brochure ECC N. Bouvier [v6.0]

VARIABLES ALÉATOIRES
121. On jette deux fois un dé. Quelles sont les valeurs que peuvent prendre les variables aléatoires
suivantes:
a) le produit des deux chiffres ;
b) la somme des deux chiffres ?
c) la différence entre le premier chiffre et le second ?
122. Soit X la variable aléatoire comptant la différence entre les nombres de piles et de faces lors d'une
répétition de n jets d'une pièce.
a) Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?
b) En admettant que la pièce soit bien équilibrée, donner la loi de probabilité de X, lorsque la
valeur de n est 5.
123. Une commission du Grand Conseil est formée de 9 libéraux et de 6 socialistes. On choisit au
hasard 3 personnes au sein de cette commission. Soit X, la variable aléatoire qui associe à chaque
résultat de l'expérience le nombre de libéraux choisis. Trouver les valeurs de X et sa fonction de
probabilité.
124. On choisit deux boules au hasard d'une urne en contenant 8 blanches, 4 noires et 2 oranges.
Supposons que l'on reçoive 2 francs pour chaque boule noire tirée et que l'on perde 1 franc pour
chaque boule blanche tirée. Désignons les "gains" nets par X. Quelles sont les valeurs possibles
pour X et quelles sont les probabilités associées à ces valeurs ?
125. Une pièce de monnaie est truquée de telle sorte que P(F) = 2/3 . On lance cette pièce jusqu'à
l'obtention d'un côté “FACE” ou de 4 côtés “PILE” consécutifs. Soit X, la variable aléatoire qui
associe à chaque résultat de cette expérience le nombre de lancers effectués.
Donner la loi de X.
126. On classe cinq hommes et cinq femmes selon leurs résultats lors d'un examen. On fait l'hypothèse
que tous les scores sont différents et que tous les classements possibles ont même probabilité. On
désigne le rang de la meilleure femme par X (par exemple X vaudra 2 si le meilleur résultat a été
obtenu par un homme et le suivant par une femme).
Trouver P{X = i}, pour i allant de 1 à 10.
127. On choisit au hasard et simultanément 2 pièces de monnaie parmi 2 pièces de 5 centimes et 3
pièces de 10 centimes. Soit X, la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience la
valeur totale en centimes des pièces choisies. Trouver les valeurs que peut prendre cette variable
aléatoire, sa fonction de probabilité, et l'espérance de la valeur totale.
128. On jette de façon indépendante deux dés cubiques, disons A et B, bien équilibrés, dont les faces
portent les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Si a et b désignent les chiffres montrés respectivement par A et
B lors d'un jet, on appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la quantité | a – b |.
a) Déterminer la probabilité image (loi de probabilité) de la variable aléatoire X.
b) Calculer son espérance mathématique et son écart-type.
129. Un examen est passé sous la forme d'une liste de six questions à trois choix multiples chacune.
Un étudiant répond au hasard à cet examen. La variable aléatoire X compte le nombre de réponses
correctes.
a) Déterminer la loi de X.
b) Quelle est la probabilité que l'étudiant obtienne au moins 3 bonnes réponses ?
c) Quels sont l'espérance et l'écart-type de sa note si chaque réponse correcte rapporte un
point?
d) Si l'examen ne peut comporter que six questions, quel doit être le nombre minimal de choix
multiples pour que la probabilité d'obtenir, en répondant au hasard, une note égale ou
supérieure à 1 ne dépasse pas 50% ?
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130. Dans un concours télévisé, on distribue 50 enveloppes dont 10 renferment un prix. Une personne
reçoit 3 enveloppes. Si X est la v.a. qui donne le nombre x de prix gagnés, définir la fonction de
probabilité de X.
131. Dans le cadre d'une enquête sociologique, on a déterminé l'Univers (U) de l'expérience aléatoire
consistant à choisir au hasard une famille de 4 enfants et à noter le sexe des enfants (g ou f) en
commençant par le plus âgé.
a) Donner cet ensemble U.
b) Déterminer l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X donnant le nombre
de filles dans la famille choisie.
c) En supposant que les événements élémentaires de U sont équiprobables, définir la fonction
de probabilité f(x) et en tracer le graphe.
d) Définir la fonction de répartition F(x) et en tracer le graphe.
e) Calculer les probabilités suivantes:
(1) P{X > 1}
(2) P{X ≥ 2}
(3) P{1 < X ≤ 4}
(4) P{1 ≤ X < 4}
132. La fonction de répartition F de la variable aléatoire X définie dans Ù est donnée par:
0
, si x < 0

0,5 , si 0 ≤ x < 1

0,6 , si 1 ≤ x < 2
F( x ) = 
0,8 , si 2 ≤ x < 3

0,9 , si 3 ≤ x < 4
1
, si 4 ≤ x
a) Donner la loi de X .
b) Représenter graphiquement la fonction de probabilité de X .
c) Représenter graphiquement F .
