DS5

DS4(v1) - Maths - 1S2 - 13/03/2015
durée : 1 h - calculatrice autorisée
La présentation et la qualité de rédaction seront prises en compte dans la note
EXERCICE 1
La suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par :
(5 points)
u n = n 2 − 9n − 20
1. Calculez u 0 , u 1 , u 2 , u 3 et u 4 . Que remarquez-vous ?
2. Étudiez le sens de variation de la suite (u n ) et montrer qu’elle est croissante pour n > 4 :
a) en utilisant le signe de u n+1 − u n
b) en étudiant les variations de la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = x 2 − 9x − 20.
EXERCICE 2
Étudier dans chaque cas le sens de variations de la suite définie explicitement en fonction de n :
a) u n =
4n−1
3
b) u n =
(5 points)
3n + 2
n +1
(5 points)
un
Soit (u n ) la suite définie sur N par u 0 = 1 et par : u n+1 =
.
1 + un
On veut déterminer son sens de variation grâce à une suite auxiliaire, (v n ), définie pour tout entier naturel n,
1
par : v n =
un
1. Montrer que (v n ) est une suite arithmétique dont vous donnerez la raison et le terme initial.
EXERCICE
3
2. En déduire une expression de v n , puis de u n , en fonction de n.
3. En déduire le sens de variation de (u n ) .
EXERCICE 4
(5 points)
Une roue de loterie est partagée en deux secteurs verts, cinq secteurs blancs et n secteurs rouges ( n entier non
nul).
Après avoir misé 10 e, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe.
Chaque secteur a la même probabilité de s’arrêter devant ce repère :
— si le secteur repéré est vert, le joueur reçoit 40e ;
— si le secteur repéré est blanc, il récupère sa mise ;
— si le secteur est rouge, il perd sa mise.
Soit X n la variable aléatoire égale au gain du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité.
2. L’organisateur de la loterie rentre dans ses frais si E (X n ) ≤ −2.
Déterminer le nombre minimum de cases rouges qu’il doit prévoir pour ne pas perdre d’argent.
Page 1 sur 4
DS4(v2) - Maths - 1S2 - 13/03/2015
durée : 1 h - calculatrice autorisée
La présentation et la qualité de rédaction seront prises en compte dans la note
EXERCICE 1
La suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par :
(5 points)
u n = n 2 − 9n − 20
1. Calculez u 0 , u 1 , u 2 , u 3 et u 4 . Que remarquez-vous ?
2. Étudiez le sens de variation de la suite (u n ) et montrer qu’elle est croissante pour n > 4 :
a) en utilisant le signe de u n+1 − u n
b) en étudiant les variations de la fonction définie sur [0; −∞[ par f (x) = x 2 − 9x − 20.
EXERCICE 2
Étudier dans chaque cas le sens de variations de la suite définie explicitement en fonction de n :
a) u n =
3n−1
4
b) u n =
(5 points)
3n + 5
n +2
(5 points)
un
Soit (u n ) la suite définie sur N par u 0 = 1 et par : u n+1 =
.
1 + un
On veut déterminer son sens de variation grâce à une suite auxiliaire, (v n ), définie pour tout entier naturel n,
1
par : v n =
un
1. Montrer que (v n ) est une suite arithmétique dont vous donnerez la raison et le terme initial.
EXERCICE
3
2. En déduire une expression de v n , puis de u n , en fonction de n.
3. En déduire le sens de variation de (u n ) .
EXERCICE 4
(5 points)
Une roue de loterie est partagée en trois secteurs verts, quatre secteurs blancs et n secteurs rouges ( n entier
non nul).
Après avoir misé 10 e, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe.
Chaque secteur a la même probabilité de s’arrêter devant ce repère :
— si le secteur repéré est vert, le joueur reçoit 40e ;
— si le secteur repéré est blanc, il récupère sa mise ;
— si le secteur est rouge, il perd sa mise.
