devoir libre n 6 - Lycée Jacques Feyder

Fonction logarithme, PGCD
Terminale S
DEVOIR LIBRE No 6
Exercice 1 : Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Toutes les représentations graphiques demandées seront effectuées sur la même figure, dans un
plan rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 4 cm.
A- Études de fonctions
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

x+2

si x > 0
f (x) = x ln
x

f (0) = 0
On note (C) sa représentation graphique.
1. (a) Montrer que f a pour limite 0 en 0. Que peut-on en conclure pour la fonction f ?
(b) f est-elle dérivable en 0 ?
(c) Déterminer la limite éventuelle de f en +∞. On pourra poser h = x2
2. (a) Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et calculer f 0 .
(b) Montrer que f 0 est dérivable sur ]0 ; +∞[ et vérifier que :
∀x > 0, f 00 (x) = −
4
.
x(x + 2)2
(c) Étudier le sens des variations de f 0 et montrer que lim f 0 (x) = 0.
x→+∞
En déduire le signe de f 0 .
(d) Dresser le tableau des variations de f .
(e) Construire la courbe (C) en indiquant la tangente au point O.
3. Soit u la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :
u(x) =
2x
.
x+2
On note (H) sa représentation graphique.
(a) Dresser le tableau des variations de u.
(b) Vérifier que, pour x ∈ ]0 ; +∞[, on a : f (x) − u(x) = xf 0 (x).
En déduire la position relative des courbes (C) et (H).
(c) Tracer (H).
B- Recherche d’une fonction
L’objectif de cette partie est de déterminer une fonction g, définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ et
possédant la propriété (E) suivante :
∀x > 0, g(x) − xg 0 (x) =
2x
.
x+2
Définition : F est une “primitive” de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et F 0 = f .
1. On pose, pour x > 0, G(x) =
g(x)
.
x
Montrer que pour tout x > 0, G0 (x) =
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1
1
− .
x+2 x
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2. Déterminer une primitive de G0 sur ]0 ; +∞[.
3. En déduire une fonction g vérifiant la propriété (E).
Exercice 2 (pour les élèves de spécialité uniquement) :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1. Montrer que n et 2n + 1 sont premiers entre eux.
2. On pose α = n + 3 et β = 2n + 1. Notons δ = PGCD(α ; β).
(a) Calculer 2α − β et en déduire les valeurs possibles de δ.
(b) Montrer que δ = 5 si et seulement si n ≡ 2 (5).
3. On considère les nombres a = n3 + 2n2 − 3n et b = 2n2 − n − 1.
Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par (n − 1).
4. (a) On note d le PGCD des nombres n(n + 3) et 2n + 1.
Montrer que δ divise d puis que δ = d.
(b) En déduire le PGCD, ∆, de a et b en fonction de n.
(c) Déterminer ∆ pour n = 2006 puis pour n = 2007.
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