Plus Grand Commun Diviseur

Plus Grand Commun Diviseur
1
1.1
Troisième
Diviseurs et multiples
Divisibilité
Définitions :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. S’il existe un entier naturel q tel que a=bq, alors on dit que :
b est un diviseur de a,
b divise a,
a est divisible par b,
a est multiple de b.
Exemple : 8×4=32 donc 8 est un diviseur de 32, 8 divise 32, 32 est divisible par 8, et 32 est un multiple de 8.
1.2
Nombres premiers
Définition :
Un entier naturel premier est un entier naturel qui possède deux et seulement deux diviseurs, 1 et lui-même.
Exemples :
2
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
PGCD
Définition :
Etant donné deux nombres entiers naturels non nuls a et b, le PGCD de a et de b est le plus grand de tous
les diviseurs communs de a et de b.
Notation : le PGCD de a et de b se note PGCD( a;b).
Exemple : Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Les diviseurs de 40 sont : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 et 40.
Les diviseurs communs à 24 et 40 sont : 1, 2, 4 et 8.
Donc PGCD( 24;40)=8
3
Algorithme des différences
Propriété : (admise)
Soient deux nombres entiers naturels non nuls a et b tels que a>b.
PGCD( a;b)=PGCD( a−b;b)
Exemple : PGCD(60-16;16)=PGCD(44;16)=4 donc PGCD( 60;16)=4.
Algorithme
Exemple
Déterminer PGCD(84;36).
On a deux entiers naturels
Non
Les ranger par
ordre décroissant
Oui
Les
nombres
sont-ils
égaux ?
Ce nombre est le
PGCD recherché
Calculer leur
différence
a
84
48
36
24
12
b
36
36
12
12
12
a−b
48
12
24
12
0
Le PGCD est la dernière
différence non nulle.
Remplacer le plus grand des
deux par leur différence
PGCD(84;36)=12
1/2
4
Algorithme d’Euclide
Propriété : (admise)
Soient deux nombres entiers naturels non nuls a et b tels que a>b, et soit r le reste de la division euclidienne
de a par b.
PGCD( a;b)=PGCD( b;r)
Exemple : 60=3×16+12. 12 est le reste de la division euclidienne de 60 par 16.
PGCD(16;12)=4 donc PGCD(60;16)=4.
Exemple
Algorithme
Déterminer PGCD(1 053;325).
On a deux entiers naturels
a
1053
325
78
On divise le
plus grand par
le plus petit
Le reste
vaut-il zéro ?
Non
reste
78
13
0
Le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD(1 053;325)=13
Oui
Le diviseur est le
PGCD recherché
On divise le diviseur
par le reste
5
b
325
78
13
Fractions irréductibles
5.1
Nombres premiers entre eux
Définition :
Deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur PGCD est 1.
Autrement dit, deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Exemple : Les diviseurs de 21 sont : 1, 3, 7 et 21.
Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4 et 8.
Le seul diviseur commun est 1. Donc 21 et 8 sont premiers entre eux.
5.2
Fraction irréductible
Définition :
Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
21
est une fraction irréductible.
8
Remarque : Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée.
Exemple : 21 et 8 sont premiers entre eux donc
5.3
Rendre une fraction irréductible
Méthode :
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Exemple : Simplifier
245
.
175
PGCD(245;175)=35.
245:35=7
et 175:35=5.
2/2
D’où
245 7
=
175 5
et
7
est irréductible.
5