Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct) Exercice 1 : calcul de l’image d’un nombre par une fonction Exercice 2 : lecture graphique de l’image d’un nombre Exercice 3 : algorithme permettant de calculer l’image d’un réel par une fonction Exercice 4 : image, antécédent et tableau de valeurs Exercice 5 : représentation graphique d’une fonction Exercice 6 : appartenance d’un point à une courbe Exercice 7 : algorithme permettant d’indiquer si un point appartient à une courbe Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile 1) Calculer l’image de 2) Calculer l’image de par la fonction définie sur par ( ) par la fonction définie sur par ( ) 3) Calculer l’image de par la fonction définie sur par ( ) . . √ . Correction de l’exercice 1 Retour au menu Rappel : Image d’un nombre Soit . L’image de tout nombre une fonction définie sur un ensemble , ( ) 1) Pour tout de est le nombre ( ). . L’ensemble de définition de la fonction est et donc l’image de par , notée ( ), existe. Pour calculer ( ), on remplace par dans l’expression de ( ), c’est-à-dire dans l’expression . ( ) Donc l’image de par est . On dit aussi que , ( ) 2) Pour tout ) ( ) ( Donc l’image de est , ( ) . On dit aussi que calculer ( ), on remplace √ √ Donc l’image de par est un antécédent de √ . ), existe. . par . ] L’ensemble de définition de la fonction ( ) est et donc l’image de par , notée ( dans l’expression de ( ), à savoir dans l’expression ) par 3) Pour tout par . . L’ensemble de définition de la fonction Pour calculer ( ), on remplace par ( est un antécédent de est et donc l’image de [ par , notée ( ), existe. Pour dans l’expression de ( ), à savoir dans l’expression √ . √ par est √ . On dit aussi que est un antécédent de √ par . Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile La courbe ci-contre est la représentation graphique, dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗) du plan, d’une fonction définie sur . ⃗ 1) Donner une valeur approchée de l’image de par . 2) Donner un encadrement de l’image par de ⃗ par deux entiers consécutifs. Remarque : La fonction polynôme ». est une « fonction Correction de l’exercice 2 Retour au menu 1) Donnons, par lecture graphique, une valeur approchée de l’image de par . Représentation graphique d’une fonction Soit une fonction définie sur un ensemble . La représentation graphique (aussi appelée courbe représentative) de l’ensemble ( des dans un repère est points ( )) où de coordonnées . Une équation de la courbe représentative de est alors ( ). La courbe ci-contre représente une fonction . On cherche à donner une valeur approchée de l’image de par , c’est-à-dire ( ), qui peut être lue en suivant le chemin tracé en pointillés bleus puis rouges. On obtient ainsi ( ) L’image de Rappel : Coordonnées d’un point . Dans un repère, chaque point peut être repéré par son par est donc environ égale à . abscisse et son ordonnée . Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 Remarque importante : Lecture graphique Un graphique ne permet pas d’obtenir des valeurs exactes mais des valeurs approchées. En effet, dans le cas présent, par lecture graphique, on ne peut pas affirmer si ( ) est exactement égale à une valeur très proche de , comme ; 2) Proposons un encadrement de l’image par ou si ( ) est égale à ; etc. de par deux entiers consécutifs. On cherche à donner un encadrement de l’image de ( par , c’est-à-dire à encadrer ), qui peut être lue en suivant le chemin tracé en pointillés bleus puis rouges. ( On obtient ainsi L’image de par entiers consécutifs ) . est donc encadrée par les et . représentée est définie par ( ) Remarque : La fonction A la lumière de cette information, on peut vérifier que ( ) . et ( ) . D’une part, ( ) D’autre part, ( ) ( On a donc ( ) ) ( ) et ( ) ( ) . Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 4 Exercice 3 (2 questions) Soit la fonction définie sur Niveau : moyen par ( ) √ . 1) Préciser l’ensemble de définition . 2) Ecrire un algorithme permettant de calculer l’image de tout réel d’erreur pour tout . et d’afficher un message Correction de l’exercice 3 Retour au menu 1) Précisons l’ensemble de définition La fonction est définie sur est positif ou nul. Or, par ( ) . √ existe si et seulement si ; elle est donc définie si et seulement si le radicande √ [ [. . Il vient donc que 2) Ecrivons avec le logiciel AlgoBox un algorithme permettant de calculer l’image de tout réel permettant par ailleurs d’afficher un message d’erreur pour tout . et 1 VARIABLES Fonction numérique utilisée : 2 x EST_DU_TYPE NOMBRE F1(x)=sqrt(x-4) 3 image_de_x EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 AFFICHER "Donner un nombre : " sqrt(X) correspond à la racine 6 LIRE x carrée du nombre X 7 AFFICHER x 8 SI (x<4) ALORS Si , alors et on ne peut 9 DEBUT_SI 10 AFFICHER "On ne peut pas calculer l'image du nombre " alors pas calculer l’image de . 