Inégalités

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 4ème
Inégalités
cours
1. Comparaison de nombres relatifs :
Rappelons que
 «  » se lit « est strictement supérieur à »
 «  » se lit « est supérieur ou égal à ».
Propriété
Si a et b sont deux nombres relatifs tels que a  b  0 alors a  b
Si a  b , alors a  b  0
•
•
Il est possible de placer deux points A et B d’abscisses a et b sur une droite graduée :
0
1
B
A
b
a
ab
Comme le point A est placé après le point B en suivant le sens de la flèche, a  b
Il est facile de comparer 2 nombres de signes différents car le nombre positif est toujours supérieur
1 8
2  1015  5  109 .
au nombre négatif : 7  3
;
;
 
2 3
Dans le cas de deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Dans le cas de deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
Exercice :

Comparons 
2
15
et :
3
2
Ils sont de signes différents donc 

Comparons
15 2

2 3
2
1
et :
5
2
Ils sont de même signe, mais nous allons les mettre au même dénominateur :
Comme

2 4
1 5
et 
.

5 10
2 10
4
5
2 1
alors  .

10 10
5 2
5
7
Comparons  et  :
6
8
5
20
Ils sont de même signe, mais nous allons les mettre au même dénominateur :   
et
6
24
20
21
5
7
7
21
alors    .
   . Comme   
24
24
6
8
8
24
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2. Inégalités et opérations :
Propriété
a , b et c sont trois nombres relatifs.
a  c et b  c sont rangés dans le même ordre que a et b .
Exemple 1 :
c  1, 5
a  2, 5
b  3, 5
Comme 2, 5  3, 5 alors 2, 5  1, 5  3, 5  1, 5
Exemple 2 :
b  4
a  5
c  0,12
Comme 5  4 alors 5  0,12  4  0,12
Exemple 3 :
Exemple 4 :
2
5
1  2
1  2
1
1
Comme   alors          
2  5
3  5
2
3
a
1
2
b
1
3
c
Si un nombre x est tel que x  4 alors :
x  1  4  1 (ou x  1  5 )
x   1  4   1 (ou x  1  3 )
Propriété
a et b sont deux nombres relatifs, c est un nombre strictement positif.
a  c et b  c sont rangés dans le même ordre que a et b .
Exemple 1 :
c3
a  2, 5
b  0, 7
Comme 2, 5  0, 7 alors 2, 5  3  0, 7  3
Exemple 2 :
Si un nombre x est tel que x  5 alors x  2  5  2 (ou 2 x  10 )
3. Troncature et arrondi
a. Exemples :
La troncature au dixième de 365, 687 est 365, 6 87
La troncature au centième de 5, 458 96 est 5, 45 8 96
La troncature au millième de 12, 214 53 est 12, 214 53
L’arrondi au dixième de 254, 36 est 254, 4 car 36 est plus proche de 40 que de 30
L’arrondi au centième de 1, 249 est 1, 25 car 49 est plus proche de 50 que de 40
L’arrondi au millième de 7, 586 4 est 7, 586 car 64 est plus proche de 60 que de 70 .
L’arrondi au dixième de 1, 15 est 1, 2 par convention, puisque 15 est aussi proche de 10 que de 20 .
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Remarquons que la troncature d’un nombre est toujours inférieure ou égale à ce nombre, tandis que
l’arrondi peut être inférieur, égal ou supérieur au nombre.
b. Utiliser la troncature pour encadrer :
Donner un encadrement de
53
au millième près :
21

La machine affiche : 2.523809524

La troncature au millième de

On en déduit : 2, 523 
53
est donc 2, 523 .
21
53
 2, 524
21
c. Utiliser l’arrondi pour encadrer
Donner un encadrement d’un nombre x dont l’arrondi au dixième est 8, 7

L’écriture à deux chiffres après la virgule de x peut être 8, 65 ; 8, 66 ;… 8, 74 mais pas
atteindre 8, 75 .

On en déduit : 8, 65  x  8, 75
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