Chapitre 0 – Ensembles de nombres

Chapitre 0
Ensembles de nombres
Dénition. L'ensemble des nombres entiers naturels, noté N, correspond à l'ensemble de
tous les nombres entiers positifs, incluant 0.
Notation. On note
N∗ l'ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs (excluant
0).
Exemple.
174, 13, 58721 sont des nombres entiers naturels.
Dénition. L'ensemble des nombres entiers relatifs, noté Z, correspond à l'ensemble de tous
les nombres entiers.
Exemple.
−174, 13, −58721, 0, 17542 sont des nombres entiers relatifs.
Propriété. L'ensemble des nombres entiers naturels est contenu dans l'ensemble des nombres
entiers relatifs : N ⊂ Z.
Démonstration. La preuve est évidente.
Dénition. L'ensemble des nombres rationnels, noté Q, correspond à l'ensemble des quotients
de nombres entiers relatifs par des nombres entiers naturels non nuls.
On a : Q =
Exemple.
n
p
q |p
,
13
2
−174
523
o
∈ Z, q ∈ N∗ , P GCD(p, q) = 1 .
, −58721, 0, 17542 sont des nombres rationnels.
Propriété. L'ensemble des nombres entiers relatifs est contenu dans l'ensemble des nombres
rationnels : Z ⊂ Q.
1
2
CHAPITRE 0.
ENSEMBLES DE NOMBRES
Démonstration. La preuve est évidente, il sut d'écrire un nombre entier relatif n comme le
quotient n1 .
Dénition. L'ensemble des nombres réels, noté R, correspond à l'ensemble des nombres pouvant être représentés par une partie entière et un nombre ni ou inni de décimales.
Exemple.
−174
523
, π , 0, 17542 sont des nombres réels.
Propriété. L'ensemble des nombres rationnels est contenu dans l'ensemble des nombres réels :
Q ⊂ R.
Démonstration. La preuve est évidente.
Propriété.
√
2 est un nombre réel qui n'est pas rationnel :
Démonstration. Supposons par l'absurde que
existe p ∈ Z et q ∈ N tels que
∗
√
2=
p
q
√
√
2 ∈ R\Q
2 est un nombre rationnel. Cela signie qu'il
et P GCD(p, q) = 1 (an que la fraction soit irréductible).
On a alors :
√
p
q
√ 2
p2
( 2) = 2
q
p2
2= 2
q
2=
2q 2 = p2
On en tire que p2 est divisible par 2, donc p est divisible par 2. Il existe donc p0 ∈ Z tel que
p = 2 × p0 .
On en tire : 2q 2 = p2 = (2p0 )2 = 4p02 , et donc : q 2 = 2p02 . Il suit que q 2 est divisible par 2,
donc q est divisible par 2.
Comme p et q sont tous deux divisibles par 2, on a : P GCD(p, q) ≥ 2, ce qui contredit
l'hypothèse de départ.
√
2 n'est donc pas un nombre rationnel.
Conclusion : Les inclusions successives
On a donc les inclusions successives suivantes : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.