Étude de la stabilité du mouvement de l`électron rayonnant à l

Étude de la stabilité du mouvement de l’électron
rayonnant à l’approximafion linéaire. Application aux
anneaux de stockage. - (Première partie)
Francis Fer
To cite this version:
Francis Fer. Étude de la stabilité du mouvement de l’électron rayonnant à l’approximafion
linéaire. Application aux anneaux de stockage. - (Première partie). Journal de Physique, 1963,
24 (10), pp.746-752. <10.1051/jphys:019630024010074600>. <jpa-00205560>
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LX JOURNAL DE PHYSIQUE
TOME
24,
OCTOBRE
1963,
746.
ÉTUDE DE LA STABILITÉ DU MOUVEMENT DE L’ÉLECTRON RAYONNANT
A L’APPROXIMAFION LINÉAIRE. APPLICATION AUX ANNEAUX DE STOCKAGE.
(Première partie)
Par FRANCIS FER,
Physique Nucléaire, Orsay.
Laboratoire Joliot-Curie de
Résumé. 2014 La stabilité est étudiée
en prenant pour équation du mouvement l’équation, peut
mais néanmoins nécessaire pour les raisons données à l’introduction, de LorentzAbraham. Dans une première partie on établit les équations des petits mouvements dans un champ
électromagnétique quelconque, puis ces équations sont particularisées au champ à plan de symétrie. Dans une deuxième partie, on calcule les coefficients d’amortissement des oscillations, amortissement dû au rayonnement ; ce calcul nécessite un développement des solutions par rapport au
terme de rayonnement, développement dont la validité est discutée au § 4. Le calcul met en évidence un phénomène de déstabilisation de l’oscillation de phase par le rayonnement, mais qui n’a
d’effet qu’à de très hautes énergies.
être
compliquée
The stability is investigated on the basis of the Lorentz-Abraham equation of motion
Abstract.
for the radiating electron ; although complicated, this equation is needed for reason given
in the Introduction. In the first part of this paper, the equations of oscillations are derived for
The second
an arbitrary electromagnetic field, then particularized to a symmetry plane field.
part consists in the calculation of damping factors due to the radiation loss ; this calculation needs
The
some expansion with respect to the radiating term, the validity of which is discussed in § 4.
calculation shows there is a phenomenon of destabilization of the phase oscillation due to the
radiation loss, which is an effect only at very high energy.
2014
Ce travail a pris sa source dans un des multiples
prob]6mes poses par la construction de 1’anneau de
stockage du Laboratoire des Hautes Energies
d’Orsay, la stabilite des oscillations autour de la
trajectoire d’equilibre a I’approximation lin6aire.
11 existe comme on sait sur ce sujet un certain
nombre de travaux dont ceux de Kolomenski et
Lebedev [1] et de K. W. Robinson [2] et, durant le
temps que je conduisais ces calculs, F. E. Mills, du
M. U. R. A., alors en s6jour a Saclay, achevait les
siens et en donnait la primeur au Laboratoire des
Hautes Energies (ils ont ete publi6s depuis [3]).
Avant de passer au calcul proprement ditje,
voudrais donner la raison qui m’a fait employer,
comme equation fondamentale du mouvement,
1’6quatioii de Lorentz-Abraham, donn6e au § 1.
L’intervention, au cours du mouvement de
l’électron, de la perte d’énergie et de la force de
freinage qui en d6coule modifie assez profondement,
comme on sait, les proprietes de stabilite du mouvement. Pour 6valuer, sans trop de complications,
la force de freinage on peut tenir le raisonnement
suivant (valable seulement pour les vitesses relativistes, mais ce sont celles-la qui pratiquement
nous int6ressent) : les photons 6mis sont concentres dans un cone de tres petite ouverture (de
l’ordre du milliradian) axe sur la trajectoire ; en
negligeant cette ouverture on peut dire que pratiquEment la force de freinage est dirigee tangentiellement a la trajectoire, et que par consequent on
en obtiendra la grandeur en égalant sa puissance à
la puissance rayonnée, dont on connait par ailleurs
la valeur.
