quelques formules de dénombrement

dénombrement
combinatoire
quelques formules de dénombrement
nombre de manières de placer Amandine, Bertrand et Cécile sur un banc ?
permutations : il y a n! = 1 × 2 × . . . × n manières d’ordonner n éléments
urne avec 10 numéros, 3 tirages avec remise, nombre de tirages (ordonnés)
possibles ?
p-listes : le nombre de manières de fabriquer une liste (ordonnée) de n-éléments
tous compris entre 1 et p est p n
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dénombrement
combinatoire
quelques formules de dénombrement
10 candidats à une épreuve sportive, combien de podiums possibles ?
arrangements : le nombre de manières de classer p personnes choisies parmi n
est
n!
Apn = n × (n − 1) × . . . × (n − p + 1) =
(n − p)!
10 candidats pour trois postes identiques, combien de recrutements possibles ?
combinaisons : le nombre de manières de choisir p éléments parmi n est
!
n
n!
n × (n − 1) × . . . × (n − p + 1)
=
=
p × (p − 1) × . . . × 1
p!(n − p)!
p
attention : simplifier les factorielles aux numérateur/dénominateur!
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probabilités
rappel des définitions de base
évènements, loi de probabilité
expérience aléatoire, issue, univers Ω (fini, dénombrable, non dénombrable)
évènement A : partie de Ω (évènement élémentaire : partie à un élément)
évènement contraire Ā, union ("ou"), intersection ("et")
évènements incompatibles : si A ∩ B = ∅
probabilité : p : P(Ω) → [0; 1] telle que
p(Ω) = 1
et
conséquences :
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) si A, B incompatibles
0 ≤ p(A) ≤ 1 pour tout événement A
p(∅) = 0, p(Ω) = 1
p(Ā) = 1 − p(A) pour tout événement A
p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B) pour tous événements A, B
si des évènements sont indépendants : p(A ∩ B) = p(A) × p(B) (voir plus loin)
on parle d’espace probabilisé (Ω, p)
univers finis : p(A) = p(a1 ) + . . . + p(an )
équiprobabilité : p(A) =
card A
card Ω
univers continus : fonction densité, on remplace les sommes par des intégrales,
les événements élémentaires par les segments
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probabilités
rappel des définitions de base
exemples élémentaires
dé équilibré à 6 faces
A = « obtenir un nombre impair »,
B = « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » :
p(A) =
, p(B) =
, p(A ∩ B) =
, p(A ∪ B) =
radioactivité
probabilité que n atomes se désintègrent en une durée t :
pn =
Λn t n −Λt
e
n!
p(« moins de 3 atomes se désintègrent » ) = p0 + p1 + p2 + p3
p(« au moins 10 atomes se désintègrent ») = 1 − (p0 + ... + p9 )
proba uniforme sur [0, 1]
fonction densité ?
p(R) =
, p([0, 1]) =
, p([−1/2, 2/3]) =
p(0) = p(1/2) = p(5) =
remarque : pas de proba uniforme sur un ensemble infini discret
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