Info 1 - en classe

INITIATION AU LOGICIEL Xcas
INFO 1
SECONDE
EXERCICE 1 - Calculer une somme d’entiers consécutifs
On note N un entier supérieur à 1 .
Il s’agit de calculer la somme 1 + 2 + …. + N des entiers compris entre 1 à N .
• On construit un algorithme dans un langage naturel :
ENTREE
TRAITEMENT
DES DONNEES
SORTIE
On choisit un entier naturel N supérieur à 1 .
On initialise S sur la valeur 0
On répète pour k de 1 jusqu' à N
l ' instruction suivante :
S est remplacé par S + k .
On affiche la valeur de S
• On écrit cet algorithme dans le langage de Xcas :
Question 1 :
Exécuter l’algorithme pour calculer les sommes
A = 1 + 2 + 3 + … + 99 et B = 1 + 2 + 3 + … + 2009 .
EXERCICE 2 - Placement dans une banque
On place 1000 € dans une banque au taux annuel de 2 % .
Chaque année , le capital placé C augmente de 2% .
Il devient donc C + 0,02 C c’est-à-dire 1,02 C .
On voudrait connaître le nombre N d’années au bout desquelles
le capital disponible est strictement supérieur à 5000 € .
Un algorithme permet de traiter ce problème .
On l’écrit dans un langage naturel :
ENTREE
On saisit le capital initial C
On initialise le nombre d'années N sur la valeur 0
TRAITEMENT
DES DONNEES
Tant que C est strictement inférieur à 5000
on remplace C par 1,02 × C
on remplace N par N+ 1
SORTIE
On affiche les valeurs de N et de C
On l’écrit dans le langage de Xcas
Question 2 : Faire fonctionner l’algorithme et donner les valeurs de N et de C .
EXERCICE 3 - Résoudre une équation par une méthode de balayage On considère la fonction f définie sur ℝ par f (x) = x 3 + x − 20
Sur la représentation graphique , on
peut admettre que cette fonction f
est croissante et que l’équation
f ( x ) = 0 admet une unique solution
α comprise entre 2 et 3 .
On propose un algorithme où l’on
calcule f ( x ) pour des réels x qui avancent
à partir de 2 selon un pas régulier h et où l’on s’arrête dès que f ( x ) change
de signe ( en passant du négatif au positif ) .
Question 3 : Exécuter cet algorithme et donner un encadrement de la solution α .
EXERCICE 4 : Résoudre une équation par une méthode de dichotomie
L’algorithme précédent n’est pas très rapide .
On reprend l’étude de la fonction f définie sur ℝ par f (x) = x 3 + x − 20
et de l’équation f( x ) = 0 par une méthode de dichotomie ( « division par 2 » ) .
On prend au départ un intervalle [ a ; b ] sur lequel on est sûr de trouver
la solution α de f ( x ) = 0 .
a+b
Le centre c de cet intervalle est donné par c =
.
2
• Si f ( c ) < 0 alors la solution se trouve dans l'intervalle [ c ; b ] .
Dans ce cas , on remplace a par c .
• Sinon , la solution se trouve dans l'intervalle
[a
;c] .
Dans ce cas , on remplace b par c .
En poursuivant ce procédé , on obtient un intervalle [ a ; b ] qui contient
la solution α et dont l’amplitude h est aussi faible qu’on veut .
Question 4 :
Faire fonctionner l’algorithme et donner un encadrement
de la solution α .
EXERCICE 5 - A quoi sert l’algorithme suivant ?
Question 5 :
Que calcule-t-on à partir du nombre a ?
RÉPONSES
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
A = 4950
N=
B = 2 019 045
C ≈ 5072.40 €
82 ans
2.591 ≤ α
≤ 2.592
2653
1327
≤ α ≤
1024
512
( configuration de Xcas sans approx )
2.5908203125 ≤ α ≤ 2.591796875
( configuration de Xcas avec approx )
Question 5
Le compteur k prend les valeurs a , a+1 , a+2 .
L'algorithme calcule la somme S = a 2 + ( a + 1 ) 2 + ( a + 2 ) 2 .
Par exemple , en choisissant a = 5 , on obtient S = 52 + 62 + 7 2
c'est-à-dire S = 110
.