Modèle mathématique.

Lois Continues
I] Loi uniforme sur [0 ; 1] :
Probabilité Intervalle :
 1 1
p 0;   
  2 2
 1 1
p 0;   
  4 4
p0,45;0,55  0,1
a  0;1 et b  0;1
Notion de Densité :
pa, b  b  a .
On cherche   IR .

b
b
a f (x)dx  a dx  b  a .
On
doit donc avoir b  a   b  a    1.
0
a
b
1
a  0;1 et b  0;1 avec a  b .
1
pa; b   1dx  b  a .
b
a
0
1
a
b
II] Loi de probabilité continue :
Les issues d’une expérience, où les valeurs prises par une variable aléatoire peuvent être
n’importe quel réel d’un intervalle donné comme :
- durée d’une communication
- temps d’attente
- durée de vie d’un composant électronique
Les événements intéressants sont ici des intervalles. On cherche à définir la probabilité d’un
intervalle.
Soit I un intervalle de IR .
On appelle densité de probabilité sur I toutes les fonctions f définies sur I et vérifiant :
- f est continue sur I
- f est positive sur I
- l’aire du domaine associée à f sur I vaut 1.
On définit alors la loi de probabilité associée à f sur I par :
a  I , b  I avec a  b .
pa; b   f ( x )dx .
b
a
Cette loi de probabilité est continue.
Exemple 1 : avec I borné.
I   1;1 , f est définie sur I par f (x)  1  x .
f est continue et positive sur I. Et l’aire du domaine associé à f sur I vaut 1.
Donc f est une densité de probabilité sur  1;1 .
23
0
23
  1 2
Calculons p  ;     f ( x )dx   1  x dx   1  x dx

1
3

1
3
0
  3 3
1  x dx  0 1  x dx
1 3

0
23
2 0
2
3


x
x
 x 
  x 

2  1 
2 


0
2
3
1
4
1 9 2 9 1 1 2 2 13
        
3 2 3 2 3 18 3 9 18
Exemple 2 : avec I non borné.
I  1,
X est la variable aléatoire prenant ses valeurs dans I. Dont la loi de probabilité admet sur cet
1
intervalle la densité g définie par g( x )  2 .
x
1) Justifier que cette loi existe (que g est bien une densité de probabilité).
2) Calculer pX  2 (deux méthodes).
1)
-
g est continue sur I
g est positive sur I
-
démontrons que lim
 1


 1

1
g( x )dx  

1
g( x )dx  1

1
 1 
dx   2     1
2

x
 x 1
1


 1
lim
g( x )dx  lim 1 

1
1
 1 car lim
0
  

Donc l’aire du domaine associé à g sur 1; vaut 1.
g est donc bien une densité de probabilité.
2) pX  2  p2;
1ère méthode :   2

pX  2  lim
 g(x)dx
 2

1 1
 1
2 g(x)dx   x  2     2

1
pX  2  lim  g( x )dx 
 2
2

2ème méthode :
pX  2  1  pX  2
 1  pX  2 car pX  2  0 car X suit une loi de probabilité continue.
2
 1   g ( x )dx
1

 1  

2
1
x 1
 1 
 1     1
 2 
1

2
III] Deux exemples de lois continues :
1) La loi uniforme :
On choisit au hasard un nombre x d’un intervalle a; b  IR avec a  b .
On modélise ce choix par la loi de probabilité dont la densité de probabilité f est définie sur
a; b par f ( x )  1 .
ba
Cette loi s’appelle la loi uniforme sur a; b . X suit la loi uniforme sur a; b .
  a; b ,   a; b avec    .
 1

p  X    p;   
dx 
 ba
ba
Exemple :
X suit la loi uniforme sur  1;4 . Déterminer pX  2 .
4
1
42 2
pX  2  
dx 
 .
2 4   1
5
5
2) La loi exponentielle :


On appelle loi exponentielle de paramètre    IR * la loi de probabilité continue dont la
densité est la fonction f définie sur IR  par f (x)  e x .
Démontrons que f est une densité de probabilité sur 0; .
-
f est continue sur IR  .
f est positive sur IR  .

 f (x)dx
 0
  0 lim

0


f ( x )dx   e x   e x
0

1 e
 f (x)dx  lim
 0

lim


0

 e   1
 1 car lim e  x  0 .
x 

Donc l’aire du domaine associé à f sur IR vaut 1.
f est donc une densité de probabilité sur IR  .


