Correction - Colegio Francia

Correction
Exercice I
A et B désigne deux événements d’un espace probabilisé tels que :
p( B)  0,2 ; p( A / B)  0,6 et p( A / B )  0,5
Calculer p( A B) ; p( A B ) ; p( A  B) ; p( A / B) ;
p( A B )
 0,6
p( B )
B )  0,6  p( B )  0,6  0, 2  0,12
p( A / B ) 
p( A
p( A / B ) 
p( A B )
p( B )
p( A B )  0,5  p( B )  0,5  0,8  0, 4
B)  p( A B)  p( B) donc p( A
p( A B ) 0,08

 0, 4
par suite : p( A / B ) 
p( B )
0, 2
On sait que p( A
B)  p( B)  p( A B)  0,2  0,12  0,08
Exercice II
Partie I
Card 1  C52  10
C22 1
C2 3
; p1 ( BB)  3 

10 10
10 10
1
1
C  C2 3  2 6
2°) p1 ( B )  3
Avoir une blanche c’est obligatoirement avoir une noire. Et il y a deux


10
10
10
noires…
3°) Nous sommes dans un schéma de Bernouilli dans lequel les événements sont indépendants.
 Succès : S : « Tirer deux boules blanches d’un coup »
3
 p( S )  p1 ( BB ) 
10
 Il y a n = 10 épreuves.
 On veut calculer k = 0 succès pour prendre son complémentaire.
Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre de succès.
0
10
7
0  3 
p(Y  0)  C10       0,0282
 10   10 
p(Y  1)  1  p(Y  0)  0,9718
1°) p1 ( NN ) 
4°) Les trois cas possibles sont :
BB : on perd 5+5 =10 € plus les 2 € de mise de départ soit une perte de 12 €.
BN : on gagne 10 – 5 = 5 € moins les 2 € de mise soit un gain de 3 €.
NN : on gagne 10 + 10 = 20 € moins les 2 € de mise soit un gain de 18 €.
I = { – 12 ; + 3 ; + 18 }
Loi de probabilité :
X = xk
X = – 12
pk = p(X=k)
3
10
pkxk
36

10
X=+3
6
10
18
10
X = + 18
1
10
18
10
3
p
i
1
i 1
3
px
i 1
i i

36 18 18
  0
10 10 10
E(X) = O donc le jeu est équitable. Allez vous y jouer ?
Partie II
1°) card 2  C52  C52  100
Tirer exactement deux boules blanches, revient à :
- Tirer les deux B dans U1.
OU
- Tirer une B dans U1 et une B dans U2.
OU
- Tirer les deux B dans U2.
p( BB )  p1 ( BB )  p2 ( NN )  p1 ( BN )  p2 ( BN )  p1 ( NN )  p2 ( BB )
C22 C22 C31  C21 C21  C31 C32 C32





10 10
10
10
10 10
1
36
9



100 100 100
46

100
2°) Cette probabilité n’est pas celle d’obtenir une blanche dans U2 puisqu’on a obtenu une blanche dans U1.
6
C’est à dire p2 ( BN )  .
10
En fait, il faut calculer :
p( B U1 BB )
p( B U1 / BB) 
c’est à dire le rapport entre la probabilité d’avoir obtenu 2 blanches dont
p( BB )
une et une seule dans U1 et la probabilité d’avoir obtenu 2 blanches.

p( B U1 / BB ) 
p1 ( BN )  p2 ( BN ) 0,36

 0,7826
p( BB)
0, 46
Exercice III
Soit X une variable aléatoire définie par : pour tout k  {1 ; 2 ; 3 ; … ; 100} P(X = k) = ln (ak).
Donner la valeur de a à 10-4 près.
100
100
 p( X  k )  1  ln a k  1
k 1
k 1
100
  k ln a  1
k 1
100
 ln a  k  1
k 1
100  101
1
2
1
 ln a 
5050
 ln a 
ae
1
5050
 1,0002