TD: Aberrations d`un miroir sphérique

TD: Aberrations d’un miroir sphérique
1 Position du problème
On se propose d’étudier puis de tracer le trajet des rayons d’un miroir sphérique de rayon R, de centre O,
origine des axes, éclairé par un faisceau de rayons parallèles à l’axe Ox.
1. On considère l’un de ces rayons, d’ordonnée y. Calculer l’abscisse x de son arrivée sur le miroir, ainsi que
l’incidence θ sur celui-ci.
2. Calculer les rayons réfléchis. (On pourra pour cela calculer - en fonction de y ou de θ - à quelle abscisse le
rayon réfléchi coupe la droite d’équation y = ±ymax ).
3. Écrire un programme traçant ces rayons. On prendra R = 0,3 m et l’on considérera des rayons incidents
tels que y ∈ [−0, 25 ; 0, 25 m]. (On limitera le graphique à x ∈ [−0, 3 ; 0, 3 m] et y ∈ [−0, 3 ; 0, 3 m]).
4. Le foyer est-il bien défini ? La figure serait-elle semblable si les rayons, tous parallèles, attaquaient obliquement le miroir ?
Solution:
1. Un faisceau, parallèle à l’axe optique, d’ordonnée yM , arrive sur le miroir avec un angle θ = Arcsin( yRM )
en un point d’abscisse xM = R. cos(θ).
2. On néglige les doubles réflexions (pour les faisceaux incidents très éloignés de l’axe optique). Si yM > 0
(resp. yM < 0), ce faisceau est réfléchi vers le bas: yF = −ymax (resp. vers le haut: yF = +ymax ); il coupe
yM −yF
l’axe y = yF en xF = xM − tan(2.θ)
.
4. On voit que tous les faisceau réfléchis ne passent pas exactement par le même point. Cela est dû au fait que
le foyer image d’un miroir sphérique n’est bien défini que dans les conditions de Gauss (rayons proches de
l’axe optique, i.e. ouverture faible). Si les rayons étaient obliques, il faudrait effectuer une rotation de la
figure autour du centre du miroir. Le miroir restant invariant par cette rotation, l’allure de la figure serait
inchangée.
N.B. Pour avoir un foyer parfaitement défini, il aurait fallu un miroir parabolique.
2 Code avec Mathematica
Abérrations d’un miroir sphérique
In[1]:= R=0.3; xmax=0.3;ymax=0.3;
Dessin=Table[{},{k,-25,25}];
For[i=-25,i<=25,i++, If[i!=0, yM=i*0.01;theta=ArcSin[yM/R];xM=R Cos[theta]; phi=2*theta;
If[i>0, yF=-ymax;xF=xM-( yM+ymax)/Tan[phi], yF= ymax;xF=xM+(-yM+ymax)/Tan[phi]];
Dessin[[i+26]]=Graphics[Line[{{-xmax,yM},{xM,yM},{xF,yF}}]]]];
Show[Dessin,Axes->True,PlotRange->{{-xmax,xmax},{-ymax,ymax}}]
1
ISEN-Brest. Kany.
TD: Aberrations d’un miroir sphérique
Out[4]=
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*import math
import matplotlib.pyplot as plt
0.2
0.1
0.0
0.1
0.2
0.2
0.1
0.0
0.1
0.2
2