Exercice 1 – Tracé de rayons
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OPTICS II Section de Physique Cours: Pr. Romuald Houdré Exercices: Nicolas Descharmes Série 1 Rappels d’optique géométrique 20 février 2012 Exercice 1 – Tracé de rayons Cas 1: Optique de relais Une optique de relais (faible grandissement, distances objet-lentille et lentille-image comparables) se compose généralement de deux lentilles convergentes tels que le centre de la lentille L1 et le foyer de la lentille L2 sont confondus. Tracer l’image de l’objet AB à travers le système suivant. Que vaut le grandissement lorsque AB se trouve dans le plan focal objet de L1 ? € € Cas 2: La loupe Le modèle optique le plus simple d’un œil consiste en une lentille convergente pour le cristallin et d’une surface collectrice pour la rétine. Une loupe permet d’obtenir une image grossie d’un objet lorsqu’elle est placée entre l’objet et le cristallin. Tracer l’image de l’objet AB obtenue sur la rétine à travers le système loupe + cristallin. De quel type est l’image intermédiaire de AB à travers la loupe seule ? Exprimer le grandissement en fonction de O1 A et O1F1 ' € € € € 2 Cas 3: Le téléobjectif Un téléobjectif se compose généralement d’une lentille (ou groupe de lentilles) convergente(s) et d’une lentille (ou groupe de lentilles) divergente(s). Il permet d’obtenir une image agrandie d’objets situés à longue distance. Faire le tracer de rayons pour un objet supposé à l’infini et de taille angulaire α. Exercice 2 – Points cardinaux a) Soit un système optique centré que l’on considèrera dans le cadre du stigmatisme approché (i.e. on fait l’hypothèse de l’approximation linéaire et tout système est aplanétique). Ecrire la matrice de passage T(A1A1’) entre deux plans conjugués repérés par A1 et A1’ sur l’axe optique. Montrer en particulier qu’un des coefficients est nul. b) Exprimer cette matrice en fonction du grandissement transverse γt et du grandissement angulaire γa (le milieu objet a pour indice n et le milieu image n’) c) Montrer qu’un des quatre coefficients de la matrice est un coefficient caractéristique (noté –V) non nul du système, i.e. il se conserve lors d’un changement de plan de référence. d) On considère deux autres plans repérés par les points A2 et A2’ sur l’axe optique avec d = A A et d ʹ′ = A ʹ′ A ʹ′ . Calculer la matrice de transfert entre ces deux nouveaux plans. En 1 € 2 1 2 considérant que les points A2 et A2’ sont conjugués, en déduire la relation générale de n ʹ′ conjugaison (on notera V = ). f ʹ′ € e) On définit les plans principaux comme étant les plans conjugués pour lesquels le grandissement transverse γt vaut 1. Ces plans sont repérés sur l’axe optique par les points principaux H € (objet) et H’ (image). Ce sont les plans de référence d’un système optique. Par rapport à ces plans il y a une expression particulière de la relation de conjugaison que l’on déterminera (on utilisera la relation d’Abbe). Ecrire la matrice T(HH’) f) Soient F et F’ les foyer objet et image. Déterminer HF et H ʹ′F ʹ′ . g) Les points nodaux N (objet) et N’ (image) se définissent par γa=1. Déterminer HN et H ʹ′N ʹ′ . € € € € 3 ⎡A B⎤ h) Soit T(ES)= ⎢ ⎥ la matrice de transfert d’un système optique entre les plans d’entrée ⎣C D⎦ et de sortie repérés respectivement par les points E et S sur l’axe optique (ces plans ne sont pas nécessairement conjugués). Déterminer EH et SH ʹ′ (on utilisera la matrice obtenue à la question d), en particulier la relation de passage entre les grandissements). € Important: Tout système optique se ramène à la connaissance de la position des points cardinaux: points principaux (H et H’) et foyers € (F et F’). € La connaissance de H, H’, F et F’ permet la détermination de tous les rayons traversant le système. Exercice 3 (supplément) – Le télescope de Cassegrain Un télescope de type Cassegrain est constitué de deux miroirs sphériques. Un miroir concave M1, de sommet S1, centre C1 et de foyer F1, dit miroir primaire. Un miroir convexe M2, de sommet S2, centre C2 et de foyer F2, dit miroir secondaire (voir figure). Le miroir primaire est percé d’un trou en son sommet qui permet le passage de la lumière après réflexions successives sur M1 et M2. Les centres C1 et C2 sont confondus : C1 = C2 = C. Les diamètres d’ouverture des miroirs M1 et M2 sont notés respectivement 2a1 et 2 a2. On se placera dans les conditions de l’approximation de Gauss. 1. Déterminer la position du foyer principal image F’ de l’objectif Cassegrain. On donnera l’expression de la mesure algébrique CF' en fonction de R1 = CS1 et R2 = CS2 2. Quelle relation existe-t-il entre R1 et R2 pour que le foyer principal image F’ se trouve au sommet S1 de M1 ? € vérifiée dans toute€la suite du € On considérera que cette relation est problème. 3. On considère un rayon incident parallèle à l’axe optique. Ce rayon rencontre M1 à son extrémité (y = a1). Déterminer l’angle que forme le rayon réfléchi issu de M1 avec l’axe 4 optique. En déduire le diamètre d’ouverture minimum 2a2 de M2 pour que tout faisceau collecté par M1 soit ensuite défléchi par M2. 4. Exprimer l’angle maximal formé par un rayon issu de M2 avec l’axe optique. En déduire la résolution théorique du télescope en fonction de a1 et R1. On prendra les valeurs suivantes : a1 = 1.2m, R1 = 11m, λobservation = 1µm. 5. Dans les faits, les turbulences atmosphériques limitent la résolution effective d’un télescope de ce type à environ 50 µm. Quel est alors le diamètre « effectif » du télescope ? Proposer une solution pour éviter ce problème.
