Calcul de Probabilité

Chapter 1
Calcul de Probabilité
Introduction
La théorie de probabilité a pour objectif de modéliser des expériences où plusieurs
résultats sont possibles mais où leur réalisation n’est pas déterminé à l’avance: lancer
de dés, prix d’une action, perturbation sur une ligne téléphonique, fils d’attente, . . .
etc. Ceci pour évaluer les risques et mettre sur pied des stratégies pour faire face
aux aléas.
• La première difficulté est donc de décrire correctement l’expérience aléatoire
afin d’énumérer l’ensemble des résultats possibles. Un résultat étant généralement
noté ω. On regroupe les résultats possibles dans un ensemble noté traditionnellement
Ω et appelé espace des issus ou univers. On appelle événement tout sous-ensemble
de Ω. Les singletons de Ω noté {ω} sont appelés événements élémentaires.
Définition 1 Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire E. L’ensemble de tous les
évéments est appelé tribu des évéments et est noté F.
Remarque 1 Dans la pratique si aucune mention n’est faite, on prendra F = P(Ω)
l’ensemble des parties de Ω.
• La deuxième difficulté est alors d’attribuer à chaque événement A ⊆ Ω un
nombre compris entre 0 et 1 qui estime les chances qu’ à cet événement de se réaliser.
On appelle ce nombre la probabilité de A.
1.1
Probabilité
Définition 2 Une probabilité, notée P est une fonction de F dans [0, 1] telle que
1. P(Ω) = 1.
2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) si A et B sont disjoints.
Le triplet (Ω, F, P) est appelé espace probabilisé.
On en déduit quelques propriétés immédiates.
1
1.2
Proposition
Si P est une probabilité sur P(Ω) alors pour tout A, B ∈ P(Ω)
1. P(φ) = 0.
2. P(Ā) = 1 − P(A).
3. P(A) = P(A ∩ B̄) + P(A ∩ B).
4. P(A ∪ B) = P(A ∪ B) − P(A ∩ B).
5. Si A ⊆ B alors P(A) ≤ P(B) et P(B − A) = P(B) − P(A).
Théorème 1 Soit Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } un univers fini. Si P1 , P2 , . . . , Pn sont les
probabilités des événements ω1 , ω2 , . . . , ωn on a nécessairement
n
X
Pi = 1.
i=1
La probabilité P est unique et est définie par ∀A ∈ F,
définition on a :
P(Ω) =
n
X
P({ωi }) =
i=1
n
X
Pi , avec Ω =
i=1
∀A ∈ F,
A=
[
n
[
P(A) =
Pn
i=1
Pi . Par
{ωi }.
i=1
{ωi }.
ωi ∈A
1.3
Equiprobabilité
On dit qu’on a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ω1 , ω2 , . . . , ωn
ont la même probabilité de se produire: P1 = P2 = . . . = Pn = n1 ·
On obtient,
P(A) =
1.4
card(A)
nombre de cas favorable
=
·
card(Ω)
nombre de cas possible
Probabilité conditionnelle
On considère l’espace probabilisé définie sur Ω et un événement B fixé tel que
P(B) > 0. La connaissance de B modifie la probabilité de réalisation d’événements
élémentaires puisque l’ensemble des résultats est devenu B et non Ω.
Définition 3 On appelle probabilité de A relative à B (ou sachant B) l’application
PB : F −→ [0, 1]
A −→ PB (A) = P(A/B) =
2
P(A ∩ B)
·
P(B)
1.5
Indépendance de deux événements
Soit A, B ∈ F deux événements de probabilités non nulles.
Définition 4 On dit que deux événements A et B sont indépendants si
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Proposition 1 Si A et B sont deux événements indépendants, alors
P(A/B) = P(A).
La probabilité de réalisation de A ne dépend pas de la réalisation de B.
De même,
P(B/A) = P(B).
Remarques 1
1. Ne jamais confondre indépendance et incompatibilité qui veut
dire qu’au préalable A ∩ B = φ ⇒ P(A ∩ B) = 0.
2. L’indépendance mutuelle entraine l’indépendance deux à deux. Par contre des
événements peuvent être indépendants deux à deux sans l’être mutuellement.
Exemple
On tire 13 cartes dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de n’obtenir
qu’un seul as lorsqu’on sait que parmi les 13 cartes figure l’as de pique.
