Entiers naturels.

Entiers naturels.
Chap 9
Exercices
"Tout penseur économe de ses pensées
est un penseur de radin."
P. Dac.
Vrai - Faux
Exercice 1.
Soient E et F des ensembles finis, et f une application de E dans F . Déterminer si les propositions
suivantes sont vraies ou fausses :
1. Si card(E) = Card(F ) alors f est bijective.
2. Si f est bijective alors Card(E) = Card(F ).
3. Card(E ∩ F ) = Card(E) + Card(F ) − Card(E ∪ F ).
4. R est dénombrable.
5. Si Card(E) = Card(F ). Pour montrer que f est bijective, il suffit de montrer que f est injective.
Niveau 1
Exercice 2.
Calculer les sommes suivantes :
10
10
10
X
X
X
1.
1 ;
2k ;
k2 ;
k=0
2.
2n
X
k=0
n.j ;
j=n
3.
4.
2n
X
i=n
2n
X
i=0
k=2
n
X
x ;
i=0
2i+1 ;
1+
32i
;
n
X
x2 ;
i=p
2n
X
i(i + 1) ;
n
X
i=0
x
i/2
i
X
k ;
k=10
n
X
i=0
2i
100
X
;
k ;
k=0
(−2)2i ;
k=0
2n−1
X
i=2
n
X
i=1
n
X
i=0
n
X
3i + 2n ;
1
3
4
k
;
n−1
X
k
3
k=0
Ent(i/2)
q 3k ;
k=0
2
(k + n)
k=1
10
X
;
2n i
X
3 + 22i
i=0
1
2i
2n
X
32i
;
2i+1
i=1
;
10
X
k=0
2
k+1
;
10
X
j=0
2.j 2
j Exercice 3.
ck
Soit
Snp
=
n
X
k p . Montrer par récurrence que :
k=1
Sn1
n(n + 1)
=
2
Sn2
n(n + 1)(2n + 1)
=
6
Sn3
=
n(n + 1)
2
2
j Exercice 4.
ck
Montrer que :
1. tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet un nombre premier pour diviseur.
2. tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est un nombre premier ou est un produit de nombres
premiers.
j Exercice 5.
ck
On définie la suite (un )n∈N par u0 = 0 et un+1 =
√
2 + un .
1. Montrer que 0 ≤ un ≤ 2 pour tout n de N.
2. Montrer que (un )n∈N est croissante. En déduire qu’elle converge.
3. Déterminer sa limite.
j
k
R
Exercice 6.
Soit a dans R+ et la suite (un )n∈N définie par :

 u0 = a
 un+1 = a +
1 − 2−n
un
2
1. Montrer que (un )n∈N est majorée par 2a.
2. Montrer que (un )n∈N est croissante.
3. En déduire que (un )n∈N converge. Déterminer sa limite.
j Exercice 7.
ck
En utilisant la méthode de simplification diagonale, calculer
S1 =
n
X
k=1
n
n n X
Y
Y
1
1
1
, S2 =
k.(k!), P1 =
1+
, P2 =
1− 2
k(k + 1)
k
k
k=1
k=1
Exercice 8.
Montrer que :
n
1. Si a est un entier naturel impair, ∀n ∈ N, 2n+1 / (a2 − 1)
2. Pour tout entier naturel n, (4n + 15n − 1) est un multiple de 9.
3. Pour tout entier naturel n, (32n+1 + 2n+2 ) est un multiple de 7.
2
k=2
Niveau 2
Exercice 9.
Montrer par récurrence que :
2
∀n ∈ N, ∃(pn , qn ) ∈ N ,
√
√
(2 + 3)n = pn + qn 3
3qn2 = p2n − 1
Exercice 10.
Démontrer les critères de divisibilité suivants :
– 2 : un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre des unités est : 0, 2, 4, 6 ou 8.
– 5 : un nombre est divisible par 5 lorsque le chiffre des unités est : 0 ou 5.
– 10 : un nombre est divisible par 10 lorsque le chiffre des unités est : 0.
– 4 : un nombre est divisible par 4 lorsque les deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
– 25 : un nombre est divisible par 25 lorsque les deux chiffres de droite sont : 00, 25, 50 ou 75.
– 100 : un nombre est divisible par 100 lorsque les deux chiffres de droite sont : 00.
