Rhéologie

NOTIONS DE RHEOLOGIE
La géologie introduit dans nos classes des notions physiques complexes nécessitant une approche
intuitive pour être abordées par des élèves de collège et de lycée.
La ductilité des roches, les déformation élastiques, plastiques, le seuil de rupture et les contraintes
relèvent d’un vocabulaire scientifique indispensable afin d’appréhender convenablement les
mécanismes de la tectonique tels que les failles ou les plissements.
Nous allons préciser quelques unes des notions scientifiques sous-jacentes à l’acquisition de ces
déformations géologiques.
La rhéologie vient du grec RHEO : couler et LOGOS: étude. Littéralement, la science de
l’écoulement, c’est une branche de la physique qui étudie la déformation d’un corps soumis à des
contraintes.
Alban Caillette
sommaire
1. LES DIFFERENTS TYPES DE DEFORMATIONS
1. 1. les déformations élastiques
1. 2. les déformations plastiques
1. 3. les déformations cassantes
2. LE COMPORTEMENT DES ROCHES
2. 1. les roches cassantes ou compétentes
2. 2. les roches ductiles
2. 3. les paramètres de modification du comportement
2. 3. 1. la pression
2. 3. 2. la température
2. 3. 3. la vitesse de déformation
3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE
3. 1. délimitation des domaines de compétences
3. 2. loi de Byerlee
3. 3. loi de fluage
Alban Caillette
RHEOLOGIE
1. LES DIFFERENTES DEFORMATIONS
Il existe trois principaux types de déformations : ‐La déformation élastique est une déformation réversible des matériaux
‐La déformation plastique et le fluage sont des déformations irréversible des matériaux
‐La rupture est la formation d’un plan de fracture permanent dans le matériau
Alban Caillette
RHEOLOGIE
1. 1. LA DEFORMATION ELASTIQUE
La déformation élastique se caractérise par une modification de la position des atomes du matériau auquel on applique une force. Lorsque cette force cesse, les atomes retrouvent leur position d’origine : la déformation est réversible.
Selon le graphique, c’est une déformation proportionnelle aux contraintes appliquées (portion linéaire de la courbe).
Un modèle simple d’étude de déformation plastique est celui du ressort : une force F appliquée au ressort modifie sa longueur ∆L. La relation entre F et ∆L est proportionnelle : F=k. ∆L ou encore F=k.(l1‐l0)
Où k est la constante de raideur du ressort
Quelle relation entre F et la contrainte ?
Quelle relation entre ∆L et la déformation?
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RHEOLOGIE
1. 1. LA DEFORMATION ELASTIQUE
Si l’on généralise à un solide dont la forme diffère de celle du ressort alors on divise la force par la surface du matériau où
elle s’applique : on travaille donc avec une contrainte (en pa) : σ=F/S
La déformation appelée allongement relatif ε est une grandeur sans dimension égale à l’allongement divisé par la longueur initiale l0: ε= (l1‐l0)/ l0
La loi de Hooke définit le comportement du solide soumis à une contrainte et qui se déforme de façon élastique : « ut tensio sic vis » : la déformation est proportionnelle à la contrainte. σ=E. ε Loi d’élasticité de Hooke
Où E est le module de young, caractéristique du matériau.
On retrouve ainsi une relation linéaire, valable pour une déformation élastique de faible amplitude (CF graphe)
Quelle signification au module de Young?
Alban Caillette
RHEOLOGIE
1. 1. LA DEFORMATION ELASTIQUE
Le module de Young : Thomas Young était un physicien britannique qui avait remarqué la relation de proportionnalité entre contrainte et déformation.
Le module de Young appelé encore module d’élasticité est exprimé en pression (pa)
σ=E. ε
donc E= σ /ε
Or ε est sans dimension et σ est une contrainte (donc une pression)
E correspond à la contrainte nécessaire afin d’obtenir un allongement relatif maximal =100%=1. Dans ce cas : E= σ
Quelle valeurs du module de Young ?
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RHEOLOGIE
Le module de Young : quelques exemples
Tableau 2 : alliages
Alliage
Valeur du module
de Young (Mpa)
Acier
210 000
Bronze
124 000
Tableau 4 : divers
Divers
Tableau 1 : métaux purs
Elémént
Valeur du
module de
Young (Mpa)
Fer
196 000
Or
78 000
Tungstène
406 000
Plomb
18 000
Tableau 3 : Minéraux et roches
Minéral
Valeur du
module de
Young (Mpa)
Calcaire
20 000 à 70 000
Valeur du module
de Young (Mpa)
Brique
14 000
Diamant
1 000 000
séquoia
9500
Granite
60 000
cartilage
24
Marbre
26 000
Soie d’araignée
60 000
Silice
107 000
cheveu
10 000
Saphir
420 000
RHEOLOGIE
Quelle signification donner au module de Young ?