11 AFFICHER x 12 FIN_SI Dans le cas contraire, on peut 13 SINON calculer et afficher l’image de . 14 DEBUT_SINON 15 image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x) On peut remplacer l’instruction d’affectation 16 AFFICHER "L'image du nombre " « image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x) » 17 AFFICHER x (Attention ! La fonction numérique doit dans ce 18 AFFICHER " est : " cas être déclarée par « F1(x)=sqrt(x-4) ») par 19 AFFICHER image_de_x 20 FIN_SINON « image_de_x PREND_LA_VALEUR sqrt(x-4) » 21 FIN_ALGORITHME Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox ***Algorithme lancé*** Donner un nombre : 2 On ne peut pas calculer l'image du nombre 2 ***Algorithme terminé*** ***Algorithme lancé*** Donner un nombre : 8 L'image du nombre 8 est : 2 ***Algorithme terminé*** Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 5 Exercice 4 (8 questions) Une fonction Niveau : facile est définie sur l’intervalle [ ]. On donne le tableau de valeurs suivant. ( ) Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, tout en justifiant. 1) ( ) 2) L’image de par est . 3) n’a pas d’image par sur [ 4) et ont même image. ]. 5) Seuls deux nombres ont des images opposées. 6) Un antécédent de par est . 7) n’a pas d’antécédent par . 8) a au moins deux antécédents par . Correction de l’exercice 4 Retour au menu 1) D’après le tableau de valeurs, ( ) . L’affirmation est vraie. ( ) 2) D’après le tableau de valeurs, ( ) fausse. . Autrement dit, l’image de par est . L’affirmation est ( ) Remarque : On a en revanche ( ) pas confondre « l’image de par est , qui se traduit par « un antécédent de par » et « un antécédent de par est . » est » Il ne fallait donc 3) Le tableau de valeurs proposé dans l’énoncé ne concerne que l’ensemble fini { }. Or, d’après l’énoncé, la fonction est définie sur l’intervalle [ ]. Aussi, même si le tableau de valeurs ne consigne pas la valeur , [ ] donc ( ) existe. Autrement dit, a une image par , qui n’est en revanche pas renseignée dans le tableau de valeurs. L’affirmation est fausse. ( ) 4) D’après le tableau de valeurs, ( ) et ( ) . Autrement dit, a pour image et image . Finalement, et ont même image, à savoir le nombre . L’affirmation est vraie. a pour ( ) Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 6 5) D’après le tableau de valeurs, seules deux images sont opposées ; il s’agit des nombres et . On lit en outre ( ) , ( ) et ( ) . Autrement dit, d’une part et ont des images opposées et, d’autre part, et ont des images opposées. L’affirmation est fausse. −3 ( ) Rappel : Antécédent d’un nombre Soit une fonction définie sur un ensemble est l’image de est un antécédent de . Si ( ), on dit que : par par 6) D’après le tableau de valeurs, L’affirmation est fausse. ( ) . Autrement dit, un antécédent de par est . ( ) Remarque : On a en revanche ( pas confondre « un antécédent de ) par , qui se traduit par « l’image de par est » et « l’image de par est ». est ». Il ne fallait donc 7) D’après le tableau de valeurs, ( ) . Autrement dit, il existe (au moins) un antécédent de ; cet antécédent est . L’affirmation est fausse. par −3 ( ) 8) D’après le tableau de valeurs, ( ) et ( ) . Autrement dit, a deux antécédents par sur { } : les nombres et . Pour autant, il convient de remarquer que l’on ignore s’il existe d’autres antécédents de par sur [ ]. En définitive, a au moins deux antécédents par sur [ ]. L’affirmation est vraie. ( ) 2 Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 7 Exercice 5 (1 question) Niveau : facile Représenter dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗) du plan la fonction définie sur par ( ) Correction de l’exercice 5 ( ) . Retour au menu ) La fonction est définie sur par ( ) ( . Pour tracer sa représentation graphique dans un ( )) repère orthonormé ( ⃗ ⃗) du plan, il convient de trouver plusieurs points de coordonnées ( appartenant à puis de les relier afin de former une courbe harmonieuse. Pour ce faire, 1) calculons quelques images de (en choisissant arbitrairement différentes valeurs de ) 2) puis consignons les résultats dans un tableau de valeurs ( ) ) dans le repère 3) puis plaçons les points de coordonnées ( ⏟ ⏟ 4) puis relions ces points en formant une courbe harmonieuse 1ère étape : Calculs d’images par Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si , alors , alors , alors , alors , alors ( , alors ( , alors ( , alors ( , alors ( , alors ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) 2e étape : Remplissage d’un tableau de valeurs ( ) 3e étape : Placement de points Il faut donc placer dans le repère orthonormé ( ⃗ ⃗) les points de coordonnées suivantes : ( );( );( );( );( );( );( );( );( ) et ( ). Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 8 Remarque : Les 3 premiers points de la liste ci-dessus ne sont ici pas visibles car leurs ordonnées sont trop grandes pour qu’ils soient placés dans le repère choisi. Axe des ordonnées Axe des abscisses 4e étape : Tracé de la courbe représentative de la fonction Reste à relier les points placés en traçant une courbe harmonieuse. Remarque : La courbe représentée est une parabole ; elle est la représentation graphique d’une fonction ) polynôme de degré 2 définie ici par sa forme canonique ( (avec , et réels tels que ). Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 9 Exercice 6 (4 questions) Soit la fonction Niveau : moyen par ( ) définie sur . On note sa courbe représentative dans un repère du plan. 1) Le point ( 2) Le point ( ) appartient-il à ? ) appartient-il à ? 3) est le point de , d’abscisse nulle. Quelle est l’ordonnée de ? 4) Existe-t-il un point de , d’ordonnée ? Si oui, lequel ? Sinon, pourquoi ? Correction de l’exercice 6 Retour au menu Rappel : Appartenance d’un point à une courbe Soit une fonction définie sur un ensemble et soit , un point du plan, de coordonnées ( Soit , alors ( si si ( ) ( ) ) avec ) , on a : , alors ( si si ( , alors 1) Vérifions si le point sa courbe représentative dans un repère du plan. de coordonnées ( ) appartient à ) ) , alors . ( ) ( ) Ainsi, ( ) donc . 2) Vérifions si le point ( ) ( ) appartient à . ) ( Or, de coordonnées ( . Ainsi, ( ) 3) Calculons l’ordonnée ) ( donc ) . de . est un point d’abscisse nulle donc a pour abscisse . Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 10 En outre, Le point ( donc ) ( ) . a donc pour ordonnée , c’est-à-dire pour coordonnées ( 4) Etudions l’éventuelle existence d’un point de Il existe un point de , d’abscisse , d’ordonnée . et d’ordonnée , si et seulement si ( ) Or, pour tout réel , ( ) . . Ce résultat est absurde ! Par conséquent, l’équation ( ) Il n’existe donc pas de point de ). n’admet pas de solution. , d’ordonnée . Remarque : Ci-dessous est représentée la fonction dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗) du plan. On observe alors que la courbe est toujours située strictement au-dessus de l’axe des abscisses. Par conséquent, graphiquement, il ne peut pas exister de point de d’ordonnée . Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 11 Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen ) appartient ou non à la courbe Ecrire un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées ( représentative de la fonction définie sur par ( ) . Correction de l’exercice 7 Retour au menu Ecrivons avec AlgoBox un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées ( non à la courbe représentative de la fonction définie sur par ( ) . ) appartient ou 1 VARIABLES Fonction numérique utilisée : 2 x EST_DU_TYPE NOMBRE F1(x)=pow(x,3)-2*pow(x,2)+3*x-1 3 y EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 AFFICHER "Soit un point M de coordonnées (x ; y)." pow(X,n) correspond à la puissance 6 AFFICHER "Saisir l'abscisse x de M : " nème de X, c’est-à-dire à Xn 7 LIRE x 8 AFFICHER x 9 AFFICHER "Saisir l'ordonnée y de M : " 10 LIRE y 11 AFFICHER y 12 SI (F1(x)==y) ALORS 13 DEBUT_SI 14 AFFICHER "Le point M appartient à la courbe représentative de f." 15 FIN_SI 16 SINON 17 DEBUT_SINON 18 AFFICHER "M n'appartient pas à la courbe représentative de f." 19 FIN_SINON 20 FIN_ALGORITHME Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox ***Algorithme lancé*** Soit un point M de coordonnées (x ; y). Saisir l'abscisse x de M : 3 Saisir l'ordonnée y de M : 17 Le point M appartient à la courbe représentative de f. ***Algorithme terminé*** ***Algorithme lancé*** Soit un point M de coordonnées (x ; y). Saisir l'abscisse x de M : -2 Saisir l'ordonnée y de M : -22 M n'appartient pas à la courbe représentative de f. ***Algorithme terminé*** Remarque : Il suffit de modifier l’expression de la fonction F1 pour pouvoir tester l’appartenance ou non d’un point de coordonnées (x ; y) à la courbe représentative de F1, sans avoir à changer le reste de l’algorithme. Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 12