Suites numériques 1 Définitions générales 2 Limites

Univ. Nice Sophia Antipolis - 1ère année Licence Portail SF - Sem 2
Analyse II - Révisions 3
2014-15
Suites numériques
1
Définitions générales
Définition 1.1 On appelle suite numérique réelle (resp. complexe) toute application u : N → R (resp.
C). Pour tout n ∈ N, u(n) est usuellement noté un et est appelé terme d’indice n de la suite. Une
telle suite est notée u, (un ) ou (un )n∈N .
Définition 1.2 a) Une suite (un ) est dite constante à partir d’un certain rang ou stationnaire s’il
existe C ∈ C et N ∈ N vérifiant ∀n ≥ N , un = C.
b) Une suite réelle (un ) est dite majorée s’il existe M ∈ R vérifiant ∀n ∈ N, un ≤ M .
c) Une suite réelle (un ) est dite minorée s’il existe m ∈ R vérifiant ∀n ∈ N, m ≤ un .
d) Une suite réelle (un ) est dite bornée ssi elle est majorée et minorée.
Proposition 1.3 Une suite réelle (un ) est bornée ssi il existe M ∈ R+ vérifiant ∀n ∈ N, | un |≤ M .
Définition 1.4 Une suite complexe (un ) est dite bornée ssi il existe M ∈ R+ vérifiant ∀n ∈ N,
| un |≤ M .
Définition 1.5 Soient (un ) et (vn ) deux suites complexes et λ ∈ C. On note λ.u la suite de terme
général λun . On note u + v la suite de terme général un + vn .
Définition 1.6 a) On appelle suite arithmétique de raison r ∈ C, toute suite u = (un ) telle que
∀n ∈ N, un+1 = un + r. Alors un = u0 + nr, ∀n ∈ N.
b) On appelle suite géométrique de raison q ∈ C, toute suite u = (un ) telle que ∀n ∈ N, un+1 = qun .
Alors un = u0 q n , ∀n ∈ N.
2
2.1
Limites
Convergence
Définition 2.1 On dit qu’une suite numérique (un ) tend vers l ∈ C si
∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, | un − l |≤ ⇔| un − l |→ 0.
On note un → l. Si (un ) converge alors sa limite est unique. Et on la note lim un .
n→+∞
Théorème 2.2 Si à partir d’un certain rang | un − l |≤ vn et si vn → 0 alors un → l.
2.2
Divergence infinie pour les suites réelles
Définition 2.3 On dit qu’une suite réelle (un ) tend vers +∞ si ∀M ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, un ≥ M.
On dit qu’une suite réelle (un ) tend vers −∞ si ∀M ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, un ≤ M.
Une suite peut avoir trois comportements possibles :
- converger (i.e. admettre une limite finie),
- diverger vers un infini,
- diverger sans limite (par exemple : un = (−1)n , un = (−1)n .n...).
2.3
Opération sur les limites
Théorème 2.4 Toute suite convergente réelle ou complexe est bornée.
Théorème 2.5 (Somme) .
1) Soient u et v deux suites numériques.
a) Si un → l et vn → l0 , alors un + vn → l + l0 .
2) Soient u et v deux suites réelles.
a) Si un → l et vn → +∞, alors un + vn → +∞.
b) Si un → l et vn → −∞, alors un + vn → −∞.
c) Si un → +∞ et vn → +∞, alors un + vn → +∞.
d) Si un → −∞ et vn → −∞, alors un + vn → −∞.
Théorème 2.6 (Produit) .
1) Soient u et v deux suites numériques.
Si un → l et vn → l0 , alors un .vn → l.l0 .
2) Soient u et v deux suites réelles.
a) Si un → l > 0 et vn → +∞, alors un .vn → +∞.
b) Si un → +∞ et vn → +/ − ∞, alors un .vn → +/ − ∞.
Théorème 2.7 (Inverse) .
1) Soit u une suite numérique.
