2N1 - ENSEMBLES DE NOMBRES www.mathsenligne.com CONTENUS Nature et nombres. écriture CAPACITES ATTENDUES COURS (1/3) COMMENTAIRES On admettra que l'ensemble des réels est l'ensemble des abscisses des points d'une droite. des Notations (V, W, [, X et Y). Représentation des nombres Distinguer un nombre d'une de ses valeurs On travaillera sur les ordres de grandeur. approchées. dans une calculatrice. Interpréter un résultat donné par une calculatrice. On donnera un ou deux exemples de limites d'utilisation d'une Organiser un calcul à la main ou à la machine. calculatrice. On fera quelques manipulations de nombres en écriture scientifique. Nombres premiers. Décomposer un entier en produit de nombres On se limitera à des exemples (du type 56 x 67) pour lesquels premiers. la connaissance des tables de multiplication suffit. Thèmes d’étude : Calculatrices et grands nombres Problèmes historiques sur les nombres Caractérisation des éléments de [ et X. I. ENSEMBLES DE NOMBRES a. Les (nombres) entiers naturels Ce sont les nombres entiers et positifs. Leur ensemble est noté V. Exemples : 1 ∈ V (« 1 appartient à V) 76 912 ∈ V 0∈V Attention : (-5) ∉ V, de même que les autres nombres négatifs. b. Les (nombres) entiers relatifs Ce sont tous les nombres entiers. Leur ensemble est noté W. Exemples : 1∈W 0∈W -1 ∈ W 29 032 ∈ W… c. Les nombres décimaux a (a et n entiers). Leur ensemble est noté [. 10n -1 802 4 -1,802 ∈ [ -1,802 = 103 4 ∈ [ 4 = 100… finissent pas après la virgule » ne sont pas des décimaux (même si la Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 15 Exemples : 1,5 ∈ [ 1,5 = 10 Attention : les nombres qui « ne machine prétend le contraire…). 1 1 Exemple : ∉ [ (même si, d’après la machine, = 1,33333333333) 3 3 d. Les nombres rationnels a (a et b entiers). Leur ensemble est noté X. b 3 -12 1,5 ∈ X 1,5 = 2 -12 ∈ X -12 = 1 … Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme Exemples : 1 ∈X 3 Attention, certains sont irrationnels (π, e, 2, 3…) et n’appartiennent donc pas à X. e. Les nombres réels Ce sont tous les nombres que nous utilisons et que nous représentons sur un axe gradué. Leur ensemble est noté Y. f. Conclusion Tous les nombres rationnels appartiennent aussi à l’ensemble des nombres réels. On dit alors que X est inclus dans Y et on note : X ⊂ Y. www.mathsenligne.com 2N1 - ENSEMBLES DE NOMBRES COURS (2/3) On peut conclure que : V⊂W⊂[⊂X⊂Y II. VALEUR EXACTE, VALEURS APPROCHEES a. Arrondi et troncature Exemples : 8,569 201 324 22 ≈ 3,142 857 142 857… 7 π ≈ 3,141 592 653 589… Valeur exacte 8,569 201 324 22 7 π Troncature à 2 chiffres 8,56 3,14 3,14 Troncature à 3 chiffres 8,569 3,142 3,141 Arrondi à l’unité 9 3 3 Arrondi à 10-2 8,57 3,14 3,14 Arrondi à 10-3 8,569 3,143 3,142 Les troncatures et les arrondis sont des valeurs approchées des nombres. b. Ordre de grandeur L’ordre de grandeur d’un nombre est le nombre sous la forme a × 10n avec a entier relatif (1 < a < 10) et n entier relatif. On l’obtient facilement à partir de l’écriture scientifique du nombre. Exemple : 8 269 201 324 0,000 052 932 - 58 345 943 Ecriture scientifique 8,269 201 324 × 109 5,293 2 × 10-5 -5,834 594 3 × 107 Ordre de grandeur 8 × 109 5 × 10-5 -6 × 107 c. La calculatrice La calculatrice ne manipule qe des nombres décimaux. En outre, elle ne peut afficher qu’un nombre limité de chiffres (les « digits ») sur son écran (généralement entre 8 et 12). Quand elle ne peut pas afficher la valeur exacte d’un nombre, elle la remplace par une valeur approchée. Exemples : 20 = 20 ÷ 3 ≈ 3,333 333 333 3 9999 = 991 035 916 125 874 083 964 008 999 ≈ 9,910 359 161 E 26 III. NOMBRES PREMIERS a. Diviseurs d’un nombre Soit a et b deux nombres entiers. On dit que b est un diviseur de a (ou alors a est divisible par b) si le quotient exact de a par b est un nombre entier. Exemples : 2 est un diviseur de 98 100 est un diviseur de 1 500 Remarque : tout nombre entier (distinct de 0 et 1) admet a moins 2 diviseurs : 1 et lui-même. www.mathsenligne.com 2N1 - ENSEMBLES DE NOMBRES COURS (3/3) b. Nombre premier Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, n'admettant que deux entiers naturels diviseurs distincts: 1 et lui-même. Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13… c. Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers Théorème : Tout entier naturel strictement supérieur à 1 est premier ou produit de nombres (facteurs) premiers. Exemple : 35 n’est pas premier. Mais 35 = 5 × 7, les facteurs 5 et 7 étant premiers.