Considérons les événements :
A = "parmi les 13 cartes figures un seul as".
B = "parmi les 13 cartes figure l’as de pique".
12
C41 C48
P(A) =
;
13
C52
P(A ∩ B) =
1.5.1
12
C11 C48
;
13
C52
12
C11 C51
P(B) =
,
13
C52
P(B)P(A) = P(A ∩ B)
⇒
Propriétés
Si A et B sont deus événements indépendants alors
(i) Ā et B sont indépendants.
(ii) A et B̄ son indépendants.
(iii) Ā et B̄ sont indépendants.
3
A et B sont indépendants.
Preuve
(i)
P(Ā ∩ B) = P(Ā/B)P(B) = (1 − P(A/B))P(B),
or A et B sont indépendants alors, P(A/B) = P(A).
Donc ,
P(Ā ∩ B) = (1 − P(A))P(B) = P(Ā)P(B).
Proposition 2 Soit A ∈ F, B ∈ F deux événements de probabilité non nuls, alors
on a:
(i)
P(A) = P(A/B)P(B) + P(A/B̄)P(B̄).
(ii)
P(B/A) =
P(A/B)P(B)
·
P(A/B)P(B) + P(A/B̄)P(B̄)
Preuve
(i)
A = A ∩ Ω = A ∩ (B ∪ B̄) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B̄),
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄),
or P(A/B) =
P(A ∩ B
P(B)
⇒ P(A ∩ B) = P(B)P(A/B),
De même,
P(A ∩ B̄ = P(A/B̄)P(B̄),
d’où
P(A) = P(B)P(A/B) + P(A/B̄)P(B̄).
(ii)
P(B/A) =
⇒
P(A ∩ B)
or P(A ∩ B) = P(A/B)P(B),
P(A)
P(B/A) =
P(A/B)P(B)
·
P(A/B)P(B) + P(A/B̄)P(B̄)
4
1.6
Théorème de Bayes
On considère une partition de Ω, E1 , E2 , . . . , En avec P(Ei ) > 0, i = 1, . . . , n. Alors
on a le théorème suivant
Théorème 2 Pour tout A ∈ F on a
(formule des probabilités totales) P(A) =
(i)
n
X
P(Ei )P(A/Ei ).
(1.1)
i=1
Si P(A) > 0 alors,
(ii)
∀i = 1, . . . , n,
P(Ei )P(A/Ei )
P(Ei /A) = Pn
i=1 P(Ei )P(A/Ei )
(formule de Bayes). (1.2)
Preuve
(i)
Ei ∩ E j = φ
Ω = ∪ni=1 Ei ,
⇒
∀i 6= j,
A = A ∩ ∪ni=1 Ei = ∪ni=1 A ∪ Ei .
P(A) = P(∪ni=1 A ∩ Ei ) =
n
X
P(A ∩ Ei ), or P(A/Ei ) =
i=1
⇒
P(A ∩ Ei )
,
P(Ei )
P(A ∩ Ei ) = P(A/Ei )P(Ei ),
⇒
P(A) =
i=n
X
P(A/Ei )P(Ei ).
i=1
Ej et Ei étant comptable si i 6= j
⇒
A ∩ Ej et A ∩ Ei sont incomptables.
En effet,
Ei ∩Ej = φ, (A∩Ei )∩(A∩Ej ) = A∩Ei ∩A∩Ej = A∩(Ei ∩Ej ) = A∩φ = φ.
(ii)
P(Ei /A) =
P(Ei ∩ A)
,
P(A)
or
5
∀i = 1, . . . , n,
P(Ei ∩ A) = P(A/Ei )P(Ei ),
d’après (i), on a P(A) =
i=n
X
P(A/Ei )P(Ei ).
i=1
Alors,
P(Ei )P(A/Ei )
P(Ei /A) = Pn
·
i=1 P(Ei )P(A/Ei )
Exemple
On tire au sort entre deux urnes U1 (contenant 6 boules blanches et 4 boules noires)
et U2 (contenant 3 boules blanches 7 noires) avec des probabilités repectives 51 et
4
puis on tire une boule de l’urne. On constate qu’elles est blanche. Quelle est le
5
probabilité qu’elle provienne de l’urne U1 ?
6