02-Eq-Diff-Ord-2-Line-No

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File : Eq-Diff-Ord-2-LineNo-Homogene
Equations linéaires non homogènes du 2ème ordre à coefficients constants
Myckus p 222
L’équation différentielle linéaire du 2ème ordre, à coefficients constants
« { 1/ (0)2 } .
d
d2
(so (t) . H (t)) + 2 . (/ 0) . (so (t) . H (t)) + so (t) . H (t) =
2
dt
dt
= G0 . si (t) . H (t) » dans laquelle le 2ème membre n’est pas identiquement nul, est une
équation linéaire NON homogène ;
Cette équation différentielle correspond à des oscillations forcées ;
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HERE
Myckus p 222
Les raisonnements du § 2 concernant la relation entre les solutions d'une équation non
homogène et celles de l'équation homogène associée restent valables dans le cas
considéré ;
Donnc, la solution générale de l'équation
« { 1/ (0)2 } .
d
d2
(so (t) . H (t)) + 2 . (/ 0) . (so (t) . H (t)) + so (t) . H (t) =
2
dt
dt
= G0 . si (t) . H (t) », est :
so (t) . H (t) = Y ~ Y (X) + ClYl (-) + C2Y2 (X)
où :
 Y (x) est une solution particulière
de ({ 1/ (0)2 } .
d
d2
(so (t) . H (t)) + 2 . (/ 0) . (so (t) . H (t)) + so (t) . H (t) =
2
dt
dt
= G0 . si (t) . H (t) » ;
 et Cly, (x) + C'Y, (X) la solution générale de l'équation homogène correspondante
d
d2
« { 1/ (0) } . 2 (so (t) . H (t)) + 2 . (/ 0) . (so (t) . H (t)) + so (t) . H (t) = 0 » ;
dt
dt
2
Myckus p 229
La fonction de GREEN <-> réponse impulsionnelle peut être également appliquée à
l’équation générale
« { 1/ (0)2 } .
d
d2
(so (t) . H (t)) + 2 . (/ 0) . (so (t) . H (t)) + so (t) . H (t) =
2
dt
dt
= G0 . si (t) . H (t) » décrivant par exemple le mouvement d’un corps ::
 sous l’action d'une force extérieure ne dépendant que du temps « t » ;
 et en présence d'un frottement proportionnel à la vitesse.
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pour des conditions initiales z ~,j,». ~kjjIu~5 avoiL pube i __ iü, uil a 9 ~q
0 quand t(, < t < T, et, en intégrant (44) de t = r - 0 à t = r + 0, on retrouve les mêmes
conditions (35) et (36), car les intégrales des deuxième et troisième termes finis de (44)
sont nulles. Ainsi, il s'agit de trouver pour t > T une solution de l'équation homogène (21)
vérifiant les conditions initiales (35) et (36). En partant de la solution générale de
l'équation (21) ~
S_
la
y = C,erlil + C2eP2t,
où p, et p, sont racines de l'équation caractéristique (24), et en reprenant les
raisonnements de la fin du § 3, nous obtenons l'équation cherchée
- - eP 114- --~T~
eP2t =
[eP'(t-T)-eP?(t-'r)l ;
y;~ (Pl - P2) ' ' M P2-PI) M (Pl - P2)
0
(to < t < T),
nt
G(t; T)= - 1
[epffl- T) - ep2(t-T)] (r < t< 00)
1 M (Pl - P2)
(De même que dans les conditions du § 4, cette fonction est continue
bien que présentant un point anguleux ' 'pour t ~ r.) D'où l'on obtient,
par analogie avec (38), la ~olution de l'équation (20) répondant aux
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Myckus p 230
conditions initiales nulles (33)
y (t) =
1
[ePffl-1~ - eP2(t- '01 f (~r)
d-r.
(45)
De même qu'au § 1 (numéro IV), dans le cas d'une sollicitation extérieure élémentaire,
il est possible d'obtenir la solution de (20) sans faire appel à la fonction de Green. Il en
sera ainsi pour = const, c'est-à-dire lorsqu'on doit résoudre l'équation
m d2Y -L h 2-y- + ky = A (= const).
(46)
On trouve facilement une solution particulière de la forme y = B
const. Portant dans (46), on obtient
0+0+kB=A, c'est-à-dire que B=
A
Compte tenu de la remarque faite au commencement du § 4, on obtient la solution
générale de l'équation (46)
y= k +C,eP't+C2eP2t,
(47)
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où Cl et C, sont des constantes arbitraires déterminées par les conditions
initiales. Nous avons vu (§ 3) que la solution de l'équation homogène (21) tend vers zéro
avec la croissance de t, car pl et p2 sont ou bien réelles négatives, ou bien imaginaires à
partie réelle négative. Ainsi, on tire de (47), pour t grands, A
Y= -~, (48)
Ce résultat est d'ailleurs très évident du point de vue physique. Lorsque la force extérieure
est constante et que le frottement existe, les oscillations s'amortissent, et, au bout d'une «
période transitoire » déterminée par les conditions initiales, le corps s'immobilise de
façon que la force élastique ky (changée de signe) soit égale à la force extérieure A, d'où
(48). Cette position stationnaire est déjà indépendante des conditions initiales.
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