Or, a la reflexion, l’approximation qui consiste à
négliger ainsi la composante transversale de la
réaction de rayonnement apparait discutable. La
reaction de rayonnement cause en eflet, par rapport
a la trajectoire imagin6e non rayonnante, un ralentissement longitudinal et un d6placement transversal ; le ralentissement est due a la seule composante tangentielle de la reaction, tandis que le
déplacement transversal est dû a la composante
normale de la force d’une part, et au ralentissement d’autre part par 1’intermediaire d’un effet
purement géométrique ; mais il est clair que ce
dernier effet est du second ordre, de sorte qu’il
n’apparait pas impossible que les deux d6placements transverses soient de grandeurs cornparables, meme quand la composante normale de
freinage est petite devant la composante tangentielle. De plus dans un anneau de stockage, le
ralentissement est compense par une acceleration
H. F. qui n’a aucune raison de compenser aussi la
composante normale de freinage, de sorte que, sur
un grand nombre de tours, il peut se produire des
effets de compensation et des effets cumulatifs dont
nous ne pouvons rien angurer sans un calcul
d6taiII6. En bref il n’est pas justifi6, au moins
a priori, de negliger 1’influence de la composante
normale de la reaction de rayonnement stir la sta-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019630024010074600
747
et on verra
est de même a
bilité,
au paragraphe 6, itt fine, qu’il en
posteriori, cette approximation
tronquant les r6sultats de
termes fondamentaux.
11 est donc plus sur de recourir a 1’expression
complete de la reaction de rayonnement : cette
expression a ete donn6e pour la premiere fois par
Lorentz [4], puis étendue au cas relativiste par
Abraham [5] et von Laue [6]. 11 est probable, pour
plusieurs raisons, qu’elle ne repr6sente qu’une
premiere approximation de la realite, mais c’est la
seule expression dont on dispose actuellement [7].
Son emploi complique sans doute un peu les
calculs ; cependant, ainsi qu’on le verra, il est
possible de mener ceux-ci jusqu’au bout sans faire
d’approximations simplificatrices en route (6tant
bien entendu que des le depart on s’en tient à
l’approximation lin6alre des petits mouvements).
Cette etude comprend pour 1’essentiel deux
parties distinctes.
Dans la premiere partie, paragraphes 1 et 2,
j’etablis, a partir de 1’equation de LorentzAbraham, les équations des petits mouvements
equations aux variations) autour d’une
de
trajectoire reference r quelconque ; le principal
probl6me a r6soudre ici est d’obtenir les equations
les plus simples possibles, et les mieux adaptees aux
etudes ult6rieures de stabilité : on y parviendra en
projetant les petits mouvements dans un tri6dre T
dont l’origine est sur r et dont la rotation (ou
meme un mouvement plus general) est choisie en
fonction de la forme de r. Les equations générales
seront ensuite particularisées (§3) au cas d’un
champ poss6dant un plan de symetrie et d’une trajectoire r situ6e dans ce plan (mais non n6eessairement fermee), le tri6dre T s’identifiant alors au
tri6dre de Frenet.
Les diverses equations obtenues dans cette premi6re partie comprennent 6videmment comme cas
particulier le mouvement dans un champ 6lectromagnet,ique en 1’absence de rayonnement.
La deuxi6me partie (§,,4’ a 7) consiste en l’utilisation des equations precedemment 6tablies pour
1’etude des coefficients de stabilité de la trajectoire
d’equilibre dans un anneau de stockage a electrons.
