Forces de Van der Waals

Effets micro-physiques pour la
micro-manipulation
"
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1/73
Echelle"
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2/73
Réduction d échelle"
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3/73
Impact sur la micro-manipulation"
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4/73
Objectifs"
Ø  Modélisation de l échelle microscopique
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5/73
Problématique"
Interface Préhenseur-Objet
Forces à distance
ü  Forces de Van der Waals
ü  Forces électrostatiques
ü  Forces capillaires
Interface Substrat-Objet
Actions de Contact :
•  Actions des déformations (effort de pull-off)
•  Friction
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6/73
Mécanique du contact"
La théorie de Hertz sans les mains /I"
"
"
"
"
"
"
•Massif semi-infini élastique isotrope Module d Young E "
•Indenteursphérique rigide Rayon de courbure R"
"
Equations d équilibre sous une charge, P, un
enfoncement, δ, et un rayon de contact, a"
"
Raisonnement énergétique"
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7/73
Mécanique du contact"
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Le contact de Hertz"
Hypothèses :
•Massifs homogènes isotropes et semi-infinis (module
E, coefficient de Poisson ν)
•Contact non adhésif purement élastique
•Frottement nul (pas de cisaillement à l interface)
•Surfaces décrites localement par leurs rayons de
courbure respectifs
•a << R (petites déformations et contact non conforme)
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Le contact de Hertz (2)"
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21/73
Energie d interface"
Ø  Travail d adhésion et de cohésion
Energie nécessaire pour séparer deux surfaces unitaires du contact jusqu à l infini
Deux milieux différents
Deux milieux identiques
W12 : travail d adhésion
W11 : travail de cohésion
Ø  Energie de surface
Energie nécessaire pour augmenter la surface libre du milieu d une surface unité
γ 1= 1W11
2
Pour des solides, elle est notée
de surface mJm-2
γs
et elle considérée comme une énergie par unité
Pour des liquides, elle est notée
de longueur mNm-1
γl
et elle considérée comme une tension par unité
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Energie d interface"
Energie interfaciale : lorsque deux milieux sont en contact,
l énergie à leur interface par surface unitaire est notée énergie interfaciale
γ12=γ1+γ 2−W12
Equation de Dupré
γ12=γ1+γ 2−W12=γ1+γ 2−2 γ1γ 2
Travail d adhésion dans un troisième milieu
Energie nécessaire pour séparer deux corps 1 et 2 immergés dans un milieu 3
W132=W12+W33−W13−W23=γ13+γ 23−γ12
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23/73
Tableau des valeurs"
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Matériau
Energie
de surface 20°C
(mJ.m-2)
Matériau
Energie
de surface 20°C
(mJ.m-2)
Téflon
18
Plexiglas
40.6
Polystyrène
33-43
Verre
170
Aluminium
1100
Silicium
1400
Argent
1500
Cuivre
2000
24/73
Déformations"
3 paramètres "
δ  déformation"
a aire de contact"
Force de Pull-off"
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Modèles de contact"
Modèles
Hypothèses
Cas applicables
Hertz
Contact élastique
sans adhésion
Pas utilisable
JKR
λ>1
Déformation due à
l adhésion
Forte énergie
d adhésion et
matériau souple
DMT
λ < 0.1
Déformation
Hertzienne du contact
+ adhésion
Faible énergie
d adhésion et
matériau rigide
Dugdale
Force d adhésion est
une force attractive
en dehors de la zone
de contact
Transition entre les
modèles DMT et JKR
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Simulation numérique"
Force (N)
Rayon de
l objet (m)
Bille en silicium sur un substrat en polystyrène"
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Force de friction et adhésion"
Lois d Amonton (1699)
• Le rapport entre la force de frottement et effort normal est constant
• La force de frottement est indépendante de l aire de contact
Coulomb (1785)
• Le coefficient de frottement est indépendant de la vitesse
Force de Coulomb : Ff=µR
§  µ est le coefficient de friction, R la force normale et Ff la force maximale
exercée par friction
Friction statique : deux objets ne bougent pas l un par rapport à l autre. On
note µs le coefficient de friction statique.
Roulement appartient à cette catégorie
Cas le plus classique
Friction dynamique : deux objets bougent l un par rapport à l autre. On note
µd le coefficient de friction statique et il est plus petit que le coefficient
statique.
