Séquence 9 Fractions décimales et nombres décimaux

Séquence 9
Fractions décimales et nombres décimaux
Programme
Comprendre et utiliser la notion de nombre
décimal.
- Spécificités des nombres décimaux.
Situations nécessitant :
- d'utiliser des nombres décimaux pour
rendre compte de partage de grandeurs ou de
mesure de grandeurs dans des cas simples ;
- d'utiliser différentes représentations :
mesures de longueurs et aires, une unité
Associer diverses désignations d'un nombre
décimal (fractions décimales, écritures à virgule et étant choisie ;
décompositions).
- de faire le lien entre les unités de
numération et les unités de
- Règles et fonctionnement des systèmes de
numération dans le champ des nombres décimaux, mesure (dixième/dm/dg/dL,
relations entre unités de numération (point de vue centième/cm/cg/cL/centimes d'euros, etc.).
décimal), valeurs des chiffres en fonction de leur
rang dans l'écriture à virgule d'un nombre décimal La demi-droite numérique graduée est
(point de vue positionnel).
l'occasion de mettre en évidence des
agrandissements successifs de la graduation
du 1/10 au 1/1000.
Repérer et placer des décimaux sur une demi-droite
graduée adaptée.
Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres
décimaux.
- Ordre sur les nombres décimaux.
Repères de progressivité
Les fractions sont à la fois objet d'étude et support pour l'introduction et l'apprentissage des
nombres décimaux. Pour cette raison, on commence dès le CM1 l'étude des fractions
simples
et des fractions décimales. Du CM1 à la 6e, on aborde différentes
conceptions possibles de la fraction, du partage de grandeurs jusqu'au quotient de deux nombres
entiers, qui sera étudié en 6e. Pour les nombres décimaux, les activités peuvent se limiter aux
centièmes en début de cycle pour s'étendre aux dix-millièmes en 6e.
p. 1
Objectifs
Après avoir révisé les fractions, on met en évidence des fractions particulières : les fractions décimales.
On constate que toute fractions décimales est décomposable en un entier et la somme de fractions en
dixième, centièmes, millièmes…
Cette dernière décomposition nous mène ainsi aux décimaux.
Déroulé de la séquence
1. Activités d'approches
Activité 1 (30 minutes) :
Introduction aux fractions décimales.
1
Dans un premier temps, on place quelques points sur la demi-droite graduée ci-dessous. A(10);
5
10
14
26
B(10); C(10); D(10); E(10)…
Puis on agrandit l'intervalle [0;1] et on place des centièmes X(
1
10
87
); Y(100); Z(100)…
100
Activité 2 (1 heure)
Jeu de cartes :
Faire 6 groupes de 4. S'il y a des absents, faire des groupes de 5.
Distribution des jeux de cartes.
Description du jeu, mise en commun des remarques. Explication des règles.
Je circule entre les îlots pour répondre aux demandes d'arbitrage. Par exemple, s'il y a des
problèmes avec les pourcentages, passer à la fraction décimale. S'il y a un problème entre
fractions, est-ce intéressant de les décomposer ? Peut-on "réduire au même
dénominateur"…
S'il y a le temps, faire une seconde partie.
p. 2
2. La leçon
Page 9 du cahier de leçon
Chapitre 3
Les fractions décimales et les nombres décimaux
I- Les fractions décimales
Définition 1
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1, 10, 100, 1000 …
Exemple
56
100
ou
6251
1000
Remarque
Le numérateur d'une fraction décimale est un entier car c'est une fraction
Propriété 1
Une fraction décimale peut se décomposée en une somme d'un entier et de fractions
décimales inférieures à 1
Exemples
56
=0+
100
6251
1000
5
+
10
2
=6+
10
6
100
5
+
100
+
1
1000
Distribution d'une feuille d'exercices (Génération 5 page 46. Exercices pour mardi : exercices 8,
9 et 10 de la feuille ; pour vendredi : exercices 11, 12 et 13 et pour lundi : exercices 15, 17 et 18.
