Nom - PharedesMaths

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Devoir no 10
Exercice 1
On étudie l’évolution d’une colonie de bactéries dans une gélose nutritive non renouvelée.
Partie A
On admet que le nombre de bactéries en fonction du temps est donné à l’instant t (exprimé en heures) par
N (t) où N , fonction définie sur [0; +∞[, est solution de l’équation différentielle y ′ = −0,92y.
1. Déterminer les solutions, sur [0; +∞[, de l’équation différentielle y ′ = −0,92y.
2. Déterminer la fonction N sachant que le nombre de bactéries à l’instant initial est égal à 800.
Partie B
On admet que la fonction N est définie sur [0; +∞[ par N (t) = 800e−0,92t .
1. a) Déterminer la limite de la fonction N en +∞.
b) Calculer N ′ (t), où N ′ désigne la fonction dérivée de N , et en déduire les variations de N sur [0; +∞[.
2. En exploitant les résultats obtenus dans les questions 1a et 1b, décrire l’évolution de la colonie de
bactéries.
3. Résoudre algébriquement l’équation N (t) = 80.
On donnera la valeur exacte ainsi qu’une valeur approchée au centième de la solution puis on interprétera
le résultat obtenu.
Exercice 2
Dans cet exercice, les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. Dans une expérience de laboratoire, sous certaines conditions, une population de bactéries augmente
de 3,5 % à chaque minute.
a) Initialement, on a dénombré 1000 bactéries. Combien en compte-t-on vingt minutes plus tard ?
b) On souhaite répondre à la question suivante : « Au bout de combien de minutes le nombre de
bactéries sera-t-il multiplié par 10 ? »
Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui permet de répondre à la question et
indiquer la réponse fournie par cet algorithme.
Algorithme 1
N prend la valeur 1000
T prend la valeur 0
Tant que N < 10000
N prend la valeur 1,035 × N
Fin Tant que
Afficher T
Algorithme 2
N prend la valeur 1000
T prend la valeur 0
Tant que N < 10000
N prend la valeur 1,035 × N
Fin Tant que
T prend la valeur T + 1
Afficher T
Algorithme 3
N prend la valeur 1000
T prend la valeur 0
Tant que N < 10000
N prend la valeur 1,035 × N
T prend la valeur T + 1
Fin Tant que
Afficher T
2. Au départ d’une seconde expérience, on dénombre 300 anticorps et 500 bactéries.
On note respectivement an et bn les nombres d’anticorps et de bactéries n heures après le début de
l’expérience.
a) Le nombre d’anticorps augmente de 10 % par heure.
Justifier que (an ) est une suite géométrique, dont on précisera premier terme et raison, et en déduire
une expression de an en fonction de n.
b) On admet que, pour tout entier naturel n, bn = 500 × 1,07n .
Que peut-on dire de l’évolution du nombre de bactéries à chaque heure ?
c) Le nombre d’anticorps va-t-il dépasser le nombre de bactéries ? Si oui, au bout de combien de temps ?
Si non, expliquer pourquoi.
Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Devoir no 10
Exercice 1
On étudie l’évolution d’une colonie de bactéries dans une gélose nutritive non renouvelée.
Partie A
On admet que le nombre de bactéries en fonction du temps est donné à l’instant t (exprimé en heures) par
N (t) où N , fonction définie sur [0; +∞[, est solution de l’équation différentielle y ′ = −0,92y.
1. Déterminer les solutions, sur [0; +∞[, de l’équation différentielle y ′ = −0,92y.
2. Déterminer la fonction N sachant que le nombre de bactéries à l’instant initial est égal à 800.
Partie B
On admet que la fonction N est définie sur [0; +∞[ par N (t) = 800e−0,92t .
1. a) Déterminer la limite de la fonction N en +∞.
b) Calculer N ′ (t), où N ′ désigne la fonction dérivée de N , et en déduire les variations de N sur [0; +∞[.
2. En exploitant les résultats obtenus dans les questions 1a et 1b, décrire l’évolution de la colonie de
bactéries.
3. Résoudre algébriquement l’équation N (t) = 80.
On donnera la valeur exacte ainsi qu’une valeur approchée au centième de la solution puis on interprétera
le résultat obtenu.
Exercice 2
Dans cet exercice, les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. Dans une expérience de laboratoire, sous certaines conditions, une population de bactéries augmente
de 3,5 % à chaque minute.
a) Initialement, on a dénombré 1000 bactéries. Combien en compte-t-on vingt minutes plus tard ?
b) On souhaite répondre à la question suivante : « Au bout de combien de minutes le nombre de
bactéries sera-t-il multiplié par 10 ? »
Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui permet de répondre à la question et
indiquer la réponse fournie par cet algorithme.
Algorithme 1
N prend la valeur 1000
T prend la valeur 0
Tant que N < 10000
N prend la valeur 1,035 × N
Fin Tant que
Afficher T
Algorithme 2
N prend la valeur 1000
T prend la valeur 0
Tant que N < 10000
N prend la valeur 1,035 × N
Fin Tant que
T prend la valeur T + 1
Afficher T
Algorithme 3
N prend la valeur 1000
T prend la valeur 0
Tant que N < 10000
N prend la valeur 1,035 × N
T prend la valeur T + 1
Fin Tant que
Afficher T
2. Au départ d’une seconde expérience, on dénombre 300 anticorps et 500 bactéries.
On note respectivement an et bn les nombres d’anticorps et de bactéries n heures après le début de
l’expérience.
a) Le nombre d’anticorps augmente de 10 % par heure.
Justifier que (an ) est une suite géométrique, dont on précisera premier terme et raison, et en déduire
une expression de an en fonction de n.
b) On admet que, pour tout entier naturel n, bn = 500 × 1,07n .
Que peut-on dire de l’évolution du nombre de bactéries à chaque heure ?
c) Le nombre d’anticorps va-t-il dépasser le nombre de bactéries ? Si oui, au bout de combien de temps ?
Si non, expliquer pourquoi.