Le module de Young est une pression en Mpa : 1 méga‐pascal = 106 pa Or 1pa= 10‐5 bars donc
1 méga‐pascal = 106.10‐5 bars = 10 bars
Or 1 bar correspond à 1kg/cm2
Donc 1Mpa=10kg/cm2
Reprenons quelques exemples du module de Young : Rappel : le module de Young est la contrainte théorique à appliquer afin d’obtenir un allongement de 100% (donc de doubler la longueur initiale)
‐Acier : 2 100 000 bars soient 2 100 tonnes/cm2
‐Granite : 600 000 bars soient 600 tonnes/cm2
‐Silice : 1 070 000 bars soient 1 070 tonnes/cm2
‐Diamant : 10 000 000 bars soient 10 000 tonnes/cm2
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RHEOLOGIE
Seuil de plasticité
1. 2. LA DEFORMATION PLASTIQUE
La déformation plastique se caractérise par une modification
de la position des atomes du matériau auquel on applique
une force. Lorsque cette force cesse, les atomes ne
retrouvent pas leur position d’origine : la déformation est
irréversible.
Lorsqu’on relâche
la contrainte, la
déformation
persiste
α
Dans ce cas,
tan(α) = σ/ε= E (module de
Young)
La déformation plastique accompagne la déformation
élastique. Elle se manifeste lorsque la contrainte atteint un
seuil de plasticité.
Alors la relation entre la contrainte appliquée et la
déformation n’est plus linéaire.
Ainsi, en reprenant le modèle du ressort, celui-ci va se
déformer de façon plastique si on lui applique une force qui
dépasse sa capacité de déformation élastique.
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RHEOLOGIE
1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE
Une contrainte maximale peut aboutir à une rupture du
matériau : c’est la contrainte seuil.
Cette contrainte est très faible par rapport au module
de Young :
Ex du verre : module de Young : 70 000 MPa (100% de
déformation) et contrainte seuil : 3 600 Mpa ce qui
correspond à seulement 5% de déformation.
Alan Arnold Griffith a l’idée de supposer l’existence de
microfractures qui fragilisent le matériau.
« Lorsqu'une contrainte est appliquée sur le matériau, il
se déforme et stocke de l'énergie élastique. Une fracture
existante, si elle s'ouvre davantage, soulage davantage le
matériau sous tension et libère ainsi de l'énergie pour
faire avancer le front d'ouverture. Au-delà d'une
certaine contrainte, l'énergie ainsi libérée est
suffisante, et la fracture commence à s'ouvrir davantage.
Après quoi, son ouverture se poursuit de manière
catastrophique, jusqu'à la rupture macroscopique du
matériau. »
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RHEOLOGIE
1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE
Calcul de la contrainte de rupture :
Il faut raisonner en terme d’énergie.
Reprenons l’exemple du ressort : Ee : énergie
élastique
Ee=1/2.k. ∆L2
En géologie : Le travail exercé par la contrainte
correspond à :
We=1/2.σ.ε
en joules/m3
Or d’après la loi de Hooke : σ=E. ε donc :
WE=1/2.σ2/E
en joules/m3
L
σ1
Une contrainte σ appliquée à une roche
engendre une déformation ε= σ/E où E
est le module de Young.
Cette roche déformée s’allonge et
stocke une énergie élastique par unité
de volume égale à ½. σ2/E
σ1
σ1
Roche soumise à des
contraintes distensives
σ1
L+ σ/E
La roche se déforme et
s ’allonge de σ/E
Elle accumule une
énergie : 1/2.σ2/E par unité de volume
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RHEOLOGIE
1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE
Considérons alors comme Griffith, l’ existence d’une
microfracture dans l’édifice cristallin : elle correspond à un
volume a3 où la contrainte ne s’applique plus : donc à un volume
où de l’énergie élastique est soulagée (« perdue »). Cette
énergie est donc égale à :
- 1/2.σ2/E .a3
volume a3
a
Fracture dans un volume a3 qui
soulage l’édifice d’une énergie : 1/2.σ2/E .a3
Par contre, la formation d’une fracture de section a2consomme une énergie W par unité de
surface soit Wa2
Surface a2
Energie potentielle stockée dans le matériau = énergie consommée-énergie
soulagée:
= travail des forces- énergie élastique stockée = Wa2 - 1/2.σ2/E .a3
=Epotentielle
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RHEOLOGIE
1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE
Cette relation est du type : F(a)=k1*a2-k2*a3
Ci-dessous, une courbe représentative de cette fonction
(les constantes k1 et k2 sont prises arbitrairement).
