Cours-ensemble de nombres

Cours
seconde 5
Les ensembles de nombres
1
Les nombres entiers
Définition
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ................50 ; 51 ; 52 ; ........ sont des nombres entiers naturels
L’ensemble de ces nombres est appelé N
Exemples
7 ∈ N mais −7 ∈
/ N et 3, 8 ∈
/N
Définition
........ -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ..... sont des nombres entiers relatifs
L’ensemble de ces nombres est appelé Z
Exemples
7 ∈ Z ; −7 ∈ Z et 3, 8 ∈
/Z
Remarque
N est inclus dans Z
N⊂Z
C’est à dire que tout entier naturel est un entier relatif
2
Les nombres rationnels
Définition
a
On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s’écrire sous la forme où a est un entier relatif et b un
b
entier relatif non nul.
a
L’écriture est appelée écriture fractionnaire .
b
L’ensemble de ces nombres est noté Q
Exemples
7 ∈ Q;
1
5
∈ Q ; ∈ Q ; 3, 8 ∈ Q
2
3
Remarques
– N⊂Z⊂Q
– Un nombre rationnel admet une infinité d’écriture fractionnaire.
4
8
20
Par exemple peut s’écrire : ; −
....
3
6
15
3
Cas particuliers : les nombres décimaux
Définition
On appelle nombre décimal tout nombre qui peut s’écrire sous la forme
a
où a et n sont des entiers relatifs
10n
L’ensemble de ces nombres est noté D
Remarques
– D ⊂ Q , les décimaux sont des rationnels particuliers.
– Comme on divise un nombre entier par une puissance de 10 l’écriture décimale d’un nombre décimale admet
un nombre fini de chiffres après la virgule .
( la division se termine )
Exemples
1385
4
3
75
∈ D; −
∈ D; =
∈D
100
10000
4
100
1
1
Par contre : ∈
/ D car on ne peut pas obtenir une fraction égale à avec une puissance de 10 au dénominateur.
3
3
1
En fait : = 0, 3333333.....
3
L’écriture décimale admet un nombre infini de chiffres après la virgule
Hervé Gurgey
1
8 septembre 2008
Cours
seconde 5
Définition
Tout nombre décimal positif s’écrit de manière unique sous la forme a × 10p avec 1 ≤ a < 10 et p entier relatif
Cette écriture est appelée écriture scientifique de ce nombre.
Exemple
L’écriture scientifique de 2328423 est 2, 328423 × 106
On dit que : 2 × 106 est l’ordre de grandeur de 2328423
4
Les autres nombres
Il existe des nombres qui n’appartiennent
à aucun des ensembles que nous venons de définir.
√
/ Q ou π ∈
/Q
On démontre par exemple que : 2 ∈
ces nombres sont appelés nombres irrationnels
ils appartiennent ( avec tous les nombres définis précédemment) à l’ensemble des nombres réels
Définition
qui est noté : R
l’ensemble des nombres réels est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
c’est à dire munie d’un repère (O,I) .
Cette droite, qui représente R est appelée droite des réels ou droite numérique
5
Récapitulatif
les différents ensembles de nombres sont emboı̂tés : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
R
Q
D
Z
N
Hervé Gurgey
2
8 septembre 2008