De quelque maniere qu’on opere, ces coefficients
s’obtiennent en partant des exposants caractéristiques d6finis en 1’absence de rayonnement et en
les corrigeant de 1’influence de ce dernier ; analytiquement, cela revient a faire un d6veloppement
des solutions des equations d’oscillations par rap2 q2
au par metre =
pport
ort au
qui commande le
3 moc q
terme de rayonnement. Mats l’application de cette
m6thode est assez delicate dans le cas qui nous
occupe parce que le petit paramètre E affecte les
dérivées d’ordre maximum, ce qui apparente
1’6quation de Lorentz-Abraham aux equations de
relaxation et pose de difflciles probl6mes, en particulier celui de la justification de la méthorle ; j j’en
(ou
encore
param6tre c = - 3 m,c
expose le principe au paragraphe 4, mais seulement
le principe, une justification complete sortant du
cadre de ce travail.
Le paragraphe 5 est eonsaer6 au calcul du coefficient d’amortissement des oscillations verticales,
qui ne soul6ve pas de probl6me. Les oscillations
horizontales en posent davantage ; on verra en
effet au paragraphe 6 que le rayonnement a pour
effet, non seulement de creer un amortissement ou
une amplification (selon les valeurs du gradient de
champ) des oscillations radiales et longitudinales,
mais aussi de diminuer la frequence de ces dernieres ; cette diminution, totalement négligeable
aux energies de l’ordre du GeV, amène à l’instabilit6 pour les tres hautes energies.
Le paragraphe 7 enfin a pour but d’appliquer
pratiquement les formules th6oriques pr6c6demment obtenues pour les coefficients d’amortissement en n6gligeant les termes d’importance infime
ou secondaire. On verra que les r6sultats concordent
avec ceux de F. E. Mills, mais different de ceux de
Kolomenski et de Robinson pour les oscillations
radiales et longitudinales dans le cas de gradients
de champ variables.
Je ne voudrais pas terminer cette introduction
sans remercier MM. J. Andrade e Silva et G. Lochak
pour les discussions fructueuses que nous avons
eues tout au long de ce travail et la collaboration
amicale qu’ils y ont ainsi apport6e.
1. Notations, 6quations du mouvement et
J’utiliserai le plus souvent le formarappels.
lisme tensoriel de la relativite restreinte, parce qu’il
permet des 6critures plus condens6es et plus symetriques ; en outre 1’emploi du temps propre comme
-
ind6pendante, qui est un des traits de ce
formalisme, a l’avantage de rendre autonomes les
equations dinerentielles du mouvement. 11 ne faut
cependant pas oublier, le moment venu des applications numeriques, que le temps propre s’6coule
beaucoup plus lentement que le temps de l’observariable
et ne pas confondre les deux.
Les variables spatio-temporelles du référentiel
de l’observateur sont xyzt, que nous condenserons
sous
la notation xP (p, et tous les indices
t) ; les variables d’espace
0, 1, 2, 3 ; XO
grecs
vateur,
==
=
seront affectées d’indices latins (i, k,
La m6trique d’espace-temps est la forme
=
...
1, 2, 3).
quadra-
tique
coordonn6es contrevariantes, et la differentielle
du temps propre d7 est d6finie par
en
Nous d6signerons par uP et yP leg
vitesse et acceleration d’univers
quadriverteurs
748
par v, de
tuelle
et par v
coinposaiites vk, la vitesse spatiale habi-
=
B11(VI)2
Nous utiliserons
s
6tant l’abscisse
la grandeur de la
6galement la variable u
vitesse.
coordonn6es, a des composantes spatiales qui
forment un vecteur dispose de maniere quelconque
par rapport a la vitesse ; l’autre est colin6aire au
vecteur vitesse, avec le coefficient - e yx -(Ie’!.. On
ram6ne facilement ce coefficient aux quantités
m6caniques usuelles : il suffit pour cela de partir de
l’equation
curviligne le long de la trajectoire
spatiale.
