0 – Rappels de première sur les droites et systèmes
publicité
C. Jourdain
Chap. 4 – Mathématiques Terminales S.T.G.
Optimisation
0 – Rappels de première sur les droites et systèmes
1)
►
Variation et coefficient directeur
Toute droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées), a une équation de la forme : x = constante
Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : y = a x + b.
Parmi elles, celles qui passent par l’origine ont une équation de la forme : y = a x
Parmi elles, celles qui sont horizontales ont une équation de la forme : y = b
►
Soit (D) une droite du plan, non parallèle à l’axe des ordonnées, on appelle y = ax + b l’équation réduite de (D), où a est
appelé le coefficient directeur ou la pente de (D) et b l’ordonnée à l’origine.
►
Si a > 0, (D) « monte », et si a < 0, (D) « descend ».
►
Deux droites parallèles on même coefficient directeur.
2)
Méthodes de calculs
1ère méthode : numérique : on connaît deux points A (xA ;yA ) et B (xB ;yB ) de (D).
On calcule : a = Error! = Error!. Puis b en remplaçant dans l’équation : b = yA – a xA.
2ème méthode : graphique : Le graphe de D est donné.
► a est le quotient de l’accroissement y de l’image (vertical) par l’accroissement x de la variable (horizontal).
► La valeur de b sur le graphique est donc l’ordonnée du point d’abscisse 0 (point d’intersection de D avec l’axe des
ordonnées). Si la lecture graphique simple n’est pas possible, utiliser la 1 ère méthode.
3)
Exemple :
Résolution d’un système de façon graphique
Déterminer les solutions éventuelles des systèmes suivants :
{ 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 6, { 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 18 et { 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
4)
Résolution d’un système par le calcul
C. Jourdain
Chap. 4 – Mathématiques Terminales S.T.G.
Exemple :
Résoudre le système : { 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1
On le résous par l’une des deux méthodes suivantes :
Par substitution :
Par combinaison :
Isolons y dans (1) : y = 2 x 2. Reportons cette
On multiplie (1) par 4 et (2) par 1. on a donc :
expression dans (2) : 5 x + 4 ( 2 x 2) = 1, soit : 3 x
{ 8 x 4 y = 8 ;5 x + 4 y = 1. En additionnant on
8 = 1. Résolvons l’équation : x = 3 et par suite : y = 4.
obtient : 3 x = 9, soit x = 3, puis y = 4.
Conclusion : le système admet une unique solution : ( 3 ;4).
Faire les exercices : n°1 p 70, n°8 p 71 – n°13 p 71, n°17 p 72, n°23 p 72 – n°29 p 73
I – Régionnement du plan avec une droite
Activité : On s’arrête à la frontière !
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,
Error!,Error!).
D est l’ensemble des points du plan de coordonnées (x ; y) telles que 3x + 2y = 4.
1. a) En exprimant y en fonction de x, constater que l’ensemble D est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées,
d’équation réduite y = 1,5 x + 2.
b) Représenter graphiquement cette droite dans le repère ci-dessous.
2. On désigne par B l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) telles que 3x + 2y 4.
a) Tracer sur le graphique précédent l’ensemble des points de B, d’abscisse x = 0.
b) Reprendre la question précédente successivement pour x = 4, x = 2, x = 1 et x = 2.
c) Indiquer avec une couleur sur le graphique l’ensemble B.
3. Indiquer avec une autre couleur l’ensemble H des points de coordonnées (x ; y) telles que 3x + 2y 4.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
le plan est rapporté à un repère (O,
Error!,Error!).
C. Jourdain
Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.
a, b et c sont des nombres réels tels que l’un au moins des nombres a ou b n’est pas nul.
1)
Droite d’équation ax + by = c
► L’ensemble D des points de coordonnées (x ; y) telles que ax + by = c est une droite ; ax + by = c est UNE équation de D.
On l’appelle équation cartésienne, pour la distinguer de la forme y = mx + p, qui est l’équation réduite de la droite.
Si b 0, l’équation s’écrit alors : y = –
Error! x + Error! .
Si b = 0, alors nécessairement, a 0, et l’équation s’écrit alors : x =
2)
Error! (droite parallèle à l’axe des ordonnées)
Demi-plans et frontière
► Une droite (D) partage le plan en deux demi plans de frontière (D)
► L’expression a x + b y = c permet de partager le plan en trois régions :
a x + b y = c pour tout point M(x ; y) de la droite (D)
a x + b y > c pour tout point M(x ; y) de l’un de ces demi-plans
a x + b y < c pour tout point M(x ; y) de l’autre demi-plan.
Applications :
a) 2x + y < 1
Résoudre graphiquement chacune des inéquations suivantes :
b) x > 4
c) y 1
a)……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………… b)..….………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
c)……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Faire les exercices : n°31, 32, 34 p 72 – n°38 à 41 p 73 – n°50 p 73 – n°56 p 74, 75
3
C. Jourdain
Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.
II – Régionnement du plan avec plusieurs droites
Activité : On s’arrête aux frontières !