Minute culturelle :
Simon Stevin Bruges 1548- La Haye 1620. Il devient comptable et pense qu'il faut une façon plus
simple d'écrire les nombres. Il propose 3(0)9(1)2(2)5(3) pour 3.925. Cette méthode est décrite
dans son ouvrage "la Disme" paru en 1585. La virgule a été introduite par Bartholomäus Pitiscus
en 1612. Ou par Nepper (1550-1617) ou par Snellius (1581-1626).
II- Les nombres décimaux
p. 3
Définition 2
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction
décimale.
Exemple
6251
1000
=6+
2
10
+
5
100
+
1
1000
= 6,251
Remarque
La virgule sépare la partie entière de la partie décimale, c'est-à-dire qu'elle se situe
entre le nombre entier et les fractions décimales inférieures à 1
Propriété 2
L'écriture décimale d'un nombre est son écriture avec une virgule. La partie à gauche
de la virgule est la partie entière et celle à droite est la partie décimale.
Exemple
2 561, 568 est un nombre décimal dont la partie entière est 2 561 et la partie
568
décimale est 568. Il peut s'écrire 2561 + 100.
Remarque
La position d'un chiffre détermine sa signification
Exemple
1345,824 : 1 est le chiffre milliers et 4 est le chiffre des millièmes
p. 4
Méthode 1
Comparer deux nombres décimaux c'est comparer :
1. Les parties entières
2. Les dixièmes
3. Les centièmes
4. Les millièmes…
Exemple
2,25 < 3,25 car 2<3.
2,12 <2,9 car 2=2 et 1<9
2,25<2,256 car 2=2, 2=2, 5=5 et 0<6
2,25=2,250
Propriété 3
Les zéros à gauche du nombre sont inutiles
Exemple
025,96 = 25,96
Les zéros après la virgule sont inutiles s'il n'y a pas de chiffre non nul après
Exemple
6,905 = 6,905
6,9600 = 6,96
Méthode 2
Pour faire la somme de deux nombres décimaux, il faut additionner les millièmes avec
les millièmes, les centièmes avec les centièmes…
Pour faire la différence entre deux nombres décimaux, il faut soustraire les millièmes
avec les millièmes, les centièmes avec les centièmes…
Dans "Triangle"
Exercices 45 et 48 page 25
Exercices 75 page 27 et 76 page 28
p. 5
Exercices
Pour mardi 31 janvier
Pour vendredi 3 février
Pour lundi 6 février
p. 6
Correction des exercices
60
Exercice 8 : 100 ; 1 +
6
;
2
+
3
10 10 100
1000
1
10
Exercice 9 : 1 = 1000 ;
10
;1+
= 100 ;
7
10
8
+ 100
Exercice 10 : 46 dixièmes ; 1 unité et 23 centièmes ; 12037 millièmes ; 1 unité et 5 dixièmes.
158
Exercice 11 : 100 ;
47543 6017 836 91107 108
;
;
;
;
1000 1000 100 1000 100
78
752
2
47
752
9
Exercice 12 : 4 + 100 ; 7 + 1000; 4 + 10 ; 89 + 100 ; 0 + 1000; 99 + 10
886 1417
Exercice 13 : 100
100
5
7938
6307
405
; 1000 ; 1000 ; 1000
11
13
1
4
15
6
9
16
Exercice 15 : a. A(10) ; B(10) ; C(10) – b. A(10) ; B(10) ; C(10) – c. A(10) ; B(10) ; C(10)
Exercice 17 : 5,4 ; 15,384 ; 2,59 ; 0,15 ; 1,08 ; 2,4789 ; 0,3 ; 0,082
Exercice 18 : 2,8 ; 47,89 ; 0,075 ; 0,05 ; 0,9 ; 0, 956
p. 7
Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux
Mémoriser des faits numériques et des procédures
élémentaires de calcul.
Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l'oral
et à l'écrit.
Vérifier la vraisemblance d'un résultat, notamment
en estimant son ordre de grandeur.
- Addition, soustraction, multiplication, division.
Exemples de faits et procédures numériques :
- Propriétés des opérations :
•
•
•
2+9 = 9+2
3×5×2 = 3×10
5×12 = 5×10 + 5×2
- Faits et procédures numériques additifs et
multiplicatifs.
- Multiples et diviseurs des nombres d'usage
courant.
