Polynomes

Université Joseph Fourier, Grenoble.
L2 MAT235.
Problèmes de polynômes
Problème 1 Dans ce problème on cherche à résoudre une équation dans
Q[X], puis dans Z2 [X].
On considère l’équation
A = D(A)D2 (A)
dans Q[X].
a. Trouver les polynômes constants qui vérifie cette équation.
b. Déterminer le degré de D(A) et de D2 (A) en fonction de celui de A. En
déduire une condition sur le degré de A pour que A soit solution non nulle de
l’équation.
c. Déterminer les solutions de degré 3. Quel est l’ensemble de solutions de
l’équation?
d. Considérer la même équation dans Z2 [X].
Problème 2 Dans ce problème on étudie les racines d’un polynôme dans
Z5 [X], puis on détermine sa décomposition en produit d’éléments irréductibles.
Soit A = 3 + X + 3X 2 + 2X 4 ∈ Z5 [X].
a. Trouver l’ensemble V (A) de racines de A.
b. Calculer D(A) et déterminer, pour α ∈ V (A), si α est simple ou multiple.
c. Trouver la multiplicité de α, si α ∈ V (A).
d. Trouver une écriture de A comme produit d’une constante et des polynômes
irréductibles unitaires.
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Problème 3 Dans ce problème on étudie la décomposition en irréductibles
dans Q[X], dans R[X] et dans C[X] d’un polynôme dans Q[X].
a. Soit P ∈ Q[X] un polynôme unitaire dont les coefficients sont des nombres
entiers. Démontrer que toute racine rationnelle de P est nécessairement un
nombre entier.
On considère le polynôme dans Q[X]
A = −2 − 5X − 5X 2 − 2X 3 + X 4 + X 5 .
b. Trouver les racines rationnelles de A et la multiplicité de chacune de ces
racines.
c. En employant une division euclidienne, trouver la décomposition de A en
éléments irréductibles.
d. Déterminer la décomposition de A en éléments irréductibles dans R[X], puis
dans C[X].
Problème 4 Dans ce problème on considère le pgcd d’un couple de polynômes
dépendant d’un paramétre.
On considère les polynômes de Q[X]
A = X 4 + X 2 + r2
B = X2 − X + r
r ∈ Q.
a. Trouver le pgcd de A et B lorsque r = 0 et r = 1.
b. Maintenant supposons que r 6= 0 et r 6= 1. Montrer que B ne divise pas
A, puis que A et B n’ont pas de racine commune. En déduire le pgcd de A et B.
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