X est une variable aléatoire continue qui suit la loi exponentielle de paramètre    IR * .
k  IR

pX  k    e x dx  1  e k
k
0
pX  k   1  pX  k 
 1  pX  k  car pX  k   0 car X est une variable aléatoire continue.
pX  k   e k

pX  k 
pX  k 
0
k  IR * et k' IR * k  k'.
k

pk  X  k '   e x dx   e x
k'
k
pk  X  k'  e k  e k '

k'
k
pk  X  k'

0
k’
k
Exercice 1 :
On choisit un réel x dans 0;10 (loi uniforme). Quelle est la probabilité pour que x soit
solution de l’inéquation x 2  4x  3  0 .
x 2  4x  3  0  x  1 ou x  3
x 2  4x  3  0  x  1 ou x  3
On doit chercher p0;1  3;10  p0;1  p3;10 car les événements sont incompatibles.
 p0;1  p3;10 car p
1   p3  0 .
1  0 10  3


10
10
1
7


10 10
8 4


10 5
Exercice 2 :
On suppose que le tirage d’un réel t  IR  soit décrit par une variable aléatoire X suit la loi
exponentielle de paramètre 1.
Quelle est la probabilité que X prenne une valeur solution de l’inéquation x 2  4x  3  0 .
p0;1  3;  pX  1  X  3
 pX  1  pX  3 car les événements sont incompatibles.
 pX  1  pX  3 car pX  1  pX  3  0
1
k x
  e x dx  lim
e
k  3
0
dx
1
3
  e x dx  1   e x dx 
0
0


pX  1
1
0

pX  3
1
3
  
pX  1  pX  3  1  e 1  e 3  1  e 1  e 3  0,68


pX  1  X  3  1  p1  X  3  1   e  x dx  1  e 1  e 3  1  e 1  e 3
3
1
IV] Durée de vie sans vieillissement :
X suit une loi de probabilité de « durée de vie sans vieillissement ». On veut montrer que
pX  150 sachant que X  90  pX  150  90  pX  60 .
Puisque la durée de vie est sans vieillissement pX  150 sachant que
X  90  pX  150  90  pX  60 .
pX  150  pX  90
On en déduit que
 p 60
pX  90
pX  150
Et par conséquent
 pX  60  pX  150  pX  90  pX  60 .
pX  90
X suit une loi exponentielle de paramètre    0 .
Justifions que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
t 0  IR  et t1  IR 
pX  t  t   e  t 0  t1 
0
1
pX  t 0   e t 0
pX  t 1   e t1
Par ailleurs e t 0  t1   e t 0 t1  e t 0  e t1
Donc pX  t 0  t1   pX  t 0   pX  t1  .
Une loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.
X suit une loi de durée de vie sans vieillissement. Démontrons que X suit une loi
exponentielle.
R est définie sur IR  par R(x)  pX  x  .
1) R0  pX  0  1
lim R ( x )  lim pX  x   0 .
x 
x 
2) x  IR  R(x)  pX  x   1  pX  x 
 1  pX  x  car p(X  x )  0 loi continue.
x
Donc pour x  IR  R ( x )  1   f ( t )dt
0
x
 est définie sur IR  par ( x )   f ( t )dt .
0
 est la primitive de f sur IR  qui s’annule en 0.
 est dérivable sur IR  et ' ( x )  f ( x )
R est donc dérivable sur IR  et pour x  IR  R ' ( x )  f ( x ) .
Soit a  IR  et b  IR  .
R (a  b)  pX  a  b 
or pX  a  b  pX  a   pX  b car X suit une loi de durée de
R (a )  pX  a 
R (b)  pX  b 
vie sans vieillissement.
Donc Ra  b  R(a)  R(b) .
On cherche les fonctions g dérivables sur IR telles que pour tout x  IR , pour tout y  IR .
g ( x  y)  g ( x )  g ( y) .
Soit  définie sur IR . Pour t  IR
( t )  g ( t  a )  g ( t )  g (a )
' ( t )  1  g ' ( t  a )  g ' ( t )  g (a ) 
or pour tout t  IR ( t )  0 et donc ' (0)  0
' (0)  g ' (a )  g' (0)  g(a )  0
donc
g ' (a )  g' (0)  g(a )
Et pour a  IR g(a )  ke a avec   g ' (0) et pour x  IR g(x)  ke x avec   g ' (0) .
Par conséquent pour x  IR  R (x)  ke x .
Or R (0)  1 donc k  1 .
Et pour x  IR  R (x)  e x .
3) Or lim R ( x)  0 donc   0 .
x 
4)    donc pour x  IR  R (x)  e x .
Donc R' (x)  e x et f (x)  R' (x)  e x .
Et en conclusion une loi de durée de vie sans vieillissement est une loi exponentielle.