133. Vingt jetons sont numérotés de 1 à 20. On en tire quatre au hasard. La variable aléatoire X désigne
le nombre de jetons tirés dont le numéro est supérieur à celui de tous les jetons restés dans le sac
a) Déterminer la loi de X.
b) Calculer E(X).
134. Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de chacune des distributions
suivantes:
X
P( X = x i )
Z
P( Z = zi )
2
1
3
1
0,4
3
1
2
3
0,1
11
1
6
4
0, 2
Y
P( Y = yi )
−5
1
4
1
1
2
−4
1
8
2
1
8
5
0,3
135. Dans une usine, la v.a. X indiquant le nombre d'accident qui se produisent pendant une journée a
comme distribution:
X
P( X = x i )
0
0, 85
1
0,07
2
0, 04
3
0, 02
4
0, 01
5
0,01
a) Calculer le nombre moyen d'accidents par journée de travail.
b) Déterminer l'écart-type de la v.a. X.
c) Pour une journée donnée, calculer la probabilité que le nombre d'accidents soit à au plus un
écart-type de la moyenne.
– 24 –
136. Le nouveau propriétaire d'un kiosque à journaux a observé et noté, chaque jour au cours de ses 14
premières journées de travail le nombre X de demandes pour un quotidien. Il a obtenu le tableau
des fréquences suivant:
nombre de demandes par
jour
nb. de jours où ce nb. de
demandes a été observé
5
6
7
8
9
10
1
1
4
5
1
2
Sur la base de ces données:
a) Quelle distribution de probabilité va-t-il assigner à X ?
b) Calculer la vente moyenne quotidienne espérée.
137. Soit X une v.a. discrète dont voici la distribution:
X
P( X = x i )
0
0, 2
−1
0, 2
1
0, 5
3
0,1
Calculer:
a) E(X)
b) E(3X–1)
c) E(X2)
d) V(X)
138. Dans un certain supermarché, l'entrée des clients – par heure – se distribue comme suit (v.a.
discrète):
X
14
P( X = x i ) 0, 05
15
0,1
16
0,15
17
18
19
0,15 0, 25 0,15
20
0,1
21
0, 05
a) Si le nombre d'arrivées par heure à un autre supermarché de plus grande importance est
défini par la relation Y = X + 6, déterminer la distribution de Y.
b) Calculer E(X) et E(Y).
139. Vous êtes distributeur d'un article que vous vendez 250 francs et qui vous a coûté 175 francs. Les
frais de vente sont évalués à 10% du prix de vente. Cet article est en vente chez vos concurrents au
même prix. Donc si vous ne l'avez pas en stock, le consommateur peut facilement se le procurer à
la porte voisine. A la fin de la journée, vous constatez qu'il ne vous reste plus que 5 unités en stock.
Calculez le manque à gagner pour le jour suivant dû au fait que vous n'avez pas stocké assez tôt, si
la demande pour cet article suit la distribution suivante:
X
P( X = x i )
5
0,1
6
0, 2
7
0,4
8
0, 2
9
0,1
140. La probabilité qu'un article produit par une usine soit défectueux est de 0,02. Un chargement de
10˙000 articles est entreposé. Calculer le nombre moyen d’articles défectueux et l'écart-type.
141. Un joueur lance deux pièces de monnaie. Il gagne 5 francs s'il obtient deux fois FACE, 2 francs
s'il obtient une fois FACE et 1 franc s'il n'obtient aucune fois FACE.
a) Calculer l'espérance de ses gains.
b) Combien doit-il payer pour jouer si le jeu doit être équitable ?
142. Une urne contient trois boules numérotées 1, 2 et 3. On en tire une, on relève son numéro puis on
la remet dans l'urne. On recommence l'opération jusqu'à ce qu'on obtienne une boule déjà tirée. X
désigne le nombre de tirages effectués. Donner la loi de X.
143. Un échantillon de trois objets est choisi au hasard dans une boîte en contenant vingt, dont quatre
sont défectueux. Trouver l'espérance du nombre d'objets défectueux dans l'échantillon.
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144. On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ce dé est truqué de façon
que les probabilités d'obtenir 1, 2, 3, 4, 5 et 6 soient les termes consécutifs d'une suite géométrique
de raison 2.
a) Quelles sont les probabilités d'obtenir chacune des faces en lançant une fois le dé ?
b) On lance deux fois le dé et l'on note le couple de points obtenu. Soit U l'ensemble des
couples possibles et X la variable aléatoire qui, à chaque couple, fait correspondre la somme
de ses éléments.
(1) Déterminer P, la loi de probabilité de X, et F, la fonction de répartition de X.
(2) Calculer P{2 < X < 6}, F(4) et E(X).