- multiplier ou diviser par 10, par 100, par
1000 un nombre décimal,
- rechercher le complément à l'unité, à la
dizaine, à la centaine supérieure,
- encadrer un nombre entre deux multiples
consécutifs,
- trouver un quotient, un reste,
- Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10).
- multiplier par 5, par 25, par 50, par 100, par
0,1, par 0,5 ...
Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir
un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur.
Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des
situations très simples.
Utiliser différentes présentations pour
communiquer les calculs (formulations
orales, calcul posé, en ligne, en colonne,
etc.).
- Règles d'usage des parenthèses.
En lien avec la calculatrice, introduire et
travailler la priorité de la multiplication sur
l'addition et la soustraction ainsi que l'usage
des parenthèses.
Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de
calcul posé pour l'addition, la soustraction, la
multiplication, la division.
- Techniques opératoires de calcul (dans le cas de
la division, on se limite à diviser par un entier).
Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour
trouver ou vérifier un résultat.
- Fonctions de base d'une calculatrice.
p. 8
Chapitre 4
Opérations sur les nombres décimaux
I-
Ordre de grandeur
Définition 1
L'ordre de grandeur d'un nombre est une valeur approchée simple du nombre
Exemple
L'ordre de grandeur de 426.89 est 400 : on enlève la virgule et on prend les
dizaines, les centaines, les milliers…, les plus proche.
L'ordre de grandeur de 58.9 est 60.
Méthode 1
On peut calculer l'ordre de grandeur du résultat d'une opération en effectuant
l'opération avec les ordres de grandeur de ses nombres.
Exemple
Ordre de grandeur de 51.36 x 9.2 est 50 x 10 = 500 (le vrai résultat est 472.512).
Exercice d'application 3 page 36
II-
Addition et soustraction
Méthode 2
Pour additionner ou soustraire deux nombres décimaux, on pose l'opération en
colonne en alignant les virgules.
Si l'un des nombres est entier, on ajoute une virgule à droite.
Si les deux nombres n'ont pas autant de chiffres après la virgule, on ajoute autant
de zéros que nécessaire.
Exemple
23.85 + 12.6 = 36,45
68.36 – 16 = 52,36
23,85
+ 12,60
68,36
- 16,00
36,45
52,36
p. 9
III-
Multiplication et division par 10
Méthode 3
Pour multiplier par 10, on décale les chiffres d'un rang à gauche (les unités
deviennent des dizaines ; les dixièmes deviennent des unités…). Pour multiplier
par 100 on décale les chiffres de 2 rangs à gauche, etc.
Exemple
6,37 x 10 = 63,7 ; 27 x 100 = 2700 ; 357,5 x 1000 = 357500
Méthode 4
Pour diviser un nombre par 10, on décale les chiffres d'un rang à droite (les
unités deviennent des dixièmes ; les dizaines deviennent des unités…). Pour
diviser par 100, on décale les chiffres de 2 rangs à droite, etc.
Exemple
6.37 ÷ 10 = 0,637 ; 27 ÷ 100 = 0,27 ; 3582,3 ÷ 1000 = 3,5823
Remarque
Diviser par 10, c'est aussi multiplier par 0,1.
Diviser par 100, c'est aussi multiplier par 0,01
IV-
Multiplication
Méthode 5
Pour effectuer une multiplication entre deux nombres décimaux, on effectue
d'abord la multiplication sans tenir compte des virgules. Puis on compte le
nombre de chiffres à droite de la virgule des deux facteurs et on place la virgule
dans le résultat pour avoir autant de chiffres dans la partie décimale qu'on en a
compté sur les facteurs.
Exemple
23,85
x
1,2
4770
2385.
2 8,6 2 0
p. 10
V-
Division
Méthode 6
Pour diviser un nombre décimal par un entier, on effectue la division habituelle
mais, lorsqu'on abaisse le nombre des dixièmes, on place une virgule dans le
résultat
Exemple
VI-
23,85
4
3 8
5, 9 6 2 5
25
10
20
0
Calcul en ligne et priorités
Règle
Les calculs entre parenthèses sont prioritaires sur tous les autres calculs.
La multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction.
Exemple
3,8 + 2,7 x 2,1 = 3,8 + 5,67 = 9,47
(3,8 +2,7) x 2,1 = 6,5 x 2,1 = 13,65
p. 11