3_2008_CHAP6_Cours_PGCD_1

3èmePGCD Nombres premiers entre euxFractions irréductibles
I)
Multiples  diviseurs.
Définition n°1:
Un diviseur d’un nombre a est un nombre entier qui divise a (= la division
euclidienne de a par ce nombre « tombe juste »)
Exemples :
 diviseurs de 8 :
 diviseur de 12 :
 diviseurs de 34 :
Remarque: Si a est multiple de b , alors b est diviseur de a , et réciproquement.
Définition n°2:
Un diviseur commun à a et à b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.
Exemples :


1, 2 et 4 sont des diviseurs communs à 8 et 12.
Listes des diviseurs communs de 84 et 56 : 2, 4, 14, et 28.
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b.
Définition n°3 :
Parmi les diviseurs communs à a et b, l’un d’eux est plus grand que les autres.
On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur : PGCD.
On le note : PGCD(a;b)
Exemples :


II)
Le plus grand diviseur commun à 8 et 12 est 4.
PGCD(84 ;56)=28.
Recherche du PGCD à l’aide de l’Algorithme d’Euclide
Algorithme d’Euclide :
Pour trouver le PGCD de deux nombres, on peut appliquer la méthode illustrée par l’exemple suivant :
Trouver le PGCD de 646 et de 697 :
On pose la division de 697(le plus grand) par 646 :
..donc 697=6461+51
On pose la division de 646 (diviseur précédent) par 51 (reste précédent)
..donc 646=5112+34, et donc 697=(5112+34)1+51=5113+341
On pose la division de 51 (diviseur précédent) par 34 (reste précédent)
..donc 51=341+17, donc 646=(341+17)12+34=3413+1712 et
697=(341+17)13+341=3414+1713
On pose la division de 34 (diviseur précédent) par 17 (reste précédent)
..donc 34=172+0, donc 646= 17213+1712=1738 et
697=17214+1713=1741
Le restant étant égale à 0 on a fini, et le PGCD est le dernier diviseur (ici 17).
( les divisions de 646 par 17 et de 697 par 17 tombent justes ).
Démonstration d’une partie de la validité de l’algorithme sur l’exemple :
17 est le plus grand diviseur de 17, donc 17 est le PGCD de 34 et 17
Si a est diviseur de b et de c, il est aussi diviseur de b+c, et de ub+vc
17 est donc diviseur de 34 et de 51 (car 51=2 17+17)
17 est donc diviseur de 51 et de 646 (car 646=31712+217)
17 est donc diviseur de 697 et de 646…
Il reste à démontrer que c’est le plus grand…
III)
Nombres premiers entre eux.
Définition n°4 : Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.
Exemples :
 24 et 35 sont premiers eux : 35=241+11 ; 24=112+2 ; 11=25+1 ; 2=12+0, donc
PGCD(24 ;35)=1.

IV)
24 et 36 ne sont pas premiers entre eux : ils sont tous les deux divisibles par 3.
Fractions irréductibles.
Définition n°5 :
Exemples :
Une fraction est dite irréductible si le PGCD de son numérateur
et de son dénominateur vaut 1.
Error! est irréductible si PGCD(a;b)=1
7
48
est une fraction irréductible,
n’est pas une fraction irréductible (car PGCD(48 ;34)
18
34
ý1).
Pour rendre une fraction irréductible, on peut appliquer l’algorithme d’Euclide :
646 17  38 38


697 17  41 41
Priopriété n°1 :
Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de
son dénominateur, on obtient une fraction irréductible.
Si PGCD(a;b)=c, alors Error! est irréductible