145. On considère deux variables aléatoires indépendantes, X et Y. X prend les valeurs 0 et 1 avec des
probabilités respectives 1/2 et 1/2. Y prend les valeurs 1, 2 et 3 avec les probabilités respectives 1/4,
1/4 et 1/2.
a) Calculer les espérances mathématiques E(X) et E(Y).
b) Calculer la loi de probabilité de Z = X + Y, c'est-à-dire calculer P{Z = k}, où k est un entier
naturel, variant de 1 à 4. Calculer l'espérance mathématique E(Z).
146. Dans une urne, on place trois boules identiques numérotées de 1 à 3. On tire une boule au hasard.
• Si un nombre différent de 3 apparaît, on remet la boule dans l'urne et l'on tire à nouveau une
boule au hasard. On désigne par X le nombre porté par cette dernière boule.
• Si le nombre 3 apparaît, on remet la boule dans l'urne et l'on procède à deux tirages au
hasard, successifs, en remettant chaque fois la boule tirée dans l'urne. On désigne par X la
somme des nombres obtenus lors des deux derniers tirages.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir X = 3 et X = 4 ?
b) Quelle est la probabilité que la première boule tirée ait porté un nombre différent de 3, si l'on
sait que X = 1 ? Même question pour X = 2, et pour X = 3.
c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
d) Calculer l'espérance mathématique, E(X).
e) Chaque point tiré rapporte un gain de 10 francs. Soit Y le gain obtenu après chaque essai.
Calculer E(Y).
147. On considère un dé à six faces tel que une face est marquée 1, deux faces sont marquées 2 et trois
faces sont marquées 3.
Chaque face a la même probabilité d'apparaître. On lance le dé deux fois de suite (en admettant que
les deux lancers sont indépendants).
On appelle X la variable aléatoire réelle qui, à un couple de numéros (obtenu par deux lancers
successifs), fait correspondre la somme de ces numéros.
a) Déterminer la loi de probabilité de X, puis sa fonction de répartition.
b) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X.
148. Un vendeur estime que la probabilité qu'il réalise une vente lorsqu'il appelle un client est de 0,2. Il
reçoit une prime de 100 francs pour chacune des deux premières ventes de chaque jour. Il reçoit
un montant de 200 F pour chacune des ventes suivantes réalisées dans la même journée.
En supposant qu’il appelle 6 clients par jour,
a) quel est son gain quotidien espéré ?
b) quel est l'écart-type du gain quotidien ?
c) quelle est la probabilité que son gain soit à plus d'un écart-type de l'espérance ?
149. Un homme lançant une fléchette sur une cible reçoit 10 points si sa flèche est à moins de 1 cm du
centre de la cible, 5 points si elle s'en éloigne de 1 à 3 cm et 3 points si elle s'en éloigne de 3 à 5
cm. Trouver l'espérance du nombre de ses points si les lancers sont distribués aléatoirement sur la
cible dont le rayon est de 8 cm.
150. Une compagnie d'assurance établit un contrat stipulant qu'une somme d'argent A doit être versée si
un événement E se produit dans un intervalle d'un an. La compagnie estime que la probabilité que
E se produise en l'espace d'un an est p.
Comment calculer la prime d'assurance x de façon que le bénéfice représente 10% de A ?
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151. Lors d'un procès en attribution de paternité, un expert témoigne que la durée de la grossesse, en
jours, est de distribution approximativement normale avec paramètres µ = 270 et σ2 = 100.
L'un des pères putatifs est en mesure de prouver son absence du pays pendant une période
s'étendant entre le 290ème et le 240ème jour précédant l'accouchement.
Quelle est la probabilité que la conception de l'enfant ait eu lieu plus de 290 jours avant sa
naissance ou moins de 240 jours avant ?
152. Si X est une variable aléatoire normale de paramètres µ = 3 et σ2 = 9, calculer:
a) P{2 < X < 5}
b) P{X > 0}
c) P{| X – 3 | > 6}.
153. L’association des employés d’une entreprise organise tous les ans une loterie pour ses bonnes
oeuvres. Dès que le champagne a détendu l’atmosphère, traditionnellement, on met en vente aux
enchères 25 billets et on tire au sort les cinq billets gagnants d’un voyage organisé sous le soleil
des tropiques. A la troisième coupe, un secrétaire de direction, emporté par sa passion pour la
juriste qui s’occupe de la tombola, achète 3 billets d’un coup, se proposant, en cas de sort
favorable au point de le faire gagner plus d’une fois, de l’inviter dans les îles.
a) Combien, en moyenne, ce secrétaire peut-il espérer obtenir de billets gagnants ?
b) Calculer sa probabilité de réussite (en considération que la juriste accepte, le cas échéant, sa
proposition).
c) Pendant combien d’années ce secrétaire doit-il recommencer son opération pour que la
probabilité de son départ à deux dépasse les 50% ?
154. On lance une pièce de monnaie 100 fois de suite. Quelle probabilité a-t-on d’observer…
a) …moins de 60 fois “pile” ?
b) …moins de 36 fois “pile” ?
c) …plus de 35 fois “pile”, mais moins de 60 fois “pile” ?
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