Correction du devoir de mathématiques n°8 Ex 44 p 219 Le cycle du

Correction du devoir de mathématiques n°8
Ex 44 p 219
Le cycle du feu a une durée totale de 50 secondes.
30 3
15
3
= . La probabilité qu'un feu soit rouge est
=
La probabilité qu'un feu soit vert est
.
50 5
50 10
5
1
=
La probabilité qu'un feu soit orange est
donc la probabilité qu'un feu ne soit pas orange est
50 10
1
9
1− =
. On étudie la répétition de 5 expériences identiques et indépendantes.
10 10
3 5 243
=
a. La probabilité que, en une semaine, l'automobiliste arrive toujours au vert est
=0,07776.
5
3125
b. Soit A l'événement : « en une semaine, l'automobiliste arrive au moins une fois quand le feu est
orange ».
̄ est :«en une semaine, l'automobiliste n'arrive jamais quand le feu est orange ».
L'événement contraire A
5
9
59049
=
Sa probabilité est
=0,59049
10
100000
La probabilité de l'événement A est alors 1 – 0,59049 = 0,40951.
()
( )
Exercice 2 :
1× x
qui vaut le tiers de l'aire du carré.On résout alors
2
1× x 1
2
2
= ⇔ x = . x doit prendre la valeur
l'équation :
pour arriver à ses fins.
2
3
3
3
2
1× x
( 1−x )
2.Chaque partie a la même aire égale à
. Le triangle hachuré a pour aire
.
2
2
La somme de toutes ces aires est égale à l'aire du carré.
1× x ( 1−x ) 2
On résout alors l'équation:3x
+
=1 ⇔ 3x + (1 – 2x + x2 ) = 2 ⇔ x2 + x – 1 = 0
2
2
Recherchons les éventuelles racines du trinôme du second degré x2 + x – 1.
Déterminons le discriminant Δ = 12 – 4×1×(-1) = 5.
Comme Δ >0 alors le trinôme admet deux racines :
−1−√5
x 1=
2
Cette solution ne convient pas car nous cherchons à déterminer un nombre positif.
−1+√ 5
x2 =
.
2
−1+√ 5
−1+√ 5
Le nombre
est positif et inférieur à 1 donc les trois aires sont égales pour x =
.
2
2
−1+√ 5
3.On se place dans le repère (A ; ⃗
; 0),
AB , ⃗
AD ). On a : A(0 ; 0), B(1 ; 0), D(0 ; 1), C (1;1), H(
2
−1+√ 5
3−√ 5
J(
; 1), I( 1,
)
2
2
x
1
AM
AC
M( x; y) ϵ (AC) ⇔ ⃗
et ⃗
sont colinéaires ⇔ x – y =0
y
1
Une équation cartésienne de (AC) est x – y = 0.
−1+√ 5
(JH) est parrallèle à (AD) donc une équation cartésienne de (JH) est x –
= 0.
2
−1+√ 5
−1+√ 5
Le point d'intersection K de ces deux droites a alors pour coordonnées (
;
)
2
2
1.Chaque partie a la même aire égale à
()
()
DM
M( x; y) ϵ (DI) ⇔ ⃗
( )
x
y−1
Une équation cartésienne de (DI) est
DI
et ⃗
( )
1
1−√ 5
2
sont colinéaires ⇔
1− √5
x – y +1= 0
2
1− √ 5
x – y +1= 0.
2
Vérifions si le point K appartient à (DI) :
−6+2 √ 5 2−2 √ 5 4
1− √ 5
−1+√ 5
−1+√ 5
+
+ = 0.
x
–
+1=
4
4
4
2
2
2
Les coordonnées de K vérifient l'équation de (DI) donc il appartient aussi à cette droite.
Les trois droites (DI), (AC) et (JH) sont donc concourantes.
Autre méthode :