Energie potentielle
Ebilan = Wa2 - 1/2.σ2/E .a3
= travail des forces - énergie élastique stockée
-Dans la partie croissante de la courbe : F’(a)>0 : la
variation du travail des forces est supérieure à la
variation d’énergie élastique : pas de création de
fissure : l’énergie potentielle du matériau augmente.
a:
longueur
de la
fracture
-Au sommet de la courbe : F’(a)=0 : l’énergie atteint une
valeur critique correspondant à une longueur de
fissure « a » critique donc une contrainte seuil.
-La partie décroissante de la courbe : F’(a)<0 : au-delà
de la longueur de fissure critique, l’énergie diminue donc
la variation d’énergie élastique soulagée est supérieure à
la variation du travail des forces : l’énergie potentielle du
matériau diminue par élargissement de la fissure
(donc augmentation de a).
RHEOLOGIE
1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE
Calcul de la longueur critique :
Ebilan = Wa2 - 1/2.σ2/E .a3 qui équivaut à
F(a)=k1*a2-k2*a3
Avec k1=W et k2=1/2.σ2/E
Donc sa fonction dérivée : F’(a)=2k1*a-3k2a2
F’(a)=0 lorsque a=0 ou bien a=2k1/3k2 donc
a=2W/(3/2. σ2/E)
Donc
a critique=4WE/3σ2
Donc
σcritique=√(4WE/3a)
a critique
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1. 4. LA RUPTURE: DEFORMATION CASSANTE
Le cercle de Mohr : un
critère de rupture
Considérons les contraintes σ1, σ2, σ3 exercées
en un point P à l’intérieur d’un matériau.
Si l’on coupe ce matériau selon une surface
passant par σ2, on met alors en évidence une
surface élémentaire ds sur laquelle s’applique
une contrainte C.
Composante
tangentielle de la
contrainte C à ds
Ƭ
P
σ1
ds
Cette contrainte est constituée d’une
composante tangentielle à ds: la contrainte de
cisaillement Ƭ et d’une composante
perpendiculaire à ds : la contrainte normale σn
RQ: ds est dans un plan qui contient σ2.
(Ƭ)
A
σ3
Il est possible de représenter graphiquement cette contrainte C qui s’applique sur
la surface ds, au point P : elle est définit par l’intersection de:
-l’ellipse d’axes (σ1, σ3 )
-Du cercle de centre O, construit sur un axe perpendiculaire à ds tel que : [PA]=
σ3 et [PB]= σ1
C
O
σn
(σn)
B
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composante
normale de la
contrainte C à
ds
Le critère de Mohr-Coulomb
-La loi de coulomb : elle caractérise les forces de frottements qui s’exerce dans un
milieu continu dont on isole deux portions élémentaires. Ces deux portions notées A et B
peuvent
•se déplacer l’une contre l’autre : frottement dynamique
•Ne pas glisser l’une contre l’autre : frottement statique
Dans les deux cas, une force appelée « réaction de contact » s’exerce entre A et B. Elle
comprend une composante tangentielle Ƭ et une composante perpendiculaire (normale) σn
σn
R : réaction de contact
A
Ƭ
B
Un modèle
analogique des
forces en jeu :
exemple de la réaction
normale du corps B sur
le corps A
En cas de glissement : la force de frottement tangentielle est proportionnelle à la réaction normale :
Ƭ =μd σn
μd est un coefficient de frottement dynamique (ou coefficient de frottement interne) qui dépend des matériaux et
de leurs surfaces.
En cas d’adhérence :absence de déplacement : la force de frottement tangentielle reste en deçà d’une limite supérieure:
Ƭ0< ou = μs σn
μs est un coefficient de frottement statique qui dépend des matériaux et de leurs surfaces.
Cette valeur maximale de Ƭ représente donc le seuil qu’il faut dépasser pour que
le mouvement débute
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Or la loi de Coulomb est applicable au milieu continu donc elle s’applique à l’intérieur des roches !
Dans ce cas, les contacts entre atomes, cristaux ou grains et leurs mouvements créent du frottement.
