SPÉCIALE MP* : DEVOIR LIBRE ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

SPÉCIALE MP* : DEVOIR LIBRE
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU TYPE DE FUCHS
Les trois parties de ce problème sont indépendantes
Partie I
Si a et b sont deux nombres réels, on s’intéresse à l’équation différentielle :
(E)
x
2
dy
y
+
ax
+ by = 0
dx2
dx
2d
I.1. a. Rappeler pourquoi l’ensemble des solutions de (E) sur ]0, +∞[ est un sous-espace de
dimension 2 de l’espace vectoriel des fonctions réelles de classe C 2 sur ]0, +∞[.
b. On rappelle qu’une application Φ de ]0, +∞[ dans C est une solution complexe de (E)
ssi les fonctions réelles ℜΦ et ℑΦ sont des solutions de (E).
Montrer que l’ensemble des solutions complexes de (E) sur ]0, +∞[ est un espace
vectoriel complexe de dimension 2.
I.2. A quelle condition l’équation (E) admet-elle des solutions polynomiales ?
Préciser alors ces solutions.
I.3. En effectuant le changement de variable x = et , résoudre l’équation (E) ; préciser la forme
générale des solutions réelles sur ]0, +∞[.
Partie II
Soient a(x) =
+∞
P
an xn et b(x) =
n=0
+∞
P
bn xn les sommes de deux séries entières à coefficients
n=0
réels dont les rayons de convergence sont supérieurs ou égaux à R > 0.
On s’intéresse dans cette partie à l’équation différentielle (F) sur l’intervalle ]0, +R[ :
d2 y
dy
+ a(x)x
+ b(x)y = 0
2
dx
dx
On rappelle que, si x est un réel strictement positif et k un nombre complexe, la notation xk
est mise à la place de exp(k ln x).
(F)
x2
II.1. Soient k un nombre complexe et c(x) =
+∞
P
cn xn la somme d’une série entière complexe
n=0
de rayon de convergence différent de 0. On suppose que c0 = 1.
a. Montrer que, si la fonction y = c(x)xk est une solution complexe de (F) sur un
intervalle ]0, R′ [, le nombre complexe k est racine d’une équation du second degré que
l’on écrira.
b. Montrer que, sous cette hypothèse, les nombres cn vérifient une suite de relations que
l’on précisera et que l’on appellera (P).
II.2. Soit k une racine de l’équation (C) :
(C)
k 2 + (a0 − 1)k + b0 = 0
a. On suppose que ∆ = (a0 − 1)2 − 4b0 n’est pas le carré d’un nombre entier non nul.
Montrer qu’il existe une suite de nombres complexes et une seule vérifiant :
c0 = 1
1
2
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ainsi que les relations de récurrence (P) établies en II . 1˚b.
b. Si ∆ = p2 où p ∈ N∗ , donner une C.N.S. pour qu’il existe une suite (cn ) vérifiant (P)
associée à k où k est la plus petite racine réelle de l’équation (C).
Montrer que, de toutes façons, on peut trouver une suite (cn ) vérifiant (P).
II.3. a. Soit (cn ) une des suites construites à la question précédente. On désigne par dn le
module du nombre cn ; montrer que la suite des nombres réels positifs (dn ) vérifie les
inégalités :
n|n + 2k + a0 − 1|dn 6
n−1
X
dm (|bn−m | + |k + m|.|an−m |)
m=0
pour tout entier supérieur ou égal à 1.
b. Montrer que, pour tout nombre positif δ < R, il existe un entier n0 tel que, pour tout
n > n0 , on ait :
dn δ n 6 sup (dm δ m ).
m∈[0,n−1]
II.4. a. Montrer qu’il existe un nombre complexe k et une série entière complexe de rayon de
convergence supérieur ou égal à R, de somme c(x), tels que la fonction y = c(x)xk
soit solution de (F) sur ]0, R[.
b. Préciser alors la forme de toutes les solutions de (F) au voisinage de 0 selon les cas
rencontrés.
Partie III
Soient a1 , . . . , ap , p nombres réels tous différents et P le polynôme défini par :
p
Y
(x − ai ).
P (x) =
i=1
Soient Q et R deux polynômes à coefficients réels.
On s’intéresse ici à l’équation différentielle (Φ) :
(Φ)
[P (x)]2
d2 y
dy
+
P
(x)Q(x)
+ R(x)y = 0
dx2
dx
III.1. Soit ai l’un des nombres a1 , . . . , ap .
a. Montrer que y est une solution de (Φ) sur ]ai , ai + ε[ ssi la fonction définie par z(t) =
y(t + ai ) est solution sur l’intervalle ]0, ε[ de l’équation différentielle (Fi ) :
(Fi )
dz
d2 z
+ t.Ai (t). + Bi (t).z = 0
2
dt
dt
où Ai et Bi sont des fractions rationnelles que l’on précisera.
b. Montrer qu’il existe un réel strictement positif Ri tel que les fonctions Ai et Bi soient
développables en série entière sur ] − Ri , +Ri [.
c. On appelle valeurs caractéristiques en ai de l’équation (Φ) les deux racines de
l’équation du second degré :
t2 .
k 2 + (a0 − 1)k + b0 = 0
où a0 = Ai (0) et b0 = Bi (0).
Exprimer la somme des deux valeurs caractéristiques en ai à l’aide des polynômes P
et Q.
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3
III.2. a. Montrer que y est solution de (Φ) sur ]S, +∞[ où S = max(0, max(ai )) ssi la fonction
z définie par z(t) = y(1/t) est solution sur l’intervalle ]0, 1/S[ (]0, +∞[ si S = 0) d’une
équation différentielle (Φ̃) :
(Φ̃)
d2 z
dz
+ Ã(t).t. + B̃(t).z = 0
2
dt
dt
où Ã et B̃ sont des fractions rationnelles.
b. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les degrés de P , Q et R pour que
les fonctions à et B̃ soient développables en série entière au voisinage de 0.
c. Cette condition étant remplie, on appelle valeur caractéristique à l’infini de l’équation
(Φ) les valeurs caractéristiques en 0 de l’équation (Φ̃).
Quelle est leur somme ?
t2 .
III.3. Quelle est la somme de toutes les valeurs caractéristiques de l’équation différentielle (Φ)
en tous les points ai et à l’infini ?
III.4. On considère le polynôme P (x) = x(x − 1).
Déterminer des polynômes Q et R tels que les valeurs caractéristiques de l’équation
différentielle (Φ) correspondante soient respectivement :
• 0 et 0 au point 0,
• 0 et 0 au point 1,
• 1/2 et 1/2 à l’infini.
III.5. Soit (Φ′ ) l’équation différentielle obtenue en 4˚. En trouver une solution développable en
+∞
P
série entière au voisinage de 1 (i.e. y =
an (x − 1)n ).
n=0
Existe-t-il une solution (non nulle !) de (Φ′ ) définie sur ]0, +∞[ ?