Calcul littéral

Equation du premier degré à une inconnue
1) Généralités
a) Définitions :
Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s).
Ceux-ci sont le plus souvent désignés par des lettres.
Exemple :
 x  5  14  2x est une équation d’inconnue x .
x5
premier membre
 14  2 x
second membre
Résoudre une équation d’inconnue x , c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre x (si elles
existent) qui vérifient l’égalité, c'est-à-dire telles que l’égalité soit vraie.
Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation.
Exemple :
On considère l’équation d’inconnue x :
2x  4  1 3x
Le nombre 2 est-il solution de l’équation ?
Calcul du 1er membre pour x  2 : 2  2  4  4  4  0
Calcul du 2nd membre pour x  2 : 1  3 2  1  6  7
L’égalité n’est pas vérifiée pour x  2 , donc 2 n’est pas solution de cette équation.
Vocabulaire : dire qu’une égalité ne change pas signifie que :
Si elle est vraie, elle reste vraie et si elle est fausse, elle reste fausse.
b) Propriétés : a, b et c désignent des nombres relatifs.
On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses
membres.
 Si a  b , alors a  c  b  c
 Si a  b , alors a  c  b  c
Exemple : 2  x  3
En ajoutant 2 à chaque membre de l’égalité, on obtient : 2  x  2  3  2 , c'est-à-dire : x  1
On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie (ou on divise) chacun de ses membres par un nombre non
nul.
 Si a  b , alors ac  bc
a b
 Si a  b , alors 
c c
Exemple : 5x  6
En divisant par -5 chaque membre de l’égalité, on obtient :
5 x 6
6

, c'est-à-dire : x  
5 5
5
2) Résoudre une équation à une inconnue
7 x  4  3x  8
Exemple : On considère l’équation d’inconnue x :
7 x  4  3x  3x  8  3x
4x  4  8
i.
On rassemble tous les termes en x dans un membre de l’équation
ii.
On rassemble tous les termes constants dans l’autre membre l’équation
iii.
On obtient la valeur de x
4x  4  4  8  4
4 x  12
4 x 12

4
4
x 3
La seule valeur possible de x dans cette dernière équation est 3
iv.
On vérifie que 3 est bien solution de l’équation initiale,
on test alors l’égalité pour x  3 .
7  3  4  21  4  17
3 3  8  9  8  17
v.
On conclut,
L’équation admet une solution : 3.
3) Résoudre un problème
Exemple : Deux amis, Pierre et Saïd collectionnent les timbres.
«J’en possède 40 de moins que toi.» dit Pierre.
«J’en ai trois fois plus que toi. » dit Saïd.
Combien de timbres possède Pierre ?

Etape 1 : Choix de l’inconnue.
Désignons par x le nombre de timbres que possède
Pierre.
x est un nombre entier positif.

Etape 2 : Mise en équation du problème.
Saïd possède alors 3x timbres ou bien x  40 timbres.
On a donc 3x  x  40

Etape 3 : Résolution de l’équation.
3 x  x  40
3 x  x  x  40  x
2 x  40
2 x 40

2
2
x  20

Etape 4 : Vérification du résultat.
20  40  60 et 3 20  60

Etape 5 : Interprétation et conclusion.
Le résultat est un nombre entier positif ; ce résultat est
cohérent.
Pierre possède 20 timbres.