Comment l adhésion modifie ces modèles et les modèles rafinés?
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29/73
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30/73
Modèle de Bowden et Tabor"
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31/73
Force d adhésion de friction"
Cisaillement des jonctions adhésives entre micro(nano) aspérités.
Contrainte de scission interfaciale
avec τ contrainte de cisaillement A aire réelle de contact
Contact rugueux, plastique
Quelle échelle ? Quelle transition ? Contact monoaspérité
Modulation de force latérale par AFM
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Force d adhésion de friction"
Echelle microscopique
Modèle d Ando
Force de pull-off est une force extérieure pour la
théorie de Coulomb
Beaucoup de paramètres
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Forces à distances"
Forces à distance
ü  Forces de Van der Waals
ü  Forces électrostatiques
ü  Forces capillaires
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Particularités de l échelle microscopique
A l échelle microscopique, les forces de surfaces
sont prépondérantes vis-à-vis des forces de volumes.
Par exemple, une sphère de diamètre 40 micromètres en
polystyrène posée sur un substrat en Silicium a une force de Van
der Waals évaluée a 4,5.10−15 N alors que le poids de la sphère
est de 2,6.10−19 N, soit un rapport de 1,7.104 en faveur de Van
der Waals.
Polystyrène
Poids
Silicium
Force de Van der Waals
Silicium/Sphère
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Particularités de l échelle microscopique
A cette échelle, trois forces sont majoritaires:
1)  Les forces de Van der Waals, qui sont toujours
présentes, quelques soit les conditions
expérimentales.
Polystyrène
Silicium
Force de Van der Waals
Silicium/Sphère
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36/73
Particularités de l échelle microscopique
A cette échelle, trois forces sont majoritaires:
1)  Les forces de Van der Waals, qui sont toujours
présentes, quelques soit les conditions
expérimentales.
2)  Les forces de capillarité qui existe dés lors qu il
y a de l humidité
Polystyrène
Ménisque
d'eau
Silicium
Force de capilarités
Silicium/Sphère
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37/73
Particularités de l échelle microscopique
A cette échelle, trois forces sont majoritaires:
1) 
Les forces de Van der Waals, qui sont toujours
présentes, quelques soit les conditions expérimentales.
2)  Les forces de capillarité qui existe dés lors qu il y a
de l humidité
3)  Les forces électrostatiques liées au phénomène de
triboélectrification (échange de charges)
+
+Polystyrène
+ +
+
+
+ +
+
+
Silicium
-­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐
Force éléctrostatiques
variable au cours du temps
car les charges ont tendance
a s'équilibrer
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38/73
Cas des forces de Van der Waals
La force de Van der Waals est à l origine de la fluctuation
du champ électromagnétique lors d interactions entre
plusieurs particules. Il s agit d une force attractive qui
est toujours présente.
Dans un premier temps, elle fût expliquée par le modèle de
London-Debye-Keesom, cette force est en fait la somme
de trois forces interparticulaire, qui s expliquent par trois
types d interactions dipolaires :
09/09/11
39/73
Cas des forces de Van der Waals "
1) Interaction de Keesom (dipôle/dipôle)
Tout système physique a tendance à minimiser son
énergie libre et donc tend à aligner deux dipôles en
interaction. Cependant, l agitation thermique empêche
cet alignement et l énergie moyenne d interaction
requière l utilisation de la statistique de Boltzmann.
Attraction
09/09/11
40/73
Cas des forces de Van der Waals "
2) Interaction de Debye (dipôle-induit/dipôle)
Le dipôle en rotation perturbe le champ
électromagnétique et polarise la particule voisine même si
elle est a symétrie sphérique car le nuage d électronique
de celle-ci se trouve déformé, c est un dipôle « induit ».
Attraction
09/09/11
41/73
Cas des forces de Van der Waals "
3) Interaction de London (dipôle-instantané/dipôle-induit)
Toute molécule, même sphérique, possède un moment dipôlaire
instantané, car le nuage électronique de la molécule n est pas
homogène dans un temps infinitésimal. Cela aura pour effet de
créer un champ électromagnétique qui créera un moment induit
sur ses voisins y compris s ils sont a symétrie sphérique.