Soit X n la variable aléatoire égale au gain du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité.
2. L’organisateur de la loterie rentre dans ses frais si E (X n ) ≤ −2.
Déterminer le nombre minimum de cases rouges qu’il doit prévoir pour ne pas perdre d’argent.
Page 2 sur 4
DS4(v1) :correction
EXERCICE
1
1. En utilisant la calculatrice, on obtient : u 0 = −20, u 1 = −28, u 2 = −34, u 3 = −38 et u 4 = −40.
La suite (u n ) semble décroissante.
2. a) Étudions le signe de :u n+1 − u n = (n + 1)2 − 9(n + 1) − 20 − n 2 + 9n + 20 = 2n + 1 − 9n − 9 + 9n = 2n − 8.
Or : 2n − 8 > 0 ⇔ 2n > 8 ⇔ n > 4 . Donc, la suite (u n ) est croissante pour : n > 4.
b) Soit : x ∈ [0; +∞[ .La fonction f définie par f (x) = x 2 − 9x − 20 , comme fonction polynôme est dérivable
sur R, donc sur R+ .
·
·
·
·
9
9
0
f (x) = 2x − 9. Donc, f est décroissante sur 0;
( 2x − 9 < 0) et croissante sur
; +∞ .
2
2
On peut en déduire que sur N, la suite est croissante pour n ≥ 5, soit n > 4.
EXERCICE 2
4n−1
4n 4n−1 4n−1
4n−1
a) u n =
: calculons u n+1 − u n =
−
=
× 3 = 4n−1 > 0.
(4 − 1) =
3
3
3
3
3
Donc, la suite (u n ) est croissante sur N.
3n + 2
3x + 2
b) u n =
: soit x ∈ R+ . Étudions les variations de la fonction f (x) =
. Cette fonction , comme foncn +1
x +1
tion rationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition.
3(x + 1) − (3x + 2)
1
f 0 (x) =
=
> 0. Donc f est croissante sur R+ .
2
(x + 1)
(x + 1)2
On en déduit que (u n ) est croissante sur N.
EXERCICE
3
1. Exprimons v n+1 en fonction de v n :
µ
¶
1 + un
1
1
1
=
=
v n+1 =
= v n + 1.
(1 + u n ) = v n 1 +
u n+1
un
un
vn
D’après : une suite (u n ) est arithmétique sur N lorsqu’il existe un réel r tel que : u n+1 = u n + r .
On peut alors écrire : u n = u 0 + nr .
1
Donc : (v n ) est une suite arithmétique de raison r = 1 et de terme initial : v 0 =
= 1.
u0
1
1
.
2. On en déduit : v n = 1 + n × 1 = 1 + n . Puis : u n =
=
vn
1+n
1
1
−1
3. Calculons : u n+1 − u n =
−
=
< 0 pour n ∈ N. Donc, (u n ) est décroissante sur N.
n + 2 n + 1 (n + 1)(n + 2)
EXERCICE 4
1. Déterminons la loi de probabilité en calculant les probabilités pour chaque secteur :
2
Loi de probabilité :
— Secteur vert : p v =
et le gain est de 30e( 40-10)
7+n
5
xi
30
0
−10
— Secteur blanc : p v =
et le gain est de 0e( 10-10)
7+n
2
5
n
n
pi
— Secteur rouge : p v =
et le gain est de −10e( 0-10)
7+n
7+n
7+n
7+n
60
10n
60 − 10n
−8n + 74
2. Résolvons : E (X n ) ≤ −2 ⇔
−
≤ −2 ⇔
+2 ≤ 0 ⇔
≤0
7+n 7+n
7+n
7+n
n
37
4
+
0
7+n
−8n + 74
E (X n )+2
+∞
+
0
−
+
0
−
Page 3 sur 4
D’après le tableau de signes ci-contre
· :
·
37
E (X n ) ≤ −2 ⇔ E (X n ) + 2 ≤ 0 ⇔ n ∈
; +∞ .