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,
Error!,Error!) (unité 1 cm)
1. a) Tracer la droite D1 d’équation 2x + y = 2, puis faire apparaître sur le graphique le demi-plan caractérisé par l’inéquation
2x + y 2 (hachurer l’autre demi-plan).
b) Sur le graphique précédent, tracer la droite D2 d’équation x + y = 0, puis faire apparaître sur le graphique le demi-plan
caractérisé par l’inéquation x + y 0 (hachurer l’autre demi-plan).
c) Sur le graphique précédent, tracer la droite D3 d’équation x = 1, puis faire apparaître sur le graphique le demi-plan
caractérisé par l’inéquation x 1 (hachurer l’autre demi-plan).
d) Observer la forme de la région non hachurée obtenue.
2. En réalisant rapidement les tracés, reprendre trois fois successivement la question 1. en remplaçant :
a) l’inéquation 2x + y 2 par 2x + y 2, sans changer les deux autres ;
b) les deux inéquations 2x + y 2 et x + y 0 respectivement par 2x + y 2 et x + y 0, sans changer la troisième.
c) les trois inéquations 2x + y 2, x + y 0 et x 1 respectivement par 2x + y 2, x + y 0 et x 1.
.……………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
le plan est rapporté à un repère (O,
Error!,Error!).
4
►
C. Jourdain
Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.
L’intersection de plusieurs demi-plans, caractérisés respectivement par des inéquations linéaires I1, I2, …, est une région
polygonale convexe du plan (qui peut être l’ensemble vide), constituée de l’ensemble des points de coordonnées solutions du
système d’inéquations linéaires { I1 ; I2 ; …. On dit que cette région est caractérisée par le système d’inéquations précédent.
► « Polygonale » signifie que la frontière est constituée de droites, demi-droites ou segments de droites.
► « Convexe » signifie que quels que soient deux points de la région, le segment de droite qui les joints est totalement inclus
dans la région.
exemple:
Déterminer le système d’inéquations qui caractérise la partie du plan
non hachurée.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Applications :
1] Résoudre graphiquement le système d’inéquations :
{ x 3 ;x + 4y 2 ; x – y 1
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
2] Déterminer un système d’inéquations caractérisant
l’intérieur du triangle ABC, côtés compris.
Faire les exercices : n°58, 61 p75 – n°64 p 75 – n° 71 p 76 – n° 76 p 77 – Q.C.M. : n°77 p77
5
C. Jourdain
Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.
III – Programmation linéaire
Activité : Maxi, mini !
La région polygonale R représentée ci-contre (intérieur, côtés compris, du
quadrilatère ABCD) est caractérisée par le système d’inéquation linéaires :
0
5 x + y 6 ;0
5 x + y 3 ; 2x + y 12 ; 2x + y 6
On veut déterminer le (ou les) point(s) M(x ; y) de R pour lequel le nombre
2x + 3y est le plus grand possible.
Pour tout nombre réel k, on considère la droite D k d’équation 2x + 3y = k.
1. Identifier les noms des droites pour chaque inéquation.
2. a) Ecrire l’équation réduite de la droite D15 d’équation 2x + 3y = 15 ;
en déduire son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine. Tracer D 15.
b) Donner les coordonnées d’un point de R appartenant à D15.
3. a) Reprendre la question 2. pour les droites D 12 et D18.
b) Expliquer pourquoi les trois droites précédentes sont parallèles.
c) Parmi les trois droites, laquelle a l’ordonnée à l’origine la plus grande ?
4. a) Ecrire l’équation réduite de la droite Dk. En déduire que :
– toutes les droites Dk sont parallèles
– parmi toutes les droites Dk passant par au moins un point de R, celle pour laquelle k est le plus grand est celle qui a
l’ordonnée à l’origine la plus grande.
b) Déterminer la droite Dk passant par au moins un point de R, pour laquelle k est le plus grand possible. En déduire le point
M(x ; y) de R pour lequel 2x + 3y est le plus grand.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
6
C. Jourdain
Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Applications :
Un fabriquant de cosmétiques produit deux shampoings A et B, à base de fleurs d’oranger et de camomille.
La fabrication de 1L du shampoing A (resp. B) nécessite 3dL (resp. 2dL) d’extrait de fleurs d’oranger et 2dL (resp. 3dL)
d’extrait de camomille.
Le fabriquant dispose chaque jour de 110dL d’extrait de fleurs d’oranger et de 90dL d’extrait de camomille. Le profit qu’il tire
de la vente de ces shampoings A ou B est de 2 € par litre.
On désigne par x la quantité de shampoing A et par y celle de shampoing B, en litres, produites chaque jour.
1. a) Ecrire un système d’inéquations linéaires exprimant les contraintes de fabrication de chaque jour.
b) Représenter graphiquement la région du plan caractérisée par ce système.
2. a) Exprimer en fonction de x et de y le profit tiré chaque jour, exprimé en centaines d’euros, de la vente de x litres de
shampoing A et de y litres de shampoing B.
b) En supposant que la production quotidienne est entièrement vendue, combien de litres de shampoing de chaque sorte faut-il
fabriquer pour obtenir un profit maximal ? Quel est le montant de ce profit ?
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
7
C. Jourdain
Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Faire les exercices : n° 85 p79 – n°95 p 87 – n°102, 104 p90
8