Cette force est particulièrement importante puisque qu elle
existe toujours quelque soit la polarité des matériaux en
interactions
Attraction
09/09/11
42/73
Cas des forces de Van der Waals "
Le champ magnétique et le champ électrique étant tout
deux conservatifs, en dérivant la somme des
potentiels, on trouve alors la force qui en résulte :
La force de Van der Waals.
−C
Les potentiels sont tous «en r 6 », la force de Van
der Waals est donc en − C
.
7
r
L expression de cette force par le modèle de LondonDebye-Keesom donne de remarquables résultats pour
les gaz, mais connaît de grave défauts pour ce qui est
de la matière condensée.
09/09/11
43/73
Cas des forces de Van der Waals "
Il existe heureusement une théorie beaucoup plus exacte pour
calculer les énergies d interaction.
Avec le développement de la physique quantique, l étude
précise des ondes électromagnétiques fût possible.
S inspirant de l effet « Casimir » qui relie la pression
électrostatique aux énergies de surfaces entre deux
matériaux, Lifshitz le généralisa pour trois diélectriques.
Effet Casimir entre deux diélectriques
09/09/11
44/73
La constante de Hamaker
Bien que les interactions pour un systèmes de particules
soient non-additives, Hamaker eu l idée de considérer
qu elles l étaient afin de les intégrer, « paire par paire »
et d obtenir une approximation de l interaction totale
entre des objets de géométries diverses.
09/09/11
45/73
La constante de Hamaker
Bien que les interactions pour un systèmes de particules soient
non-additives, Hamaker eu l idée de considérer qu elles
l étaient afin de les intégrer, « paire par paire » et d obtenir
une approximation de l interaction totale entre des objets de
géométries diverses.
Par exemple l interaction molécule/surface se calcule en
intégrant comme ci-dessus.
09/09/11
46/73
La constante de Hamaker
Par d autres méthodes d intégrations, un ensemble de formules
à été calculé, permettant pour des géométries simples de
connaître approximativement la valeur de leurs interactions.
Dans certaines de ces formules, en isolant les paramètres
propres aux matériaux, Hamaker se rendit compte qu il pouvait
les factoriser. Ce terme commun (mais dependant des matériaux
en interaction), s appelle la constante de Hamaker, noté A.
09/09/11
47/73
Forces de Van der Waals"
Interaction entre particules
w(r )
Interaction de VdW = potentiel d induction (Debye)
+ potentiel d orientation (Keesom)
+ potentiel de dispersion (London)
⇒
wVdW (r ) = −
[Cind + Corient + Cdisp ]
r6
C
=− 6
r
Ø  Intégration analytique : formulation simplifiée
Ø  Intégration numérique : méthode volumique ou surfacique
09/09/11
48/73
Forces de Van der Waals inter surfaciques
"
W =−
A R1 R2
W =−
6 D ( R1 + R2 )
L
A
W =−
12πD 2
W =−
AL
12 2 D
3
2
⎛ R1 R2 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ ( R1 + R2 ) ⎠
3
AR
6D
F = ∂W
∂D
2
A constante de Hamaker
09/09/11
49/73
Constante de Hamaker"
Théorie de Hamaker (1937)
A12 = π 2Cρ1 ρ 2
Interaction d un objet 1 avec un objet 2 dans un média 3
·  Relations de combinaisons (Maclachlan 1963)
A132 ≈ ( A11 − A33 )( A22 − A33 )
Théorie de Lifshitz (1956)
3 ⎛ ε − ε ⎞⎛ ε − ε ⎞ 3hν e
A132 ≈ kT ⎜⎜ 1 3 ⎟⎟⎜⎜ 2 3 ⎟⎟ +
4 ⎝ ε1 + ε 3 ⎠⎝ ε 2 + ε 3 ⎠ 8 2
09/09/11
(n12 − n32 )(n22 − n32 )
(n12 + n32 ) (n22 + n32 )[ (n12 + n32 ) + (n22 + n32 ) ]
50/73
Géométrie et rugosité"
Géométrie du contact
AR
F=
6D 2
plan-sphère
→
plan-plan
F=
AS
6πD 3
Rugosité
Différents modèles
2
FVdW ( b )
09/09/11
⎛ D ⎞
⎟ F
= ⎜
⎜ D + b ⎟ VdW
2 ⎠
⎝
51/73
Forces électrostatiques "
•  Interaction particule chargée / surface chargée
q1q2
Felec= 1
2
4πεε0
D
•  Interaction particule chargée / surface non chargée
2
1
Felec =
16πεε 0
•  Interaction surface/surface
q
D
2
Pelec = 1
2εε0
Triboélectrification
⇒
09/09/11
transfert de charges dû au contact non négligeable
52/73
Triboélectrification"
Contact conducteur-conducteur
(φ1 − φ 2 )
Vc =
e
Q = Vc
09/09/11
ε0S
z0
53/73
Action de l hygrométrie sur A"
Troisième média à l interface
modification de A
A12
A132
⇒
Eau fortement polaire
Théorie de Lifshitz
A12(vide) (x10-20J)
A132(eau) (x10-20J)
Polystyrène
7
1,3
Mica
10
2
Alumine
14
5,3
Métaux (Ag,Cu, Au)
50
40
Matériau
Module des Forces de VdW
09/09/11
54/73
Ménisque aqueux"
09/09/11
55/73
La force capillaire
Pourquoi la statique des fluides ne prévoit pas la montée
(ou la descente) d un liquide dans tube capillaire?