v/c), uO
(ou p
dildr,
u ne repr6sentent qu’un seul et meme param6tre
physique, la vitesse ou 1’energie de la particule, et
on a entre elles le syst6me de relations qui permet
Les trois variables v
=
=
de passer facilement de l’une a 1’autre
transf orme
pour obtenir
qu’on
de
(d6riv6es
rapport
dvidt
au
sur
au
1’6nergie
temps t) ;
moyen des
equations (2)
et de la vitesse
en
projetant
le tri6dre de Frenet
on
prises
par
l’accélération
peut
encore
ecrire
u° n’est pas autre chose que le rapport W/W° de
de la particule a son énergie au repos
tVO
mo c2. La deuxi6me relation ci-dessus s’écrit
aussi, sous forme tensorielle
1’energie
=
(up sont les composantes covariantes du quadric2 uo ; Up uP
vecteur vitesse : ui
Ui, uo
d6signe une multiplication contractee suivant la
=
=
-
convention g6n6rale des indices muets).
Nous prendrons pour equations du mouvement
le syst6me de Lorentz-Abraham
danes lequel
les grandeurs m6caniques etant évaluées en CGS,
la charge q en u. 6. m. CGS ;
F est le tenseur électromagnétique du champ
externe, de tableau
courbure). On voit donc que y>, ir’
quantité essentiellement positive et que
(p :
rayon de
est
une
par suite le second terme de c(DP est un terme de
freinage, oppose a la vitesse.
L’6quation (M) d’indice zero est 1’equation de
1’energie. Si on y explicite les composantes F’ on
obtient
qu’on peut transformer, en tenant compte
definition de x et de l’énergie W, en
Lorsque la trajectoire rest fermée et parcourue
d’un mouvement p6riodique on obtient, en multipliant les deux membres de (6) par dT, en iiit6grant sur une p6riode et en remarquant que les
int6grales de duo/dr et d 2 uojd-r2 sont nulles,
l’équation
le
signe
designant l’intégration consisterp6riode
du mouvement,
sion
on
La réaction de rayonnement comprend, comme
le voit, deux terms : l’un, derivee troisieme des
sur une
en un
p6riode qui peut
complet ou 11n ième de tour. Le premier
membre repr6sente 1’apport d’6nergle H. F., le
second la perte d’énergie due au rayonnement, par
p6riode.
Les quatre equations condens6es en (11I)
admettent la relation (3) comme int6grale premier
(il suffit pour le voir de multiplier les deux membres
de (M) par up et de contracter). 11 est done 6quivalent, et plus ou moins avantageux suivant les
cas, d’utiliser le système (M) tel quel, ou un s-vst6me
de remplacement constitué par 3 quelconques des
equations (M) et 1’equation (3).
tour
E de composantes Ek 6tant le champ 6lectrique,
H de composantes Hk le champ magnétique ;l’un
et 1’autre peuvent d6pendre du temps t ; e(DP est
la reaction de rayonnement, OP ayant pour expres-
de la
749
L’ecriture du syst6me (M) est classique ; on aura
que ce n’est pas une 6criture canonique
en ce sens que la d6riv6e d’ordre maximum n’est
pas plac6e isol6ment au premier membre ; la raison
en est que, sous reserve d’admettre un postulat
physique que nous verrons au paragraphe 4, les
d6riv6es troisiemes jouent le role de termes correctifs en laissant ainsi a 1’6quation (M) son allure
d’équation de la M6canique, qu’elle n’a pas en
remarque
toute
plus rapide et au fond plus naturelle, j"emploierai la seconde, qui demande un formalisme
peu
tensoriel moins
poussé.
rigueur.
2. Atablissement des equations aux variations.
Consid6rons une trajectoire d’espcccetemps r des equations (M), et une trajectoire r’
infiniment voisine (infiniment voisine dans 1’espacetemps). Conformément au procédé constamment
utilise dans ce genre d’etudes, nous définissons r’
en prenant r comme reference, au moyen d’un
déplacement d’espace-temps infiniment petit
MM’ (fig. 1). Nous nous proposons d’établir les
equations diff6rentielles qui r6gissent ce déplacement en arretant ces equations a leur approximation lin6aire.