– 8 : un nombre est divisible par 8 lorsque les 3 chiffres de droite forment un nombre multiple de 8
– 125 : un nombre est divisible par 125 lorsque les 3 chiffres de droite forment un nombre multiple
de 125.
– 3 : un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 3
– 9 : un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 9
– 11 : un nombre est divisible par 11 lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang pair
et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11
Niveau 3
Exercice 11.
Soit n ∈ N∗ et a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn des réels. Montrer que :
!
!2
! n
n
n
X
X
X
X
2
2
ai bi +
(ai bj − aj bi )2
bi =
1.
ai
i=1
i=1
i=1
v
! n
!
n
n
u
X
X
X
u
2. ai bi ≤ t
a2i
b2i
i=1
i=1
(Identité de Lagrange)
1≤i<j≤n
(Inégalité de Cauchy-Schwarz)
i=1
3. L’égalité dans l’expression précédente est réalisée uniquement si (a1 , . . . , an ) et (b1 , . . . , bn ) sont
proportionnels.
Exercice 12.
Calculer
2 −1
nX
√
2−E(
k)
où x 7→ E(x) désigne la fonction partie entière de x.
k=0
3
Applications à d’autres disciplines
Exercice 13 - Théorie des jeux - Le solitaire.
L’anniversaire de votre grand-mère approche et vous avez décidé de lui acheter un solitaire. Vous allez
dans votre boutique de jeu favorite et la vendeuse vous en propose de 2 types :
•
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• • • •
• • • •
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•
Solitaire A
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•
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• • •
• • •
• • •
•
Solitaire B
"Vous avez le solitaire classique à gauche, et à droite une nouveauté, beaucoup plus difficile." vous
dit-elle.
Là vous vous tâtez. Votre grand-mère est une stratège hors pair et peut-être que le second serait
plus à la hauteur de ses capacités. Vous devriez à ce moment là demander 1 heure de réflexion à la
vendeuse, sortir de votre poche ce super exercice, vous asseoir par terre dans un coin du magasin et
cogiter. Vous allez vous rendre compte que la vendeuse a raison dans une certaine mesure : le solitaire
B est plus compliqué. . . Tellement plus compliqué qu’il est impossible.
Partie I : le corps à quatre éléments F4 Considérons F4 l’ensemble contenant 4 éléments : 0, 1, a
et b. Sur cet ensemble, définissons une loi + et une loi × définie par le tableau suivant :
+
0
1
a
b
0
0
1
a
b
1
1
0
b
a
a
a
b
0
1
×
0
1
a
b
b
b
a
1
0
4
0
0
0
0
0
1
0
1
a
b
a
0
a
b
1
b
0
b
1
a
1. Vérifier que 0 est l’élément neutre pour + et 1 l’élément neutre pour ×.
2. Comment voit-on que + et × sont commutatives ?
3. Quelles sont les éléments inversibles pour + et × ? Quels sont leurs inverses ? On admettra pour
la suite que les deux lois sont associatives et que × est distributif par rapport à +.
4. Montrer que 1 + a + a2 = 0.
Partie II : Construction d’un invariant. Dans chacun des deux solitaires, donnons à chaque
emplacement de billes des coordonnées de façon a ce que la position centrale ait (0, 0) pour coordonnées.
On appelle position du solitaire, une configuration des billes sur le plateau. A chaque position P des
solitaires, on associe l’ensemble A(P ) de toutes les coordonnées des billes. Par exemple, à la position :
P1 =
• •
•
• •
• •
on associe l’ensemble :
A(P ) =
(0, 1), (1, 1), (−1, 0), (1, 0), (2, 0), (0, −1), (1, −1)
Notons a l’élément de F4 défini dans la partie 1 et posons, si P est une position d’un solitaire :
X
∆(P ) =
ax+y
(x,y)∈A(P )
1. Déterminer ∆(P1 ) où P1 est la position ci-dessous.
2. Montrer que la valeur de ∆ est identique avant ou après la prise horizontale ou verticale d’un
pion.
3. Calculer les valeurs de ∆ dans la position de départ du solitaire A et B.
4. Quelles sont les valeurs possibles de ∆ lorsqu’il ne reste qu’une seule bille sur le solitaire.
5. En déduire que le solitaire B ne peut-être fini.
5