D ou viennent les ménisques?
09/09/11
56/73
La force capillaire
Tout cela s explique encore par Van der Waals!
Au sein d un liquide, les forces s exerçant sur une molécules sont
globalement neutres car les molécules environnante annulent les
forces sur celle-ci.
09/09/11
57/73
La force capillaire
Tout cela s explique encore par Van der Waals!
Par contre, à l interface, les molécules n interagissent qu avec
celles situées « au dessus », la résultante des forces n est donc
pas nul et est dirigé vers le « centre ».
Cette force a pour effet de modifier la pression du liquide a
l interface.
09/09/11
58/73
La force capillaire
Pour créer de la surface de liquide, il faut donc fournir de
l énergie. Mais en augmentant cette surface, l énergie
libre croît aussi. Or la tendance naturelle est à minimiser
la surface.
Il en est de même lorsque l on veux séparer deux
surfaces baignant dans un liquide tel qu une sphère sur un
plan dans un environnement humide.
09/09/11
59/73
Les Forces Capillaires"
⎧ θ angle de contact
⎪
⎨ d hauteur d' immersion
⎪D distance d' interaction
⎩
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Fcap (plan - sphère) =
4πRγ l cosθ
(1 + D )
d
Hypothèses : cos θ =1
avec
rmenisc ≈
2γ lVm
d=2rmenisc
(équation de Kelvin)
RT ln( p
pour 3 interactions classiques
09/09/11
et
ps
)
⎧
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎩
8πRγ l rmenisc
(2rmenisc + D)
4πRmγ l rmenisc
Fcap (sphère - sphère) =
(2rmenisc + D)
2γ l S
Fcap (plan - plan) =
D + 2rmenisc
Fcap (plan - sphère) =
60/73
Conclusion pour le milieu athmosphérique"
09/09/11
61/73
Quelques mots de vocabulaires "
Solution colloïdale : liquide contenant en
suspension des particules de taille entre 1 nm et
10 µm.
Théorie des colloïdes
Physique/chimie des interfaces
09/09/11
62/73
Le milieu liquide "
Les interactions électrostatiques sont dues à la présence de
charges induites à la surface des particules
En milieu polaire, les principaux mécanismes de chargement
électrique sont la dissociation de groupe surfacique,
l adsoption d ions,..
Les charges de surface attirent les ions de charge opposée
et forment une région d électroneutralité sur une
longueur caractéristique, longueur d écran
Une double couche électrique (EDL) se forme alors et elle est
constituée par la charge de surface et sa contrecharge
associée.
09/09/11
63/73
Double couche électrique"
– Première couche : couche de surface où sont
adsorbés les ions déterminant le potentiel
du solide (p. ex. H+ et OH− pour un oxyde
métallique comme SiO). On associe à cette
couche la charge σ0 et le potentiel ψ0;
– Deuxième couche : couche compacte d ions
déshydratés présentant une interaction
forte avec la surface (ions spécifiquement
adsorbés). Le centre de ces ions est localisé au
niveau du Plan Interne de Helmholtz (PIH), auquel
on associe la charge σβ et le potentiel ψβ
– Troisième couche : couche diffuse de co-ions et
de contre-ions hydratés et attirés faiblement.
