SECONDE 3 Durée : 1h30 MATHEMATIQUES NOM : Prénom : CORRECTION DU DEVOIR SURVEILLE La feuille d’énoncé est à rendre avec la copie. Exercice 1 (2 points) Factoriser A = 9x2 - 16 + (3x + 4)(3x - 2) et B = (4x - 1)2 - (x - 5)2 A=(3x-4)(3x+4)+(3x+4)(3x-2)=(3x+4)(3x-4+3x-2)=(3x+4)(6x-6) =6(3x+4)(x-1) (1 point) B=(4x-1+x-5)(4x-1-x+5)=(5x-6)(3x+4) (1 point) Exercice 2 (6 points) 1) x+4 1 x 1 - + < 12 6 3 4 1 1 ⇔ 4x-3+x+4<2 ⇔ 5x<1 ⇔ x< S=]-∞ ∞; [ 5 5 2) x+1 ≤ 3x+5 ⇔ -4 ≤ 2x ⇔ x ≥ -2 S= [-2 ; +∞ ∞[ (1 point) (1 point) 3) (x+1)² < (2x- 3)² ⇔ (x+1+2x-3)(x+1-2x+3)<0 ⇔ (3x-2)(-x+4)<0 3x-2=0 ⇔ x=2/3 -x+4=0 ⇔ x=4 x -∞ ∞ 2/3 4 +∞ ∞ 3x-2 - 0 + I + S=]-∞ ∞ ;2/3[ ∪ ]4 ;+∞ ∞[ -x+4 + I + 0 (2 points) P 0 + 0 1-2x ≥0 2-x 1-2x=0 ⇔ x=1/2 2-x=0 ⇔ x=2 x -∞ ∞ ½ 2 +∞ ∞ 1-2x + 0 - I S= ]-∞ ∞ ;1/2]∪ ∪]2 ;+∞ ∞[ 2-X + I + 0 Q + 0 - II + (2 points) 4) Exercice 3 Pour chacune des 8 questions suivantes, choisis la bonne réponse. (1 point par bonne réponse, -0,5 par mauvaise réponse ; 0 pour toute absence de réponse).(8 points). Cocher la bonne réponse en couleur. 1. Soit f la fonction qui à tout réel x associe la moitié de x. Quelle est l'affirmation exacte ? 7 est un antécédent de 14 5 est l'image de 10 18 est l'image de 9 14 est un antécédent de 7 et 9 est l’image de 18 -1- 2. Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = 3x - 2. Quelle est l'égalité exacte ? f(4) = 4 f(4) = 10 f(4) = 2 f(4) = 3x4-2 = 12-2=10 3. Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x2. Quelle est l'affirmation exacte ? 3 est l'image de 9 3 est le seul antécédent de 9 9 est l'image de 3 et de -3 f(3)= 3²=9 f(-3)=(-3)²=9 4. Soit f la fonction définie par la représentation graphique donnée sur la figure. Quelle est l'affirmation exacte ? f est définie sur [-2 ; 3] f est définie sur [-2 ; 4] f est définie sur [2 ; 3] 5. Soit f la fonction définie par la représentation graphique donnée sur la figure précédente : Quelle est l'affirmation exacte ? 0 est l'antécédent de 2 0 est l'image de 2 0 est l'image de -2 -2- 6. Soit f la fonction définie pour tout x par f(x) = 2x - 1. On appelle G la représentation graphique de f. Quel est le seul point contenu dans G ? A(5 ; 9) C(-1; 0) B(3 ; 2) 7. Soit f la fonction définie par la représentation graphique donnée sur la figure. Quelle est l'égalité exacte ? f(1) = 3 f(3) = 2 f(1,5) = 0 8. Soit f la fonction définie par la représentation graphique donnée sur la figure. Quelle est l'affirmation exacte ? L'équation f(x)=0 a une solution unique : -1 L'équation f(x)=0 n'a pas de solution. L'équation f(x)=0 a deux solutions : -1 et 1 -3- Exercice 4 (14 points) On considère la fonction f définie par sa représentation graphique ci-dessous. 1. Donner l’ensemble de définition de la fonction (0,5 point) 2. A l’aide de la représentation graphique de la fonction f, compléter le tableau suivant : (2,5 points) x f(x) -2 -1 -1 0 1 2 3 1 -1 3 3. Donner, s’il(s) existe(nt), les antécédents de -4, de 0 et de 3. (1,5 point) 4. Dresser le tableau de variations de la fonction f. (2 points) 5. Résoudre graphiquement les inéquations f(x)>0 et f(x) ≤ 3. (2 points) 6. La fonction f est définie par f(x)= x3-3x+1. A l’aide de votre calculatrice : a. Donnez l’image de 1,87 à 10-3 près(0,5pt) b. Donnez les antécédents de 0,5 à 101 près. (1,5 point) 7. Tracer à l’écran de la calculatrice la courbe représentative de g définie par g(x)=x²+1 sur [-2 ;2] a) Déterminer graphiquement le ou les points d’intersection des deux courbes.(1 point) b) Résoudre graphiquement g(x) ≤ f(x).(1 point) c) Déterminer par le calcul le (ou les) antécédents de 0 et 3 par g. (1,5 point) -4- Réponses à l’exercice 4 1. L’ensemble de définition de la fonction f est …… D= [-2 ;2] ……………………………. 3. Les antécédents de -4 :……∅………… 0 : -1,8, 0,3 et 1,5………… 3 :-1 et 2……………………… 4. Tableau de variations de f x −2 f(x) −1 1 3 −1 2 3 -1 5. f(x) > 0 ⇔ … x ∈ ]-1,8 ;0,3[ ∪ ]1,5 ;2] f(x) ≤ 3 ⇔ … x ∈ [-2 ;2] 6. a. L’image de 1,87 est …1,929 b. Les antécédents de 0,5 sont -1,8 , 0,2 et 1,6. 7. a)Les courbes se coupent en (-1,319149 ;2,6619246) et (0 ;1) b) g(x) ≤ f(x) ⇔ x ∈ [-1,319149 ;0] c) g(x)=0 ⇔ x²+1=0 ⇔ x²=-1 ce qui est impossible. S = ∅ g(x)= 3 ⇔ x²+1=3 ⇔ x²=2 ⇔ x= 2 ou x=- 2 S={- 2 ; 2 } -5-