Nous ne ferons sur la trajectoire h - hormis
bien entendu la regularite math6matique indis-
pensable
-
aucune
hypoth6se particuli6re,
et
ce
pour la raison suivante. Si les trajectoires planes
fermees sont parmi les plus frequemment rencontr6es et les plus faciles a traiter, il existe un certain nombre de cas, d’intérêt pratique, ou il peut etre
avantageux de considerer des trajectoires de référence plus compliqu6es : trajectoires spirales dans
un cyclotron par exemple, trajectoire gauchies par
def aut de champ ou volontairement, etc.... 11 est
donc int6ressant de poss6der les equations générales des petits mouvements, qu’on pourra ensuite
particulariser pour chaque cas 6tudl6 (c’est ce que
je ferai ensuite pour le cas pratique d’un anneau
de stockage).
Comme je l’ai dit plus haut, le probl6me n’est pas
d’établir les equations aux variations du système
(M) dans des coordonn6es cartesiennes quelconques, ce qui est facile, mais de trouver un syst6me de coordonn6es curvilignes adapt6 a la trajectoire de reference choisie ou physiquement
imposee et qui satisf asse a ces deux ohligations :
donner aux equations des petits mouvements la
forme la plus simple pour l’ analyse ulterieure ;
caract6riser de maniere simple les parametres physiques du déplacement, a savoir 1’ecart longitudinal ou de phase et 1’6cart transversal.
Pour arriver a cet objectif on peut, soit ecrire
1’equation (M) en coordonn6es curvilignes quelconques puis les particulariser graduellement de
maniere a simplifier le syst6me des petits mouvements, soit ecrire les equations aux variations dans
des axes cartesiens puis projeter les petits mouvements dans des axes lies a F et qu’on d6term’nera
au mieux. Bien que la premiere m6thode soit un
--
-
FIG. 1.
Designons par 3xP == çP les coordonnees du
deplacement MM’ dans les axes cartesiens fixes
Oxyzt. A 1’6cart &xP correspond une certaine variat,ion du temps propre, 3,r, que l’on peut calculer en
fonction de dPIdT en variant 1’equation (3) ; il
suffit alors de varier, suivant une m6thode bien
connue, les diff6rents termes de 1’6quation (M)
pour obtenir, a 1’etat brut en quelque sorte, Ie syst6me suivant
Quand r est exprime en fonction des çP, on a
affaire a un syst6me de 4 equations a 4 inconnues,
mais qui ne comporte en réalité que 3 equations
indépendantes : on peut s’en assurer en en effectuant la multiplication contractee par up, et cela
r6sulte d’ailleurs de ce qu’il d6coule de 1’6quation (M) qui poss6dait d6jh elle-m6me ce caract6re.
Cette propriete entraine une indétermination
qui s’explique imm6diatement par un raisonnement geometrique, et qui va permettre de simplifier les équations aux variations. Dans l’infiniment
petit, si M’ est un point de r’, le point M" d6duit
de M’ par une translation tangente a r’ (ou parall6le a la tangente en M a r, a des infiniment
petits du second ordre pr6s) et de grandeur quelconque, est encore un point de r’ ; done si un vecteur §P vérifie les equations (7) le vecteur çP + ’Jo uP
( va quelconque) les vérifie 6galement. Consid6rons
alors un référentiel mobile -6 constitué par trois
axes vi (i
1, 2, 3) du genre espace et un axe vo
identique au vecteur up, c’est-à-dire tangent a r.
D’apr6s ce qui precede les equations aux variations, projetees dans le référentiel 1), ne doivent
d6pendre que des composantes vk ; on pourra alors
extraire du systeme (7) transform6 un systeme
=
750
de 3 equations a 3 inconnues v’e. C’est bien ce que
Sur les bases qui viennent d’6tre ainsi d6finies
le calcul v6rifie. Inversement d’ailleurs on pourrait on montre, en introduisant Ie changement de
montrer que, pour qu’une des 4 coordonn6es vo h
variables
Aki vi dans les equations (7) et
V3 disparaisse des equations, il faut que I’axe corres- (7 bis) et en r6solvant par rapport a D2 vkI Dr 2,
pondant a cette coordonn6e soit tangent a la tra- que les equations des petits mouvements autour
jectoire d’espace-temps [8]. Avec cette première de r prennent la forme
particularisation des axes, il est clair qu’on pourra
se borner a considérer, comme point M’ deplace
de M, l’intersection de F’ avec l’hyperplan défini
par les trois axes v,, v2, V311 nous reste maintenant a choisir ces derniers.
