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CH.III LES ISOMETRIES
1. Isométries et figures superposables
Activités
1. Les six drapeaux suivants sont parfaitement superposables deux à deux.
Complète le tableau ci-dessous :
Du drapeau n°…
vers le n°…
1 -> 2
2 -> 5
5 -> 6
3 -> 2
Nom de la
Elément
transformation du plan caractéristique
Ecriture
mathématique
Quel est le nom général donné à ces transformations du plan ? …………………………………………….
Pourquoi ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. Les figures suivantes sont-elles isométriques deux à deux ? Pourquoi ?
A
B
C
D
C’
B’
D’
A’
Dans le cas de polygones isométriques, que dis-tu de leurs angles et de leurs côtés pris
deux à deux ? …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. Vrai ou faux ? Si tu réponds « faux », donne un contre-exemple et corrige l’énoncé. Si
tu réponds « vrai », justifie !
a) Deux figures isométriques ont même périmètre
b) Deux cercles sont isométriques
c) Deux cercles isométriques ont même aire
d) Pour que deux carrés soient isométriques, il suffit que leurs côtés aient même
longueur
e) Deux parallélogrammes ayant même aire sont isométriques
Notions
1. Deux figures sont ISOMETRIQUES lorsqu’elles ………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Lorsque deux figures sont isométriques, qu’appelle-t-on :
F des côtés homologues :
……………………………………………………………………………………………
F des sommets homologues
……………………………………………………………………………………………
F des angles homologues
……………………………………………………………………………………………
exemples : les quadrilatères ABCD et LMPK sont isométriques :
Côtés homologues
Sommets homologues
Angles homologues
et
et
et
et
et
et
et
et
et
et
et
et
3. Définissons dès lors le mot isométrie : …………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. Propriété découlant du fait que les 2 figures soient exactement superposables :
Deux figures isométriques ont
F…………………………………………………………………………………………………………………………………
F…………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Les triangles isométriques
Activité
Un professeur a dessiné un triangle KLM sur une feuille. Le but, pour les élèves, est
de construire aux instruments un triangle qui soit isométrique au triangle KLM.
Chaque élève peut demander des renseignements à propos des données numériques
du triangle.
a) Dans chacune des situations suivantes, tente de construire un triangle
isométrique au triangle KLM d’après les renseignements demandés par certains
élèves et les réponses données par le professeur.
b) En fonction de ton dessin, place une croix dans la case « données suffisantes » ou
dans la case « données insuffisantes ».
Renseignements demandés par
Réponse du
professeur
Chloé : les amplitudes des 2
angles.
Laura : les longueurs de 2 côtés
Kˆ = 25° et Lˆ = 30°
Yohan : les longueurs des 3
côtés.
KL = 7 et LM = 5,1
Arthur : les longueurs de 2
côtés et l’amplitude de l’angle
compris entre ces 2 côtés.
Loreen : les longueurs de 2
côtés et l’amplitude d’1 angle non
compris entre ces 2 côtés.
Anais : la longueur d’1 côté et les
amplitudes des 2 angles
adjacents à ce côté.
Uli : la longueur d’un côté et les
amplitudes d’un angle opposé à
ce côté et d’un angle adjacent à
ce côté.
KL = 7 et LM = 5,1
MK = 3,6
KL = 7 et LM = 5,1
Lˆ = 30°
KL = 7 et LM = 5,1
Kˆ = 45°
KL = 7 Lˆ = 30°
Kˆ = 45°
KL = 7 Lˆ = 30°
Mˆ = 105°
Données
suffisantes
Données
insuffisantes
Notions
1. Critères d’isométrie des triangles quelconques.
1er cas :
Deux triangles quelconques sont isométriques lorsqu’ils ont ……………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
C’est le cas :
2ème cas :
Deux triangles quelconques sont isométriques lorsqu’ils ont ……………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
C’est le cas :
3ème cas :
Deux triangles quelconques sont isométriques lorsqu’ils ont ……………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
C’est le cas :
2. Critères d’isométrie des triangles rectangles.
Pour les triangles rectangles, les 3 critères précédents restent valables.
En outre, 2 critères particuliers sont d’application.
1er cas :
Deux triangles rectangles sont isométriques lorsqu’ils ont …………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
C’est le cas :
2ème cas :
Deux triangles rectangles sont isométriques lorsqu’ils ont …………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
C’est le cas :
3. Droites remarquables d’un triangle
Une hauteur
Une médiatrice
Une bissectrice
Une médiane
3.Exercices
1.
Complète les cases vides de ce tableau
Enoncé
1) Une diagonale d’un
parallélogramme le
partage en 2
triangles
isométriques
Dessin
Hypothèse
Y
X
Z
W
2)
Y
X
XYZW
{
[XZ] ∩ [WY] = K }
K
W
Thèse
Z
3) Les diagonales
d’un rectangle ont
même longueur
4) Dans tout triangle
isocèle, les médianes
relatives aux côtés
de même longueur
ont même longueur
BAC | |AB|=|AC|
[BP] | |PA|=|PC| et
[CM] | |MA|=|MB|
|XK| = |KZ| et
|WK| = |KY|
2. Démontre que dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même
amplitude.
3. Démontre que 2 angles opposés d’un parallélogramme ont la même
amplitude.
4. Démontre que dans tout triangle isocèle, la hauteur relative à la base est
également la bissectrice de l’angle au sommet.
5. Démontre que les diagonales d’un carré ont la même longueur.
6. Les points M et N sont respectivement les milieux des côtés [AB] et [AC]
du triangle ABC isocèle en A. Démontre que les médianes [BN] et [CM] ont
même longueur.
7. Construit extérieurement à un triangle quelconque ABC, les triangles
équilatéraux ABP et ACQ. Démontre que les segments [CP] et [BQ] ont la
même longueur.
8. Dans le parallélogramme ABCD, démontre, en tenant compte des éléments
donnés par le dessin, que les longueurs des segments [DX] et [BY] sont
égales.
9. Les rues a et b se coupent au carrefour M en rase campagne. Les poteaux
téléphoniques A et B sont à égale distance de M ainsi que les poteaux A’ et
B’. La régie doit relier les poteaux A’ et B ainsi que les poteaux B’ et A.
Compare la longueur du fil entre A et B’ et entre A’ et B. Démontre.