Correction ex 2 TD 5 1S1: doc 5 2015-2016 − → − → Le plan est muni d’un repère orthornormé (O; i ; j ). Les points A, B et C sont de coordonnées respectives (8 ; 2), (4 ; −2) et (0 ; 2). C est le cercle de centre A et passant par B. P est le point de coordonnées (p ; 0) où p est un réel quelconque et on appelle Dp la droite (CP ). I Préliminaires 1. Déterminer une équation cartésienne de C. Soit M (x ; y) ∈ C. Alors (x − 8)2 + (y − 2)2 = (4 − 8)2 + (−2 − 2)2 ⇔ (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32. 2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection du cercle C avec chacun des axes de coordonnées. Cherchons d’abord l’ensemble des intersections de C avec l’axe des abscisses (Ox). Soit de M sont solutions du système M (x ; y) ∈ C ∩ (Ox). Alors les coordonnées : (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32 (x − 8)2 + (0 − 2)2 = 32 x2 − 16x + 36 = 0 ⇔ ⇔ y=0 y=0 y=0 x = 8 − 2√7 ou x = 8 + 2√7 y=0 √ √ On a donc C ∩ (Ox) = (8 − 2 7 ; 0) ; (8 + 2 7 ; 0) . ⇔ Cherchons ensuite l’ensemble des intersections de C avec l’axe des ordonnées (Oy). Soit les coordonnées de M sont solutions du système : M (x ; y) ∈ C ∩ (Oy). Alors y 2 − 4y + 36 = 0 (0 − 8)2 + (y − 2)2 = 32 (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32 ⇔ ⇔ x=0 x=0 x=0 Or le trinôme y 2 − 4y + 36 a un discriminant égal à −128, donc négatif donc il n’a pas de racine. On a donc C ∩ (Oy) = ∅. II Deux cas particuliers 1. On pose p = −6. (a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D−6 . D−6 = (CP ) où C (0 ; 2) et P (−6 ; 0). −− → −−→ M (x ; y) ∈ (CP ) ⇔ CP (−6 ; −2) et CM (x ; y − 2) colinéaires ⇔ −6 × (y − 2) − (−2) × x = 0 (condition de colinéarité) ⇔ 2x − 6y + 12 = 0 ⇔ x − 3y + 6 = 0 Une équation cartésienne de D−6 est donc x − 3y + 6 = 0. (b) Déterminer l’ensemble des intersections de D−6 et de C. Soit M (x ; y) ∈ C ∩ D−6 . Alors les coordonnées de M sont solutions du système : (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32 (3y − 6 − 8)2 + (y − 2)2 = 32 10y 2 − 88y + 168 = 0 ⇔ ⇔ x − 3y + 6 = 0 x = 3y − 6 x = 3y − 6 Or le trinôme 10y 2 − 88y + 168 a deux racines : y1 = 6 et y2 = 2, 8, ce qui donne x1 = 3y1 − 6 = 12 et x2 = 3y2 − 6 = 2, 4. On a donc C ∩ D−6 = {(12 ; 6) ; (2, 4 ; 2, 8)}. 2. Mêmes questions avec p = 1. (a) Cherchons d’abord une équation cartésienne de D1 . My Maths Space 1 sur 2 Correction ex 2 TD 5 1S1: doc 5 2015-2016 D1 = (CP ) où C (0 ; 2) et P (1 ; 0). −− → −−→ M (x; y) ∈ (CP ) ⇔ CP (1; −2) et CM (x ; y − 2) colinéaires ⇔ 1 × (y − 2) − (−2) × x = 0 (condition de colinéarité) Une équation cartésienne de ⇔ 2x + y − 2 = 0 D1 est donc 2x + y − 2 = 0. (b) Cherchons ensuite l’ensemble des intersections de D1 et de C. Soit : M (x ; y) ∈ C ∩ D1 . Alors lescoordonnées de M sont solutions du système (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32 (x − 8)2 + (−2x + 2 − 2)2 = 32 5x2 − 16x + 32 = 0 ⇔ ⇔ 2x + y − 2 = 0 y = −2x + 2 y = −2x + 2 2 trinôme 5x − 16x + 32 a discriminant égal à −384, donc négatif, il n’a donc pas de racines. On a donc C ∩ D1 = ∅. III Or le Cas général Déterminer, par le calcul, le nombre d’intersections entre Dp et de C selon les valeurs de p. 1. Cherchons d’abord une équation cartésienne de Dp . Dp = (CP ) où C (0 ; 2) et P (p ; 0). − −→ −−→ M (x ; y) ∈ (CP ) ⇔ CP (p ; −2) et CM (x ; y − 2) colinéaires ⇔ p × (y − 2) − (−2) × x = 0 (condition de colinéarité) ⇔ 2x + py − 2p = 0 Une équation cartésienne de Dp est donc 2x + py − 2p = 0. 2. Cherchons ensuite l’ensemble des intersections de Dp et de C. Soit M (x ; y) ∈ C ∩ Dp . Alors les coordonnées de M sont solutions du système : 2 4x2 2x (x − 8)2 + (y − 2)2 = 32 (x − 8)2 + 2 − (x − 8)2 + = 32 − 2 = 32 p2 p ⇔ ⇔ ⇔ 2x 2x + py − 2p = 0 y = 2 − 2x et p 6= 0 y =2− et p 6= 0 p p 4 1 + 2 x2 − 16x + 32 = 0 p y = 2 − 2x et p 6= 0 p 4 Examinons le discriminant du trinôme pour p 6= 0 ; 1 + 2 x2 − 16x + 32 = 0 p 4 ∆ = (−16)2 − 4 × 32 1 + 2 p 512 = 256 − 128 − 2 p 512 = 128 − 2 p 512 • ∆ > 0 ⇔ 128 − 2 > 0 ⇔ p2 > 4 ⇔ p ∈] − ∞; −2[∪]2 : +∞[ : C ∩ Dp = {2 points} p 512 • ∆ = 0 ⇔ 128 − 2 = 0 ⇔ p2 = 4 ⇔ p = −2 ou p = 2 : C ∩ Dp = {1 point} p 512 • ∆ < 0 ⇔ 128 − 2 < 0 ⇔ p2 < 4 ⇔ p ∈] − 2; 2[− {0} : C ∩ Dp = ∅ p . • Par ailleurs, pour p = 0, la droite (CP ) est l’axe des ordonnées et vu à la question 1.b, la droite ne coupe pas le cercle C. Donc C ∩ Dp = ∅ pour tout p ∈] − 2; 2[. My Maths Space 2 sur 2