dans lesquelles Nous poserons en premier lieu que ces trois vecV1c (k
1, 2, 3) sont les composantes du d6plateurs sont d’espace pur, c’est-h-dire que leur hypercement a temps constant MM’ dans le tri6dre
plan a pour équation t Cte. Ce choix simplifie mobile T d6fini par (8) ;
les equations et a l’avantage de caract6riser imm6V1c
hk sont les composantes dans T de la
diatement l’oscillation de phase : MM’ est alors en vitesse
spatiale ordinaire (vk dans Oxyz) ;
effet 1’6cart mesure a tenips constant entre les trasont les composantes du tenseur 6lectromaYg
j ectoires d’espace r et r’.
gn6tique dans le référentiel d’espace-temps C
Reste enfin a d6finir, dans l’espace ordinaire, la
(tri6dre T avec composante temporelle nulle,
position du tri6dre T constitué par les axes vi. axe vo identique au quadrivecteur uP) ;
Des considerations diverses, qu’il serait trop long
les dérivées bF’/bvi sont prises au point M de la
d’énumérer ici [8], am6nent a poser que T se maniere suivante : on
proj ette dans le référentiel C
d6place par rotation ; il va de soi qu’on a alors du point M les composantes du tenseur 6lectrointérêt a le prendre orthonorm6. Analytiquement,
magn6tique en tout point de 1’espace et on prend
si nous d6signons par
les d6riv6es ô:F {ðVi comme s’il s’agissait d’un
référentiel fixe ; en d’autres termes le mouvement
le changement de coordonn6es qui fait passer du de l3 n’intervient pas dans cette derivation ;
enfin Ark est le terme de reaction de rayonnetri6dre T au tri6dre Oxyz, nous d6finirons le moument, et a pour valeur
vement de T par les equations différentielles
=
=
==
=
Qj
6tant
un
tenseur
posantes strictes Qk
antisymétrique dont les com(_-Ik + 2sont les projections
=
du vecteur rotation instantan6e Q dans le tri6dre
mobile orthonorm6 T. Cette condition laisse 6videmment arbitraire la position initiale de T, mais
c’est sans importance.
Projetons maintenant les equations (7) dans le
référentiel l3. Quand on passe des composantes §P
aux composantes vk, les d6riv6es d/dr, qui sont
prises par rapport a des axes fixes, doivent etre
remplac6es par des expressions plus complexes,
tenant compte du mouvement du tri6dre T ; si ce
mouvement était general on aurait affaire, dans la
terminologie du calcul tensoriel, a des d6riv6es
covariantes ; dans le cas présent, ou le mouvement
de T est une rotation pure, l’opérateur de derivation covariante s’identifie a l’addition de la vitesse
relative et de la vitesse d’ entraînement. On est de la
sorte amene a définir un op6rateur D /Dr par
Cet
op6rateur peut etre renouvele
sur
11 est int6ressant, en passant, de donner une interpr6tation ein6matique du produit contract6
Vi Dvi IP’r ; on montre que, si on d6signe par 8v la
variation de la grandeur de la vitesse quand on
passe de M a M’ (a temps constant), on a 1’e"quation
Enfin
peut relier les d6riv6es covariantes
V1( ID,,;2 par 1’6quatioii du mouvement ; celle-ci aussi peut etre projetee dans le
DVk ID’T
référentiel b et
6crit
on
montre ais6ment
qu’elle s’y
lui-meme :
systeme (S) est pratiquement le plus simple
auquel on puisse parvenir tant qu’on respecte la
symetrie des trois coordonn6es vk. Alais on peut, en
sacrifiant toutefois cette derni6re, le simplifier
encore. Une des solutions les plus indiquées consiste
a prendre un des axes du tri6dre T, v, par exemple,
Le
et ainsi de suite.
on
et D2
751
Langent a la trajectoire d’espace ; ce choix a pour
avantage de s6parer la composante longitudinale
du vecteur 6cart MM’ de ses composantes transversales et de pr6parer ainsi 1’etude de la stabilite.
