Seance N°1 de MATH1 (ST) du dimanche 18/9 et lundi 19/9 2016

Séance 1
ere
du dimanche 18/9/2016 et lundi 19/9/2016
La Logique Mathématique : Propositions et Connecteurs.
C’est quoi une proposition ?
C’est une phrase (avec un verbe, un sujet et un complément) qui admet une seule valeur de vérité : 0 ou 1.
0 si la phrase est fausse
et
1 si la phrase est vraie
REMARQUES :
1)
Dans les cours de mathématiques, on utilisera seulement les propositions : la phrase suivante
LE CLIMAT EST BON
n’est pas une proposition : elle n’a aucun sens pour les mathématiques car sa valeur de vérité dépend du jugement de
chaque personne.
2)
Soit ∈ ℝ, on considère la phrase « + 1 = 0 » qu’on lit
« + 1 est égale à0 »
Cette phrase n’a pas de valeur de vérité car elle dépend de la variable , par exemple
Si = 0, on obtient la phrase « 0 + 1 = 0 » qui est fausse donc c’est une proposition
Si = −1, on obtient la phrase « −1 + 1 = 0 » qui est vraie donc c’est une proposition
On voit bien que la phrase :
+1 = 0
n’est pas une proposition. Elle devient une proposition dès que l’on donne une valeur fixe à la variable .
3)
Pour désigner une proposition on utilise les lettres
, , , , , , , , , …
RAPPELS :
Au commencement c’était les entiers naturels puis arrive les nombres réels et complexes.
4)
L’ensemble des entier naturels est noté parℕ
ℕ = 0,1,2, … . .
On désigne les entiers naturels par les lettres
, !, , , "
5)
…
L’ensemble des entiers relatifs est noté parℤ
ℤ = … . , −2, −1, 0, 1, 2, … . .
On désigne les entiers relatifs par les lettres :
, !, , , "
…
6)
On a
ℤ = … . , −2, −1 ∪ 0 ∪ 1, 2, … . .
= … . , −2, −1 ∪ ℕ
Donc tous les nombres naturels sont dansℤ c’est-à-dire
ℕ⊂ℤ
7)
L’ensemble des nombres rationnels est noté parℚ
ℚ=' ∶
∈ ℤ ∈ ℕ)
On désigne les nombres rationnels par les lettres
, , *, , …
A partir de la définition deℚ , on déduit la propriété suivante (importante) :
8)
∈ ℚ ⇔ , é . /0 1 2/
=
3 ∈ ℤ ∈ ℕ
L’ensemble des nombres réels est noté parℝ
On désigne les nombres réels par les lettres
, *, , , 0, 3
9)
…
L’ensemble des nombres complexes est noté parℂ
ℂ= 5=
+ .* ∶
∈ ℝ * ∈ ℝ
On désigne les nombres complexes par les lettres
5, , , 0, 3, 6
…
PROPRIETE D’INCLUSION ENTRE LES ENSEMBLES DE NOMBRES
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 7 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
78é .9! 1 , !
1 8 !/
8é .
0
L’ensemble des nombres rationnelsℚ n’est pas inclus dans7. Pourquoi ? Parce qu’il existe des rationnels qui ne sont pas
des nombres décimaux comme par exemple
1
1
∈ ℚ ∉ 7
3
3
On écrit alors
ℚ⊄7
EXEMPLES DE PROPOSTIONS
= ℎ
«ℕ ⊂ ℤ»
0! / / . ./! ∶ 11 3
.
= ℎ
«ℚ ⊄ 7»
0! / / . ./! ∶ 11 3
.
= ℎ
«ℚ ⊂ 7»
0! / / . ./! ∶ 11 2 0
LES CONNECTEURS LOGIQUES
C’est quoi un connecteur logique ? C’est une opération entre propositions
ANALOGIE ENTRE CONNECTEURS LOGIQUES ET OPERATIONS ENTRE LES NOMBRES REELS
Les opérations entre les nombres réels
+ c’est la somme
− c’est la différence ou la soustraction
. c’est le produit
/ c’est la division ou le rapport
Les opérations entre propositions (connecteurs logiques)
∧ c’est la conjonction
∨ c’est la disjonction inclusive
⟹ c’est l’l’implication
⇔ c’est l’équivalence
6 c’est la disjonction exclusive
Le symétrique
L’inverse
.̅ c’est la négation
Soient , * ∈ ℝ
La somme + * est un nombre réel
La différence − * est un nombre réel
Le produit . * est un nombre réel
Soient ,
La conjonction
La conjonction
La conjonction
La conjonction
La conjonction
G
Le rapportF I est un nombre réel * ≠ 0
H
Soit ∈ ℝ et* ∈ ℝ * ≠ 0
− 1 * é . 0 8 0!!/
é 1
1
1’.!3
8 0!!/
é 1
Comment définir une proposition ?
1)
deux propositions
∧ est une proposition
∧ est une proposition
∧ est une proposition
∧ est une proposition
∧ est une proposition
Soient une proposition
La négation ̅ est une proposition
Une proposition est définie par sa table de vérité
Définition de la négation .̅
Si est une proposition, on définit la négation de comme étant la proposition, notée L qui est fausse lorsque P est vraie
et vraie lorsque P est fausse. Voici la table de vérité de la négation :
2)
N
M
O
P
1
0
Définition de la conjonction ∧
Si et sont deux propositions, on définit la conjonction de et comme étant la proposition, notée ∧ qui est vraie
lorsque les propositions et sont toutes les deux vraies et fausse dans les 3 autres cas. Voici la table de vérité de la
conjonction :
3)
a)
La disjonction
La disjonction inclusive ∨
1
1
0
0
1
0
1
0
∧
P
O
O
O
Si et sont deux propositions, on définit la disjonction inclusive de et comme étant la proposition, notée ∨ qui
est fausse lorsque les propositions et sont toutes les deux fausses et vraie dans les 3 autres cas. Voici la table de vérité
de la conjonction :
1
1
1
0
∨
P
P
0
0
1
0
P
O
b)
La disjonction exclusive w
Si et sont deux propositions, on définit la disjonction exclusive de et comme étant la proposition, notée w , et
dont la table de vérité est donnée par :
4)
1
1
0
0
L’implication ⟹
MRS
O
P
P
O
1
0
1
0
Si et sont deux propositions, on définit ⟹ et on lit « implique » comme étant la proposition qui est fausse
lorsque est vraie et est fausse et vraie dans les 3 autres cas. Voici la table de vérité de l’implication
5)
1
1
0
0
L’équivalence ⟺
M⟹S
P
O
P
P
1
0
1
0
Si et sont deux propositions, on définit l’équivalence de et , notée ⟺
étant la proposition dont la table de vérité est donnée par :
1
1
0
0
et on lit « équivalent à » comme
M⟺S
P
O
O
P
1
0
1
0
QUELQUES REMARQUES
1)
On peut remarquer que les tables de vérité de la négation de la disjonction exclusiveLLLLLL
6 et de
l’équivalence ⟺ sont identiques donc elles sont équivalentes c'est-à-dire
⟺
2)
⟺ LLLLLL
6
On peut remarquer que les tables de vérité des propositions
⟹
∧
⟹
⟺
sont identiques c'est-à-dire
⟺
1
1
0
0
1
0
1
0
⟹
1
0
1
1
⟺U
⟹
1
1
0
1
⟹
∧
⟹
⟹
∧
P
O
O
P
V
⟹
⟺
P
O
O
P