’abscisse t’ dans le repère A ', u ' de la droite (D’). On détermine les réels t et t’ de façon que le vecteur HH ' soit orthogonal à u et à u ', en résolvant le système « 2 x 2 » obtenu en écrivant que les produits scalaires HH ' ⋅ u et HH ' ⋅ u ' sont nuls. Exercice 9 On considère les points A (1, 0,1) et A ' (−1,1', 0 ), les vecteurs u (1, −2, 3 ) et u ' (2,1,1). Déterminer la perpendiculaire commune aux droites (D) et (D’) de repères respectifs A, u et A ', u ' . ( ) ( © Tous droits réservés Studyrama 2008 ) Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 3