La rotation de T ne depend alors plus que d’un seul
param6tre, pour lequel on peut prendre F angle 7r
de la normale principale n 4 r avec 1’axe v,. Si la
courbe r est gauche, on peut montrer qu’on
obtiendra une nouvelle simplification en prenant
pour T, non pas le tri6dre de Frenet, mais un tri6dre
d6fini par rapport a ce dernier par la relation
1
1
d7
torsion . Dans le cas ou la
o
ds
courbe T’ est plane, cette r6gle aboutit a prendre
pour T le tri6dre de Frenet.
Le choix precedent n’est pas le seul qu’on puisse
faire. L’int6r6t de la forme des equations (S) est
qu’elles renferment 3 param6tres, les 3 composantes de la rotation, dont on peut disposer pour
arranger a volont6 3 de leurs termes, ce qui peut
faciliter la comprehension ou la resolution du syst6me. On pourrait meme g6n6raliser la loi (8)
d’evolution du ti6dre T en s’abstenant d’imposer
a Qf la condition d’antisymétrie, c’est-à-dire en
introduisant, en plus des 3 param6tres de la rotation, 3 param6tres de distorsion des axes, ce qui
porterait a 6 le nombre de parametres dont on peut
disposer. 11 est clair que 1’application d’une telle
m6thode devient une question de cas d’espèce, et
depend essentiellement de la forme de la trajectoire r.
Dans un autre ordre d’idées, on peut se demander
s’il est preferable, pour traiter le syst6me (S),
d’expliciter D2 v’/D,72 et Dv’/Dr au moyen des
equations (9) et (9 bis) et d’avoir ainsi 3
du second ordre (abstraction faite des termes Nk),
ou au contraire d’introduire 3 inconnues auxiliaires
f)lC
Dvk jDT, ce qui m6nera à 6 6quations du premier ordre. En r6gle g6n6rale, on peut dire qu’il
vaut mieux employer ce dernier procédé, les quantités Ok n’étant pas des intermediaires de calcul
tout artificiels, mais ayant au contraire une signification physique claire, celle de vitesses absolues.
C’est la m6thode que j’utiliserai au paragraphe 6.
d6fini par ses 3 composantes : longitudinale a(,v1),
normale ou radiale v(v2), verticale z(v3). On
définira de meme les composantes Eo, Ev, Ez,
du champ électrique, Ha, Hv, Hz du champ magn6tique en M.
Les projections de la vitesse v dans le tri6dre T
sont
dn + 1 a Bc1: torsion;
=
equations
=
ou le champ admet un
Nous allons maintenant appliquer les considerations qui precedent au cas ou le
champ électromagnétique admet un plan de sym6trie et ou la trajectoire d’espace r est situ6e dans
ce plan. Nous ne supposerons pas cette trajectoire
nécessairement fermee ; ce peut etre, par exemple,
une spirale de cyclotron.
Comme nous venons de le voir, on a alors intérêt
a prendre pour T le tri6dre de Frenet a, v, z (a tangente orient6e dans le sens des s croissants, z verz A a), l’ordre a, n, z 6tant
ticale ascendante, n
l’ordre 1, 2, 3 des indices. Le vecteur 6cart MM’ est
3.
Application
plan de symétrie.
FIG. 2.
