Contrôle n˚10 :-TS1 EX N˚1 :(6 points) Soit X une variable aléatoire

Contrôle n˚10 :-TS1
EX N˚1 :(6 points)
a
Soit X une variable aléatoire à densité f définie sur [1; e] par f (t) =
t
1. Déterminer a
2. Calculer une valeur approchée à 10−3 de P (X > 2)
Re
3. On rappelle que E(X) = 1 tf (t)dt . Montrer que E(X) = e − 1
EX N˚2 :(7 points)
−→ −→ −−→
−−→
1. Relativement au repère (A, AB, AC, AD), calculer les coordonnées du vecteur BG
puis du point G où G est le centre de gravité du triangle BCD
2. En déduire une représentation paramétrique de la droite (BG) dans ce repère
0
0
3. On admet que la droite (AG) a pour représentation paramétrique x = t3 , y = t3 ,
0
z = t3 avec t0 ∈ R. Retrouver par calcul que les droites (BG) et (AG) se coupent
en G
EX N˚3 :(7 points)
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
La durée de vie, exprimée en années, d’un oscilloscope est une variable aléatoire X
qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif.
1. On sait que P (X > 10) = 0, 286.
Montrer qu’une valeur approchée du réel λ est 0,125
2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
3. Un oscilloscope a déjà fonctionné durant 8 ans. Quelle est la probabilité pour qu’il
fonctionne encore 2 ans ?
4. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce
résultat.
1
Correction
EX N˚1 :(6 points)
a
Soit X une variable aléatoire à densité f définie sur [1; e] par f (t) =
t
Re
1. Puisque f est une densité de probabilité sur [1; e] donc 1 f (t)dt = 1
Re 1
Re
Re a
Or 1 f (t)dt = 1 dt = a 1 dt = a[ln(t)]e1 = a(ln(e) − ln(1)) = a
t
t
Donc a = 1
Re 1
2. P (X > 2) = 2 dt = ln(e) − ln(2) = 1 − ln(2) = 0, 70 à 10−3 près
t
Re
Re 1
3. E(X) = 1 t dt = 1 1dt = [t]e1 = e − 1
t
EX N˚2 :(7 points)
−−→ 2 −→ 2 −−→ −→ 2 −→ −→
2 −→
2 −→ 2 −→ 2 1 −−→
1. BG = BJ = (BC + CJ = (BA + AC) + CJ) = − AB + AC + × CD
3
3
3
3
3
3
3 2
−−→
2 −→ 2 −→ 1 −→ −−→
2 −→ 1 −→ 1 −−→
BG = − AB + AC + (CA + AD) = − AB + AC + AD
3
3
3
3
3
3
−−→ 2 1 1
Donc BG(− ; ; ) dans le repère
3 3 3
−→ −→ −−→ 1 −→ 1 −→ 1 −−→
Enfin AG = AB + BG = AB + AC + AD
3
3
3
−→ 1 1 1
1 1 1
Donc AG( ; ; ) et G( ; ; )dans le repère
3 3 3
3 3 3
2. une représentation paramétrique de la droite (BG) dans ce repère est
1 2
x= − t
3 3
1 1
y= + t
3 3
1 1
z = + t avec t ∈ R
3 3
2
3. On résout le système
t0
1 2
− t= ,
3 3
3
1 1
t0
+ t=
3 3
3
t0
1 1
+ t=
3 3
3
On multiplie toutes les lignes par 3 et on obtient
t0 + 2t = 1
t0 − t = 1
1
1
1
et on obtient comme solution t0 = 1 et t = 0 et donc x = , y = et z = ce
3
3
3
sont les coordonnées de G
EX N˚3 :(7 points)
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
1. On a P (X > 10) = e−10λ . Donc e−10λ = 0, 286 et −10λ = ln(0, 286)
ln(0, 286)
= 0, 125
Donc λ =
−10
2. On cherche P (X 6 0, 5) = 1 − e0,125×0,5 = 0, 061
3. On cherche PX>8 (X > 10) =
4. E(X) =
P (X > 10)
e−10λ
= −8λ = e−2λ = 0, 779
P (X > 8)
e
1
= 8 ans . C’est la durée de vie moyenne d’un oscilloscope
λ
3