Exemples d`expériences aléatoires et vocabulaire. Loi de probabilité

Chapitre n°7 : Les Probabilités.
I.)
Exemples d’expériences aléatoires et vocabulaire.
On considère les expériences aléatoires suivantes :
(1) On lance un dé parfaitement équilibré.
(2) On tire une carte dans un jeu de 32 cartes à la belote.
•
•
•
Le résultat d’une expérience aléatoire est appelé issue ou éventualité.
L’ensemble des éventualités est appelé « univers des possibles » souvent noté Ω.
Un évènement est une partie de l’univers.
Exemples :
vocabulaire
éventualité
Univers Ω
Evènement
Expérience 1
Faire un 2
Ω = { 1;2;3;4;5;6}
A : « obtenir un nombre pair »
A = {2,4,6}
A est constitué de 3 éventualités
Expérience 2
Tirer un as de coeur
Ω est constitué des 32 cartes
B : « tirer un roi ».
B est constitué de 4 éventualités
Remarque : Un évènement constitué d’une seule issue est un évènement élémentaire. Par exemple dans l’expérience 1 ,
faire un 6 est un évènement élémentaire.
L’événement contraire de A, noté A est l’ensemble des issues qui ne sont pas dans A.
illustration :
Intersection d’événements
L’événement « A et B », noté A ∩ B, est réalisé si A et B sont réalisés en même temps.
Ainsi, si A={1,2,3,4} et B = { 3,4,5} alors A ∩ B = { 3 ,4}.
illustration :
Événements incompatibles
Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps: leur intersection est vide. Ainsi B ∩
C = ∅.
Exemple faire un nombre pair et faire un nombre impair sont deux évènements incompatibles.
Remarque : Les événements A et A sont incompatibles.
Réunion d’événements
L’événement « A ou B », noté A ∪ B, est réalisé si l’un au moins des deux événements est réalisé. Ainsi, si
A={1,6,3,4} et B = { 3,4,5} alors A ∪ B = { 1,6,3,4,5}.
illustration :
II.)
II.)
Loi de probabilité et probabilité d’un évènement
A. Modélisation.
En statistiques un évènement a une fréquence. Exemple en lançant de façon répété une pièce de 1 euros :
•
Avec 50 lancers on obtient les fréquences suivantes :
P
F
effectifs
22
28
fréquence
0,44
0,56
•
Avec 1000 lancers on obtient les fréquences suivantes :
P
F
effectifs
528
472
fréquence
0,528
0,472
•
Avec 10000 lancers on obtient les fréquences suivantes :
P
F
effectifs
5029
4971
fréquence
0,5029
0,4971
On constate que la fréquence semble tendre vers 1 pour pile et 1 pour face. Cette fréquence « idéale » correspond à notre idée intuitive de
2
2
probabilités.
B. Définition :
Soit Ω = { x 1 , x 2,… x n } un univers fini associé à une expérience.
Définir une loi de probabilité sur Ω , c’est associer à chaque issue x i un nombre pi ∈ [0 ;1] de telle façon
que :
p1 +p 2+ p3 +…+ p n = 1
On dit que pi est la probabilités de l’issue x i .
La probabilité d’un évènement est égale à la somme des probabilités des issues le constituant.
Exemple : On lance un dé non truqué à six faces peintes ( une face est verte,une autre jaune, 2 faces sont rouges
et 2 autres sont bleues).
Déterminons la loi de probabilité puis calculons la probabilité des évènements suivants :
E= {V,J} ; F = { J ,B} ; E ∩ F et E ∪ F .
Issues x i
Loi de probabilité :
B
J
R
V
Probabilités
1
1
1
1
pi
6
6
3
3
D’ où
P(E) = 1 +
6
1 = 1
6
3
P( F) = 1 + 1 = 1
6
3
2
et
Comme E ∩ F = { J } alors P( E ∩ F ) = 1
6
Comme E ∪ F = { V ,J , B}
.
alors P( E ∪ F ) = 1 + 1 + 1
6
6
3
C. Loi des grands nombres
Pour
une
expérience
donnée,
.
dans
le
modèle
= 2.
3
défini
par
une
loi
de
probabilité
P
,
les
distributions des fréquences obtenues sur des séries de taille n ,se rapprochent de P quand n
devient grand.
III.)
III.)
a)
Propriétés d’une probabilité.
Probabilité de 2 évènements incompatibles
:
A ∩ B = ∅ (on dit qu’ils sont incompatibles) alors
Soit A et B, 2 évènements tels que
p ( A ∪ B) = p(A) + p(B).
b)
Probabilité de 2 évènements quelconques
:
P(A ∪ B) = p(A) + p(B)
c)
Probabilité de l’évènement contraire
A
–
p(A ∩ B).
:
p( A )= 1
–
p(A)
IV.) Notion d’équiprobabilité
•
•
Dans le cas où tous les évènements élémentaires ont chacun la même chance de se réaliser on dit
qu’il y a équiprobabilité des évènements élémentaires.
Autrement dit la loi de probabilité est équirépartie.
Dans ce cas si A compte k issues et si l’univers Ω compte n issues alors , p(A) = k .
n
Autrement dit en situation d’équiprobabilité :
p (A) =
nombre de cas favorables à la réalisation de A
.
nombre de cas possibles au total