D’autre part le tri6dre de Frenet s’oriente par
rotation axee sur Mz ; si p est le rayon de courbure (mesure algébriquement sur Mn), la rotation
a pour mesure 1 /p quand on prend s comme parametre de description de r ; comme nous devons
utiliser le temps propre r pour d6crire r, il faut
multiplier cette valeur par ds /dr u, de sorte que
le vecteur rotation a pour mesure sur Mz
une
=
Q est la
et on a
composante stricte Q3 du tenseur rotation
composantes de Qf 6tant nulles.
Les equations (9) et (9 bis) permettent de calculer les d6riv6es covariantes de 0’, v, z ainsi que
des Vi ; en introduisant les valeurs de ces d6riv6es dans l’équation générale (S) on aura les 6quations du mouvement cherch6es pour le cas particulier 6tudl6. On tiendra compte en outre des
equations de Maxwell, et les equations (12) et
toutes les autres
(12 bis) permettent d’apporter quelques simplifications. Les r6sultats sont les suivants.
On notera tout d’abord que les equations
et (12 bis) se r6duisent a deux qui sont
(12)
au cas
-
=
yx
’YJ.,
qui
6tant donn6 par 1’expression
devient ici, compte tenu de (14)
L’équation (15)
approximation
montre
qu’on
a
générale (5)
en
premiere
752
Le signe
provient des conventions faites sur
l’orientation du tri6dre de Frenet. Si rest une
trajectoire ferm6e ou spirale parcourue dans le
sens direct autour de la verticale ascendante, la
normale v
z 1B cr est dirig6e vers l’int6rieur de r,
Q est positif et Hx n6gatif. On prendra garde dans
les applications numeriques que le gradient de
champ doit etre évalué d’après les m6mes conventions, c’est-à-dire suivant la normale int6rieure.
Les oscillations verticales d’une part, horizontales (longitudinales et radiales) d’autre part sont
d6coupl6es. L’équation des oscillations verticales
s’écrit
-
P
et Q ayant
les valeurs
==
H
de
simplicity la
designant, pour plus
champ magnétique.
Hz du
composante
Les oscillations horizontales font ressortir un
couplage entre la composante longitudinale a et
la composante radiale v ; conf ormement a ce qui
a ete dit plus haut, on introduira deux variables
quantité 0 Dc/Dr est susceptible d’une
interpretation ein6matique simple : les 6quations (11.) et (13) permettent en effet d’écrire
immeLa
=
diatement
relie a la variation 8u° de 1’6nerr a sa trajectire ais6ment
auxiliaires
D’autre part 8v
et les
gie quand on passe de la trajectoire
toire variee ; des equations (2) on
equations
s’ecrivent alors
se
de sorte que 1’6quation en dO /dT de (H) peut être
aussi bien considérée comme l’équation de la variation de l’energie que comme une équation en d 2a /dT2
de t’ecart longitudinal.
Manuscrit reçu
le 14 mai 1963.
BIBLIOGRAPHIE
[1] KOLOMENSKI
et
Rabat, a bien voulu me faire part, dans
communication personnelle, de l’existence d’une
nouvelle équation en instance de publication.
Sciences de
LEBEDEV, Symposium CERN, 1956,
p. 447.
[2] ROBINSON (W. K.), Phys. Rev., 1958, 3, 373.
[3] MILLS (F. E.), Nuclear Instr.
[4] LORENTZ, Theory of electrons, 1909, chap. I, § 37.
[5] ABRAHAM, Theorie der Elektrizität, 2e éd., 1908, vol. 2.
[6] VoN LAUE, Ann. Physik, 1909, Bd 28.
[7] Il faudrait ajouter « dans les documents publiés à ce
jour » : M. H. ARZELIÈS, Professeur à la Faculté des
une
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
FER (F.), Cahiers de Physique, 1959, 109, 329.
GOURSAT (E.), Cours d’Analyse, t. III, chap. 23.
DIRAC (P.), Proc. Roy. Soc., London, 1938, 167, 148.
PLASS (G. N.), Rev. Mod. Physics, 1961, 33, 37.
POINCARÉ (H.), Mécanique céleste, 1892, vol. I, chap. 4
et 7.