Si un → l 6= 0, alors 1/un → 1/l.
2) Soit u une suite réelle.
a) Si un → 0+ , alors 1/un → +∞.
b) Si un → +∞, alors 1/un → 0+ .
Théorème 2.8 (Composition) Soit f : D ⊂ R → R une fonction continue et soit u une suite réelle
telle qu’à partir d’un certain rang N , un ∈ D.
Si un → a ∈ D et lim f (x) = l, alors lim f (un ) = l.
x→a
3
3.1
n→+∞
Etudier la limite d’une suite
Limite et inégalité
Théorème 3.1 Si (un ) et (vn ) sont deux suites réelles convergentes vérifiant un ≤ vn à partir d’un
certain rang alors lim un ≤ lim vn .
Proposition 3.2 Si (un ) est une suite réelle convergeant vers l et si l > a alors à partir d’un certain
rang un > a.
Théorème 3.3 Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles vérifiant un ≤ vn à partir d’un certain rang.
a) Si un → +∞ alors vn → +∞ .
b) Si vn → −∞ alors un → −∞
3.2
Convergence monotone
Théorème 3.4 Toute suite réelle croissante (un ) admet une limite qui est supn un .
Corollaire 3.5 Une suite réelle croissante et majorée converge et est majorée par sa limite.
3.3
Suites adjacentes
Définition 3.6 Deux suites réelles (an ) et (bn ) sont dites adjacentes ssi (an ) est croissante, (bn )
décroissante et la différence bn − an tend vers 0.
Théorème 3.7 Si (an ) et (bn ) sont deux suites réelles adjacentes alors celles-ci convergent vers une
même limite l. De plus, les termes de ces suites encadrent cette limite :
∀n ∈ N, an ≤ l ≤ bn .
3.4
Critère de Cauchy
Définition 3.8 On dit qu’une suite (un ) satisfait le critère de Cauchy si
∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀m, n ≥ N, | um − un |≤ ⇔ ∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀p ≥ 0, | un+p − un |≤ .
Théorème 3.9 Une suite réelle ou complexe est convergente ssi elle est une suite de Cauchy.
3.5
Négligeabilité, domination et équivalent
Définition 3.10 un = o(vn ) ⇔ ∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, | un |≤ | vn |.
un = O(vn ) ⇔ ∃M ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, | un |≤ M | vn |.
un ∼ vn ⇔ un = vn + o(vn ) ⇔ lim un /vn = 1.
3.6
Suites récurrentes
Pour étudier une suite récurrente donnée par u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 = f (un ) :
- on précise et on étudie la fonction itératrice f (domaine de définition, continuité, tableau de variation,...),
- on détermine D vérifiant u0 ∈ D et ∀x ∈ D, f (x) ∈ D. Ceci justifie l’existence de (un ) et localise les
termes de la suite : ∀n ∈ N, un ∈ D,
- on détermine les limites finies possibles en passant la relation de récurrence un+1 = f (un ) à la limite.
Si f est continue de D dans D, alors cela revient à chercher les points fixes de f (f (α) = α).
Proposition 3.11 (Comparaison sous-géométrique) Si | un+1 − l |≤ % | un − l | avec % ∈ [0, 1[
alors un → l.
Proposition 3.12 (Fonction itératrice croissante) On suppose la fonction itératrice f croissante
de D vers lui-même.
a) Si f (u0 ) − u0 ≥ 0 alors (un ) est croissante.
b) Si f (u0 ) − u0 ≤ 0 alors (un ) est décroissante.
c) Si u0 ≤ α avec α point fixe de f alors (un ) est majorée par α.
d) Si u0 ≥ α avec α point fixe de f alors (un ) est minorée par α.
Proposition 3.13 (Fonction itératrice décroissante) Si la fonction itératrice f est décroissante
de D vers lui-même alors les suites extraites (u2n ) et (u2n+1 ) sont monotones et de monotonie contraire.