Il faut y ajouter les forces de cohésion qui lient les particules entre elles. Les particules ne peuvent entrer en
mouvement que lorsque la contrainte tangentielle a atteint une valeur : le seuil de rupture :
Ƭ =μd σn + C
Avec C : cohésion du milieu (donc> ou = 0)
-Le critère de rupture prend alors la forme suivante appelée critère de Mohr-Coulomb :
Ƭ < ou = μd σn + C
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Le critère de Mohr-Coulomb limite l’étendue des demi-cercles de Mohr à une zone
comprise entre l’axe (O; σn) et une droite de pente μ = tanφ et de formule : Ƭ = μσ n+
c
Ƭ
σ1
Ƭ = μσ
Ф
ds
2θ
A
θ
P
O
En bleu : la limite de la
zone des cercles de selon
le critère de mohrcoulomb
n
+c
B
σn
σ3
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Lorsqu’il y a égalité le plus grand cercle de Mohr est
tangent à la droite de Mohr-Coulomb:
- La pente de cette droite, μ = tan φ , est appelé
coefficient de frottement interne
‐φ est l’angle de frottement interne.
-L’ordonnée à l’origine, c, représente la cohésion
du
matériau.
Ƭ
Ƭ = μσ
n
+c
c
Ф
σ1
σ3
σn
Ƭ
L’inclinaison des failles selon ce critère:
La rupture a lieu lorsque le cercle est tangent à la
droite. Donc lorsque Ƭ = μ σn + c Si l’on appelle θ l’angle formé entre σn et σ1 alors :
Dans le triangle rectangle de la figure ci-contre :
π = Ф + (π/2) + (π-2θ)
Ƭ = μσ
c
Π-2θ
Ф
+c
2θ
O
σ3
n
σ1
σn
D’où θ = Ф/2 + π
L’angle formée au moment de la rupture est donc :
θ = Ф/2 + π/4
L’angle φ entre le plan ds (plan de fracture) et
σ1
Est : φ = (π/2) – θ donc = (π/2) – (Ф/2 + π/4)
Donc : φ = (π/4) – Ф/2
φ reste donc toujours < ou = à 45°
σ1
φ
ds
θ
σn
σ3
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Voici quelques critères de rupture de
Mohr-Coulomb déterminés
expérimentalement.
Pentes très proches
On peut voir que :
-La cohésion du matériau : C varie selon
la roche
-La pente des droite : μ = tanφ qui est le
coefficient de frottement interne varie
peu.
dolomite
diabase
quartzite
granite
calcaire
C variables
marbre
Grès de Berea
Grès de Gosford
Donc les plans de
fracture ont des
angles voisins,
quelque soit la
cohésion de la roche.
e
Angl
d
i
t io n
e fr i c
e
n t e rn
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RHEOLOGIE
2. LES COMPORTEMENTS DES ROCHES
2. 1. LES ROCHES CASSANTES OU COMPETENTES
L’adjectif compétent s’applique aux roches et aux couches les moins déformables,
s’applique aux roches et aux couches qui, dans des conditions données, sont plus aptes à
se rompre qu’à se déformer.
Ce sont des roches cassantes, qui peuvent se déformer faiblement de façon élastique voire
même plastique avant la rupture. Leur déformation est discontinue et aboutit à une faille.
2. 2. LES ROCHES DUCTILES
Adjectif qui s’applique aux roches capables de s’étirer sans se rompre.
Elles subissent des déformations continues, élastiques et plastiques, sans rupture qui
peuvent aboutir à des plissements.
Le comportement d’une roche dépend de plusieurs paramètres :
-La nature minéralogique de la roche (fixée)
-La température
-La pression de confinement
-La vitesse de déformation
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RHEOLOGIE
2. 3. LES PARAMETRES DE MODIFICATION DU COMPORTEMENT
2. 3. 1. la pression
D’après les études expérimentales (graphe),
plus la contrainte principale mineure σ3 est
forte, plus le seuil de rupture est atteint
tardivement ou même disparaît :
σ3 est responsable d’une pression de
confinement qui stabilise la cohésion des
atomes constituants les édifices cristallins.
Ainsi, il est nécessaire d’augmenter la
contrainte principale majeure afin de créer une
fracture.
Pour des pressions de confinement
supérieures à 30 Mpa, la fracturation n’est plus
accessible avec le matériel à disposition.
σ1 : contrainte majeure (principale)
σ2 : contrainte moyenne (secondaire)
σ3: contrainte mineure (tertiaire)
σ1
(σ1-σ3)
Mpa
σ3
σ2
Pour T=25°C
σ3=100Mpa
σ3=35Mpa
σ3=10Mpa
σ3=0,1Mpa
rupture
rupture
ε en %
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2. 3. LES PARAMETRES DE MODIFICATION DU COPORTEMENT
2. 3. 2. la température
Pour des contraintes compatibles à
l’apparition d’une rupture (σ3 <30MPa
en laboratoire), une augmentation de
température permet :
-d’accroître le domaine de
déformation plastique qui précède
la rupture.
