RÉVISIONS ALGÈBRE PSI 1) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E). Montrer que : E = Ker(f ) ⊕ Im (f ) ⇐⇒ Im (f ) = Im (f 2 ) ⇐⇒ Ker(f ) = Ker(f 2 ). 2) Soit E un K-espace vectoriel et a) Montrer que b) Calculer p = f − 3.e poq, c) En déduire que qop et f ∈ L(E) telle que : q = 4.e − f et f 2 − 7.f + 12.e = O e = IdE . où sont des projecteurs de E. p + q. Ker p = Im q et Im p = Ker q. Que peut-on en déduire sur p et q ? d) Exprimer f à l’aide de p et q, et calculer pour n dans N∗ , f n en fonction de p, q, n. e) Montrer que f est bijective et exprimer f −1 en fonction de p et q. La formule de d) est-elle valable pour n dans Z ? 3) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et g ∈ L(E). a) Quelle relation existe-t-il entre les dimensions de Im (g p ) et Ker(g p ), p étant un entier naturel ? b) On considère les suites A et B de s-e-v de E définies par : ∀ n ∈ N, An = Ker(g n ) et Bn = Im (g n ). Montrer que les suites (An )n∈N et (Bn )n∈N sont monotones et stationnaires à partir d’un certain rang m. On pourra utiliser les dimensions. c) Montrer que : E = Am ⊕ Bm . 4) Soit E un espace vectoriel et a) Soit z ∈ E tel que f ∈ L(E) f p−1 (z) 6= 0E . nilpotent d’ordre p ∈ N∗ Montrer que b) Si E est de dimension finie n, comparer n et p. Ecrire alors la matrice de f dans cette base. 5) c) En déduire qu’il existe C 6= 0 6) (z, f (z), . . . , f p−1 (z)) fp = 0 et f p−1 6= 0. est une famille libre de E. Que peut-on dire si n = p ? Soit A une matrice non nulle de Mn (R) telle que : a) Montrer que A n’est pas inversible. Mn (R) −→ Mn (R) b) Soit Φ : X 7−→ XA c’est-à-dire ∃ B ∈ Mn (R) − {0} / AB = 0. Montrer que Φ est un endomorphisme non surjectif (utiliser a)) telle que CA = 0. Soit E un espace vectoriel et E1 , E2 , . . . , Ep , p sous-espaces vectoriels de E. Montrer que : E1 , E2 , . . . , Ep sont en somme directe ⇐⇒ ∀ i ∈ [[2, p]], Ei ∩ i−1 X Ej = {0E } . j=1 7) Trouver l’ensemble des entiers n de N∗ tels que (X 2 + X + 1)2 8) Pour n dans N∗ , F = 9) Soit A une matrice carrée complexe d’ordre n telle que : A2 = 2In − A. Calculer, pour m > 2, le reste de la division euclidienne de X m par X 2 + X − 2. calculer la dérivée n-ième de 2_RevAlgebre - page 1 divise (X + 1)n − X n − 1. 1 . X(X + 1)(X + 2) . . . (X + n) En déduire Am . 10) Soit n ∈ N. a) Montrer que fn : Rn [X] P −→ 7−→ Rn [X] P (X + 1) + P (X) est un isomorphisme d’espaces vectoriels . b) Montrer que : ∃ !Pn ∈ Rn [X] / Pn (X + 1) + Pn (X) = 2X n . c) Montrer que : 0 Pn+1 = (n + 1)Pn . 11) 12) Soit A ∈ Mn (K). tr (AB) = 0 =⇒ A = 0. ∀ B ∈ Mn (K), Montrer que : Soit D une matrice diagonale de Mn (K) dont les éléments diagonaux sont distincts deux à deux. Soit A dans Mn (K). Montrer que : AD = DA =⇒ A est diagonale. 13) Que peut-on dire d’un endomorphisme u d’un espace vectoriel E qui admet un polynôme annulateur de degré 1 ? 14) Soit n>2 et A ∈ Mn (R). a) Montrer que A est de rang 1 si et seulement si il existe une matrice-ligne L et une matrice colonne C non nulles telles que : A = CL. b) Montrer que si A est de rang 1, il existe α ∈ R tel que En déduire que si α 6= −1 alors I +A A2 = αA. (I + A)−1 = I − est inversible et c) Soit A = (aij )16i,j6n la matrice telle que ∀ (i, j) ∈ [[1, n]] 2 , Montrer que I − A est inversible et calculer son inverse. 