4
Donc, à partir de n = 10, soit un nombre de cases rouges
minimum de 10, il ne perdra pas d’argent.
DS4(v2) :correction
EXERCICE
1
1. En utilisant la calculatrice, on obtient : u 0 = −20, u 1 = −28, u 2 = −34, u 3 = −38 et u 4 = −40.
La suite (u n ) semble décroissante.
2. a) Étudions le signe de :u n+1 − u n = (n + 1)2 − 9(n + 1) − 20 − n 2 + 9n + 20 = 2n + 1 − 9n − 9 + 9n = 2n − 8.
Or : 2n − 8 > 0 ⇔ 2n > 8 ⇔ n > 4 . Donc, la suite (u n ) est croissante pour : n > 4.
b) Soit : x ∈ [0; +∞[ .La fonction f définie par f (x) = x 2 − 9x − 20 , comme fonction polynôme est dérivable
sur R, donc sur R+ .
·
·
·
·
9
9
0
f (x) = 2x − 9. Donc, f est décroissante sur 0;
( x − 9 < 0) et croissante sur
; +∞ .
2
2
On peut en déduire que sur N, la suite est croissante pour n ≥ 5, soit n > 4.
EXERCICE 2
3n−1
3n 3n−1 3n−1
3n−1
3n−1
a) u n =
: calculons u n+1 − u n =
−
=
×2 =
> 0.
(3 − 1) =
4
4
4
4
4
2
Donc, la suite (u n ) est croissante sur N.
3x + 5
3n + 5
: soit x ∈ R+ . Étudions les variations de la fonction f (x) =
. Cette fonction , comme foncb) u n =
n +2
x +2
tion rationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition.
3(x + 2) − (3x + 5)
1
f 0 (x) =
=
> 0. Donc f est croissante sur R+ .
2
(x + 2)
(x + 2)2
On en déduit que (u n ) est croissante sur N.
EXERCICE
3
1. Exprimons v n+1 en fonction de v n :
µ
¶
1 + un
1
1
1
=
=
= v n + 1.
v n+1 =
(1 + u n ) = v n 1 +
u n+1
un
un
vn
D’après : une suite (u n ) est arithmétique sur N lorsqu’il existe un réel r tel que : u n+1 = u n + r .
On peut alors écrire : u n = u 0 + nr .
1
Donc : (v n ) est une suite arithmétique de raison r = 1 et de terme initial : v 0 =
= 1.
u0
1
1
.
=
2. On en déduit : v n = 1 + n × 1 = 1 + n . Puis : u n =
vn
1+n
1
1
−1
3. Calculons : u n+1 − u n =
−
=
< 0 pour n ∈ N. Donc, (u n ) est décroissante sur N.
n + 2 n + 1 (n + 1)(n + 2)
EXERCICE 4
1. Déterminons la loi de probabilité en calculant les probabilités pour chaque secteur :
3
Loi de probabilité :
— Secteur vert : p v =
et le gain est de 30e( 40-10)
7+n
4
xi
30
0
−10
— Secteur blanc : p v =
et le gain est de 0e( 10-10)
7+n
3
4
n
n
pi
— Secteur rouge : p v =
et le gain est de −10e( 0-10)
7+n
7+n
7+n
7+n
90
10n
90 − 10n
−8n + 104
2. Résolvons : E (X n ) ≤ −2 ⇔
−
≤ −2 ⇔
+2 ≤ 0 ⇔
≤0
7+n 7+n
7+n
7+n
n
0
7+n
−8n + 104
E (X n ) + 2
+∞
13
+
+
0
−
+
0
−
Page 4 sur 4
D’après le tableau de signes ci-contre :
E (X n ) ≤ −2 ⇔ E (X n ) + 2 ≤ 0 ⇔ n ∈ [13; +∞[.
Donc, à partir de n = 13, soit un nombre de cases rouges
minimum de 13, il ne perdra pas d’argent.