-D’obtenir une même déformation
pour
une
différence
de
contraintes (appelée contrainte
différentielle) plus faible.
-De baisser le seuil de plasticité en
amollissant le matériel.
(σ1-σ3)
Mpa
Pour σ3=40Mpa
300°C
rupture
500°C
rupture
rupture
600°C
ε en %
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2. 3. LES PARAMETRES DE MODIFICATION DU COPORTEMENT
2. 3. 3. la vitesse de déformation
D’après cette étude, plus la vitesse de
déformation est importante
(augmentation de la vitesse de
charges), plus :
-La déformation plastique
diminue
-La déformation élastique
augmente
-Le seuil de rupture est atteint
pour de faibles déformations
-la roche devient cassante
Vi
cro tess
iss es
an de
tes ch
ar
g
σ
rupture
e
rupture
rupture
n
atio
m
r
o
f
Dé tique
s
l
éa
D
que
lasti
p
n
o
mati
éfor
ε en %
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RHEOLOGIE
3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE
3. 1. DELIMITATION DES DOMAINES DE DEFORMATION
L’étude expérimentale de
résistance des matériaux
permet d’appréhender le
comportement des roches de
la lithosphère.
On utilise des minéraux
caractéristiques de roches de
la lithosphère terrestre (quartz
et feldspaths pour le granite et
les quartzites) et des minéraux
caractéristiques des roches
mantelliques (olivine pour la
péridotite.
La loi de Byerlee définit le
comportement cassant.
La loi de fluage détermine le
comportement ductile.
Profil rhéologique d’une
lithosphère continentale
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RHEOLOGIE
3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE
3. 1. DELIMITATION DES DOMAINES DE DEFORMATION
La croûte, à une profondeur de 20km pour une contrainte
différentielle de 200MPa, se déforme de façon élastique.
A une profondeur de 5km pour une contrainte de
200MPa, elle est cassante (seuil de rupture dépassé).
A une profondeur de 30km pour une contrainte de
200MPa, elle est ductile : cela provient de l’augmentation
de température et du changement de minéralogie.
Le manteau se déforme de façon élastique (domaine vert),
il est cassant à 50km pour une contrainte de 1000MPa
mais ductile à une profondeur supérieure à 60km pour de
faibles contraintes.
La pression de confinement augmentant, les roches
mantelliques résistent mieux aux déformations que les
roches crustales.
A la base de la lithosphère, la déformation devient ductile
du fait de la température (isotherme 1300°C) proche de la
température de fusion de l’olivine.
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3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE
3. 2. LOI DE BYERLEE
Symbole
Contrainte ƬEn 103 bars
de
cisaillement
Granite fracturé
Gabbro, dunite
Grès
granodiorite
Gneiss, mylonite
Déterminés expérimentalement, la loi
de Byerlee détermine les glissement
entre deux compartiments séparés par
une fracture préexistante.
Ce critère de glissement est presque
indépendant de la lithologie.
Ƭ
=
60
+
0,6
σn
Quartz, monzonite
Chlorite, serpentinite
Granite
Kaolinite, illite,
montmorillonite, vermiculite
Ƭ = 0,85 σn ; σn < 200 MPa
Ƭ = 60 + 0,6 σn ; σn > 200 MPa
Type de roche
Ƭ
=
85
0,
σn
200 MPa
σn
En 103 bars
Contrainte
normale
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3. LES ENVELOPPES RHEOLOGIQUES DE LA TERRE
3. 3. LOI DE FLUAGE
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deuns.chez.com/sciences/matiere/e5.gif http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9formation_%C3%A9lastique
http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/dosgeol/01_decouvrir/07_principes/05a.htm
http://planet‐terre.ens‐lyon.fr/planetterre/XML/db/planetterre/metadata/LOM‐profils‐
rheologiques.xml
perso‐sdt.univ‐brest.fr/~jperrot/tectonophysic/rheo_final.pdf
http://www.techno‐science.net/?onglet=glossaire&definition=6761
A. Foucault et J.F. Raoult, Dictionnaire de géologie, Masson
Dossier Hors Série Pour la Science, juin 1995, L'Ecorce Terrestre.
www.lgit.univ‐savoie.fr/.../lste3/hassani_lste3_ChapIV.pdf
www.lgit.univ‐savoie.fr/PageHTML/.../hassani_lste3_TP2.pdf