15) A= Soit A la matrice de Mn (R) définie par : 16) a) Soit A = (aij )16i,j6n 1 .A 1+α aij = 1. 0 1 0 .. . 0 0 1 .. . 0 0 0 .. . ... ... ... .. . 0 0 0 .. . 0 ... ... 1 0 Montrer que A est semblable à une matrice triangulière supérieure de Mn (R) telle que t A. 1 6 j 6 i 6 n =⇒ aij = 0. Montrer que A est nilpotente. b) n ∈ N. 17) calculer An pour 1 A= 0 0 2 1 0 On dit qu’une matrice A = (aij ) ∈ Mn (K) n X ∀ k ∈ [[1, n]], |akk | > |akj |. 3 2 . 1 est à diagonale strictement dominante si : j=1 j6=k Montrer que toute matrice à diagonale strictement dominante est inversible. Indication : Raisonner par l’absurde en supposant que Ker A 6= {0}. 18) Montrer que si p est un projecteur alors sa trace est égale à son rang. 2_RevAlgebre - page 2 19) 20) Pour a et x dans R, calculer le déterminant Pour tout réel x, on définit cos x 1 0 Dn = ... . .. . .. 0 Dn = D0 = 1, D1 = cos x 1 0 ... 2 cos x 1 ... .. . 1 .. . 2 cos x .. . 1 .. . .. . .. . .. .. . .. . . ... 1 0 . .. ... ... 1 2 2 .. . .. . 2 2 .. . ... ... .. . 2 n [n] ... .. 3 .. . 2 .. . .. . . .. . 2 ... et pour n > 2, .. . .. . 0 2 cos x 1 1 2 cos x [n] ... 0 .. . .. . .. . Calculer Dn à l’aide d’une récurrence. 21) Pour n > 2, (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Kn a1 + b1 a2 .. . Dn = .. . an−1 an a1 a2 + b2 .. . .. . ... ... et ... ... a2 ... .. .. . . .. .. . . . . . an−1 ... ... (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Kn , ... ... .. . .. . an−1 + bn−1 an a1 a2 .. . .. . an−1 an + bn on considère [n] Calculer Dn à l’aide de la linéarité par rapport à chacune des colonnes. 22) Pour n ∈ N∗ et a1 , a2 , . . . , an , n réels, on note Calculer à l’aide d’une récurrence : 23) 24) 25) An = −a1 1 0 .. . −a2 0 1 .. . 0 ... . . . . . . −an ... ... 0 0 ... 0 .. .. .. . . . 0 1 0 . ∆n = det(An − XIn ). Soient n un entier impair et A ∈ Mn (R) telle que : Calculer A3 + In et montrer que det (A) = −1. Soit D l’endomorphisme de dérivation sur C ∞ (R, R) A2 = A − In . et P = X 2 + 1. Calculer le noyau de P (D). Pour A ∈ Mn (K), on appelle comatrice de A, et on note com(A), la matrice de Mn (K) de terme général Aij , cofacteur d’indices i, j. a) Calculer A × ( t com(A)) et ( t com(A)) × A A ∈ GLn (K). b) On suppose que : c) Cas particulier n=2 2_RevAlgebre - page 3 Exprimer alors A−1 en fonction de A dans le cas général. 24) L’incontournable : Les Polynômes de Tchebycheff ! ! ! ! ! Soit (Tk )k∈N la suite de polynômes définie par : T0 = 1 ; T1 = X ; ∀ k ∈ N∗ , Tk+1 = 2XTk − Tk−1 a) Déterminer les polynômes T2 , T3 et T4 . b) Quels sont le degré de Tn et son coefficient dominant ? c) Etudier la parité de Tn . d) Calculer Tn (1), Tn (−1) et Tn (0). e) Montrer que Tn est l’unique polynôme qui vérifie : ∀ θ ∈ R, Tn (cos θ) = cos(nθ). f ) Dans cette question uniquement, on suppose que l’entier n est non nul. Pour quelles valeurs de θ a-t-on Tn (cos θ) = 0 ? Montrer alors que Tn a n racines réelles distinctes dans [−1, 1]. Conclure. g) Déterminer les racines de Tn0 . On définit l’application Φ telle que : ∀ P ∈ Rn [X], Φ(P ) = (X 2 − 1)P 00 + XP 0 h) Montrer que Φ est un endomorphisme de Rn [X]. i) Soit P ∈ Rn [X]. Calculer le degré de Φ(P ) en fonction de celui de P . j) En déduire le noyau de Φ. k) Déterminer la matrice de Φ dans la base canonique (1, X, X 2 , . . . , X n ) de Rn [X]. l) Calculer la trace de Φ. 2_RevAlgebre - page 4