Le plan où commence la couche diffuse est appelé
Plan Externe de Helmholtz(PEH), auquel on
associe la charge σd et le potentiel ψd.
Modèle de Stern (deuxième couche-couche diffuse)
09/09/11
64/73
Equation de Poisson Boltzmann"
Nous cherchons la force exercée par la couche électrique entre deux surfaces.
Le résultat dans le cas de deux plans ( approche thermodynamique théorie de
Gibbs) est :
où ΔP(x) est la pression osmotique, ΔΠ la force par unité de surface entre
les plans, souvent appelée pression de disjonction et Ψ le potentiel électrique
(≅ potentiel zêta mesuré par mesures électrocinétiques).
L équation de Poisson (équation de Maxwell-Gauss en milieu linéaire ) relie
le potentiel électrique et ρ la densité volumique de charge.
Les équations combinées donnent l équation de Poisson-Boltzmann (PB)
avec ni la concentration et zi le niveau de valence
09/09/11
65/73
Résolution de l équation"
Deux approximations pour la résolution de l équation fortement non-linéaire :
- Pour un électrolyte symétrique composé de deux types d ions, on obtient
Potentiel réduit
Longueur de Debye I Force Ionique
Equation fortement non linéaire
- Forme linéarisée de l équation ( approximation de Debye-Hückel ou PB linéaire)
-  Résolution analytique de la PB (Poisson-Boltzman) linéaire pour un problème planplan
avec ΔΠ la force par unité de surface entre les plans et le signe qui dépend de la
condition limite (charge ou potentiel constant )
09/09/11
66/73
Résolution de l équation PB"
Interaction sphère sphère et sphère plan
Deux principales approches :
•  méthode de superposition linéaire restreinte aux grandes distances (kh>1)
Hyp : la solution de l équation de PB pour un système de deux particules peut être
construite comme la superposition linéaire des solutions pour les particules isolées
Avec a rayon de la sphère, d distance sphère plan et Y potentiel effectif
•  approche de Derjaguin apportées aux petites distances (kh<1)
Hyp : les interactions entre sphères peuvent être calculées comme la somme (intégrale)
des interactions correspondantes de surfaces élémentaires (anneaux) ayant une
géométrie plane.
GD paramètre de forme ψ potentiel de surface
Formule HFF
09/09/11
67/73
Simulations"
Force d interaction sphère/sphère
pour différents potentiels de Stern et forces ioniques
09/09/11
68/73
Simulations (2)"
Energie d interaction réduite Ve/kT sphère/sphère (partie supérieure) et sphère/plan
(partie inférieure) calculée pour ψs1 = 3, ψs2 = −1,5 et ka = 5 : −•−•− calculs numériques
exacts dans le cas c.c. ; −±−±− idem dans le cas p.c. ; ······ modèle linéaire HHF dans le
cas c.c. ; −·−·− idem dans le p.c. ; −−− modèle LSA
09/09/11
69/73
Théorie DLVO"
La théorie DLVO suppose que l interaction totale entre deux surfaces est la
somme de la répulsion de double-couche et de l attraction de van der Walls.
Potentiel d interaction sphère
sphère
09/09/11
70/73
Théorie XDLVO"
forces de solvatation (ou d hydratation dans l eau) : elles sont aussi appelées
interactions acide-base de Lewis. Dans l eau, ces forces seront attractives pour
des surfaces hydrophobes et répulsives pour des surfaces hydrophiles.
LW : Van der Waals interaction
EL : double layer
AB : Lewis Acid Base interaction
h0 : distance de séparation minimum : 0.158nm
λ  : longueur de Decay 0.6 nm/eau
09/09/11
γ+ et γ- sont les énergies de surfaces (électron
doneur et électron accepteur)
71/73
Théorie XDLVO et contact"
09/09/11
72/73
Conclusion"
•  Forces de surface :
•  Force de pull-off
•  Forces à distance :
•  Forces de VdW
•  Constante de Hamaker
•  Forces capillaires
•  Ménisque aqueux
•  Pression athmosphérique
•  Forces électrostatiques
•  Forces non prévisibles
•  Milieu liquide
•  Forces DLVO
09/09/11
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